p-范分布中參數的置信區間

李雙雙，胡宏昌

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

在處理數據時，當觀測誤差為單峰、對稱分布時，可以假設其服從p-范分布。已有許多學者對p-范分布進行了深入研究，如：文獻[1]定義了χp分布、tp分布、Fp分布，并給出了它們的密度函數，為p-范分布的進一步研究提供了便利；文獻[2]得到了在不同情況下p-范分布各個參數的計算公式；文獻[3]研究了p-范分布的假設檢驗，對μ,p進行了U檢驗，對單總體的σ進行了χp檢驗，對雙總體的σ進行了Fp檢驗，文中的統計量對本文中的樞軸量的確定極為重要。文獻[4]表明p范分布可以近似地表示為拉普拉斯分布與正態分布或可表示為正態分布與均勻分布的線性組合，在解決相關問題時，用近似分布來代替p范分布會讓其更簡單。文獻[5～10]也都對p范分布進行了深度研究。

盡管學者們對于p-范分布的研究成果十分豐富，但關于p-范分布各參數的置信區間的研究還未提到，因此本文對于p-范分布的各單個參數的置信區間進行了研究?；谝延械南嚓P結論，確定合適的樞軸量及其分布，用樞軸量法確定p-范分布中各參數在不同情況下的置信區間或近似置信區間。

1 p-范分布及其抽樣分布

為了求p-范分布各參數的置信區間，我們簡要介紹p-范分布及其抽樣分布，詳見文獻[1]。

定義1 令Γ(x)為伽瑪函數，λ=[Γ(3/p)/Γ(1/p)]1/2，則期望為μ，方差為σ2的一元p-范分布的密度函數為

其中B(x,y)為貝塔函數。

2 單總體的參數置信區間

設X1,X2,…,Xn是從p-范分布總體X抽出的容量為n的子樣，觀測值為x1,x2,…,xn.

2.1 μ的置信區間

2) 當σ未知時，σ用矩估計代替，得μ的1-α近似置信區間為

2.2 σp的置信區間

2) 當μ未知時，用矩估計代替，得σp的1-α近似置信區間為

2.3 h(p)的置信區間

當μ,σ已知，不妨設為μ=0，σ=1，由文獻[3]知

h(p)=Γ(1/p)Γ(5/p)/Γ2(3/p)

3 雙總體的參數置信區間

設X1,X2,…,Xn1是從總體X(三個參數為μ1,σ1,p1)抽出的容量為n1的子樣，觀測值為x1,x2,…,xn1；Y1,Y2,…,Yn2是從總體Y(三個參數為μ2,σ2,p2)抽出的容量為n2的子樣，觀測值為y1,y2,…,yn2.

3.1 μ1-μ2的置信區間

2) 當σ1,σ2未知時，用矩估計代替，得μ1-μ2的1-α近似置信區間為

3.3 h(p1)-h(p2)的置信區間

同2.3節一樣，不妨假設μ1=μ2=0,σ1=σ2=1，由文獻[3]知

h(p1)=Γ(1/p1)Γ(5/p1)/Γ2(3/p1)

h(p2)=Γ(1/p2)Γ(5/p2)/Γ2(3/p2)

4 模擬算例

例1 單總體的參數μ的置信區間

[4.7532,5.1452]，包含真值μ=5.

例2 單總體的σp的置信區間

在(1)式中，令p=2.4,μ=0,σ=1，隨機生成100個隨機數。

例3 單總體p的置信區間

在(1)式中，令p=1,μ=0,σ=1，隨機生成100個隨機數。

設總體的μ=0，σ=1，α=0.05,u1-α/2=1.96，通過計算得h(p)的置信水平為0.95的近似置信區間為[4.7477,22.5826]，進一步計算得p的置信水平為0.95的近似置信區間[0.52,1.20]，包含真值p=1.

例4 雙總體的μ1-μ2的置信區間

在(1)式中，令p=1.6,μ=0,σ=1，兩次分別隨機生成120個隨機數，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.

在式(1)中令p=1.4,μ=0,σ=1，兩次分別生成120個隨機數，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.

例6 雙總體的p1-p2的置信區間

在式(1)中令p=1.4,μ=0,σ=1，兩次分別生成120個隨機數，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.已知μ1=μ2=0,σ1=σ2=1，計算得

[-1.4686,0.5388]，包含真值p1-p2=0.

5 結論

上面研究了p-范分布的三個參數在不同情況下的(近似)置信區間，并通過模擬算例證明了上述置信區間的結論是可靠的。雖然在一定程度上豐富了p-范分布置信區間的內容，但對于p-范分布置信區間的研究不止于此，本文所得出的置信區間還不夠精確，為了得到進一步的精確結果還需要更進一步的研究。