艦艇破損進水過程中的非線性橫搖運動研究

劉輝，浦金云，李志輝，吳向君

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引言

艦艇在平日航行或執行作戰任務時，由于操作失誤可能發生艦艇碰撞或遭受武器攻擊，這些情況均會導致艦艇大面積破損進水，進水后的艦艇將會出現橫搖運動，并且橫搖運動是不規則的、非線性的，直接影響艦艇是否傾覆。若破損進水艙為Ⅱ類艙，艙內進水產生的自由液面與艙內的自由液面影響基本一致，在線性范圍內可能引起艦艇的穩定中心高減少，穩性降低，導致艦艇傾覆沉沒[1]。若破損進水艙為Ⅲ類艙[1]，艙內進水量會隨橫搖運動不斷增減，并且艙內進水會隨艦艇不?；蝿?，因此Ⅲ類艙的破損進水將使艦艇的橫搖運動更加復雜，目前Ⅲ類艙破損進水的研究較少[2]。由于具有Ⅱ類進水艙和Ⅲ類進水艙的艦艇會加劇橫搖運動的混沌狀態，也是艙室破損進水研究的重點。

艦艇破損進水產生的橫搖運動具有復雜的非線性和混沌現象，包括由水動力載荷的復雜性和大幅橫搖運動引起的不可忽略的非線性，以及不同運動形式之間耦合形成的具有參數激勵的非線性動力[3]。學者們開展了大量艦艇進水艙內液體運動的理論分析和實驗研究，如處理破損船在波浪中橫搖運動的問題時，Yildiy.A[4]利用Hamilton 變分原理，建立了具有Ⅱ類進水艙破損船在波浪中的橫搖運動微分方程，并利用李亞普諾夫的穩定性理論來討論破損船的橫搖運動響應的穩定性條件。日本東京大學的Murashige 等[5]對部分液艙進水的艦艇運動進行了詳細研究。本文在構建破損進水艦艇非線性橫搖運動數學模型基礎上，對破損進水艙為Ⅲ類艙時艦艇的橫搖運動狀態進行數值仿真求解，討論不同系統參數和激勵參數對破損艦艇橫搖運動的影響，預報具有Ⅲ類進水艙破損進水艦艇的運動形式。

1 艦艇破損進水的非線性橫搖運動模型

1.1 坐標系

為更好研究和描述艦艇的運動過程，建立如圖1所示的大地慣性坐標系Oxyz和艦艇運動坐標系Oξηζ 2 個坐標系。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinate system

圖中：Gs為艦艇的重心；Bs為艦艇的浮心；Gw為進水容積的中心；φ為艦艇的橫搖角；χ為進水艙內液面與 η軸的夾角；θ為進水艙內液面與y軸的夾角。原點O設在艦艇的重心Gs處，當艦艇的橫搖角 φ為0 時，兩坐標系重合，ξ軸與x軸重合，η軸與y軸重合，ζ 軸與z軸重合。

1.2 艦艇破損進水橫搖運動的能量分析

艦艇由于破損出現橫搖運動后，艙內進水和艦艇同時運動，假設艦艇和艙內進水的橫搖耦合運動是主要的，忽略垂蕩和縱搖運動對艦艇的影響[6]。艦艇橫搖運動產生能量主要包括艦艇本身的動能和勢能、破損進水產生的動能和勢能、阻尼耗能和外界激勵力矩。

1）艦艇的動能和勢能

假設不考慮艦艇的垂蕩運動和橫蕩運動，則艦艇的動能僅為繞其重心的轉動動能，即

式中，I0為艦艇的轉動慣量I0=

若以正直漂浮位置為勢能零點，則在任一傾角時，艦艇的勢能即為從正直位置開始艦艇的回復力矩所作的功：

式中，Mf為艦艇回復力矩，可表示為橫傾角 φ的多項式函數[7]，令其多項式系數為C，則Mf=C0(φ)=c0φ+c2φ3+c4φ5+c6φ7。

2）破損進水產生的的動能和勢能

若不考慮艙內水的轉動及激蕩，假設艙內進水水的運動為平動，則

式（3）和式（4）中yw，zw分別為大地慣性坐標系進水容積中心的橫坐標和垂坐標，ηw,ζw分別為進水容積中心在Oξηζ坐標系中的橫坐標和垂坐標。

艙內水的勢能即為其重力勢能，則

3）激勵力矩做功

式中，M為艦艇模排水量，h為艦艇初穩心高，H為波高，ω為波頻。

4）阻尼產生的耗能

1.3 艦艇非線性橫搖運動微分方程的推導與構建

對艦艇運動產生的能量進行綜合分析，建立拉格朗日方程如下：

將式（1）～式（8）代入式（9）和式（10）中，推導簡化可得：

對兩自由度運動方程進行解耦，使兩自由度問題化為單自由度問題，將式（11）展開并經過復雜的推導過程[7–8]，考慮船體運動的阻尼項、非線性項及內部水對船體影響的非線性耦合項，得到艦艇破損進水作用下的艦艇橫搖運動非線性微分方程。

式中：阻尼系數d0；參激系數i1，q1和外激系數l1的數值比其他系數量階大，引入小量ε，獲得簡化的艦艇橫搖運動非線性運動微分方程。

2 艦艇非線性橫搖運動數值仿真

2.1 研究對象

為更好驗證數值仿真結果，以通過試驗驗證的船模為研究對象[9]，對具有Ⅲ類進水艙的破損艦艇在不同規則正橫浪激勵下的運動進行了數值仿真。

1）船模參數

M=37.75 kg，Zg=15.75 cm，T=8.56 cm，r=11.61 cm，ZC=5.17 cm，h=1.22 cm，無因次等效阻尼系數vs=0.114。

2）艙室破損進水參數

2 個Ⅱ類艙對稱進水，總進水量2 kg，3 個Ⅲ類艙，正浮時的進水量為18.6 kg，艙內水重量及容積中心隨進水液面傾角的變化規律如下式：

2.2 數值仿真流程

利用數值仿真計算方法對建立的艦艇非線性橫搖運動微分方程進行求解，討論不同激勵參數條件對破損艦艇非線性運動的影響規律，預報艦艇橫搖運動是處于周期運動還是處于混沌運動范圍。采用定步長4 階Runge-Kutta 方法對運動微分方程進行數值求解，具體求解計算過程如圖2 所示。

圖2 數值仿真計算流程Fig.2 The calculation process of numerical simulation

仿真計算中，假設艦艇破口足夠大，出現橫搖運動時，艙內進水與舷外海水的交換是完全自由的，不受破口大小的限制，即交換率為100%。在給定的船模參數條件下，改變激勵力（即波浪力）的幅值（波高）和頻率（波長），進行數值仿真確定使艦艇處于混沌運動狀態的區域[10]。在此基礎上，改變艙內進水與舷外水的交換率進行仿真，討論交換率的變化對混沌參數區域的影響。同時采用功率譜分析方法對數值仿真結果進行分析，判斷艦艇橫搖運動是否為混沌運動。

2.3 數值仿真結果

圖3 中Aω/I0表示為船模橫搖角幅值與無量綱激勵力矩幅值之比，顯示了具有Ⅲ類進水艙的破損艦艇在不同規則正橫浪波激勵下運動響應的幾種典型形式的歷程、相圖和功率譜。從仿真結果看，在規則正橫浪激勵下的頻率響應特性與具有Ⅱ類進水艙的破損艦艇的頻率響應特性相似，Ⅲ類進水艙的破損艦艇橫搖具有非常豐富的運動形式，隨船模參數、進水參數和波浪激勵力矩等激勵參數的不同，其運動可能是單頻的，也可能包含超諧波、次諧波以及組合頻率成分，還可能為混沌的。

圖3 Ⅲ類艙進水交換率100%船模的運動形式Fig.3 The motion form of exchange rate 100% by flooded type Ⅲ

圖3 所示結果中，均假設Ⅲ類進水艙的破口為無限大，即橫搖過程中艙內進水與舷外水的交換是完全自由的，不受破口大小的限制。在實際的破損艦艇中，由于破口面積是有限的，因而橫搖過程中進水艙內的進水與舷外水不可能完全自由的交換，尤其當進水艙存在氣墊時，艙內水和舷外水的交換率更小。本文對不同交換率的艙內進水進行了數值仿真，圖4 仿真結果顯示具有Ⅲ類進水艙的破損艦艇的混沌運動參數區域超出了實際能達到的激勵力矩參數范圍，因而在實際條件下不可能出現混沌現象，并且艙內水與舷外水的交換率對具有Ⅲ類艙進水艙的破損艦艇受激橫搖混沌運動參數區域基本沒有影響。主要原因是在Ⅲ類艙進水情況下，艙內水與舷外水相通，相對Ⅱ類進水艙而言，艙內水與艦艇之間的動力耦合更弱，因而艙內水的運動對艦艇橫搖運動的影響更小。上述數值仿真的結果與相同船模的試驗結果相一致[9]。

圖4 Ⅲ類艙進水不同交換率時的混沌運動參數區域Fig.4 The chaotic motion parameter region of different exchange rate by flooded type Ⅲ

3 結語

本文在分析艦艇破損進水后在波浪中運動產生的能量，微分推導構建了艦艇破損進水情況下的非線性橫搖運動數學模型基礎上，對具有Ⅲ類進水艙的破損船模進行了數值仿真。結果表明，具有Ⅲ類進水艙的破損艦艇運動過程中出現混沌現象時需要的波浪激勵力矩幅值很大，超出艦艇實際運動中能達到的波浪激勵力范圍，并且艙內進水與舷外水的交換率對艦艇受激橫搖運動參數區域沒有影響，因此具有Ⅲ類進水艙的破損艦艇在橫搖運動中不會出現混沌現象，與船模橫搖試驗結果相吻合。

對比Ⅱ類進水艙，由于Ⅱ類進水艙的艙內水與舷外水隔離，進水產生的自由液面和大進水量對艦艇的橫搖運動有很大的影響，具有大自由液面、大進水量的破損艦艇出現混沌運動的參數區域越大，出現混沌運動時的波浪激勵力矩幅值越小。因此，具有Ⅱ類進水艙的艦艇橫搖運動的形式非常豐富，可能為單頻的，也可能包含超諧波、次諧波以及組合頻率成分，在一定參數條件下，其運動還可能為混沌的。