文/謝潔紅
進入九年級,方程家族再添一員——一元二次方程?;仡櫼辉淮畏匠?、二(三)元一次方程(組)、可化為一元一次方程的分式方程等知識的探究過程,我們發現,方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型,其研究路徑一般是“概念—解法—應用”。本章主要是從一元二次方程的概念、解法、根的判別式、根與系數的關系和應用等方面來研究,對數學后續的學習和其他學科的學習也有著重要意義,讓我們一起來厘清要點,逐個擊破吧。
一元二次方程必須同時滿足三個條件:①整式方程,即等號兩邊都是整式;②只含有一個未知數;③未知數的最高次數是2。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0,特別要注意二次項系數a不為0。
例1(2021·湖北荊門)x=2 是關于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0 的一個根,那么k的值為________。
【分析】本題根據一元二次方程及其解的概念列出關于k的方程,再解這個方程求得k的值即可(特別注意二次項系數不為0)。
【解答】把x=2 代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0,得4k+2k2-4+2k+4=0,整理,得k2+3k=0,解得k1=0,k2=-3。因為k≠0,所以k的值為-3。故答案為-3。
一元二次方程的解法主要包括:直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法等。解決問題的基本策略就是降次,利用轉化的思想方法,通過直接開平方、配方、因式分解等,將一元二次方程轉化為一元一次方程來求解。解一元二次方程主要有四種基本方法,我們要根據方程的特點靈活選用,以簡化解題過程。下面我們一起通過實踐來觀察幾種解法的相互聯系和差別。
例2解方程:
(1)(2021·江蘇無錫)(x+1)2-4=0;
(2)(x-2)2=(2x+5)2;
(3)x2-4x-3=0;
(4)(2021·黑龍江齊齊哈爾)x(x-7)=8(7-x)。
【分析】先觀察這幾個方程的結構:(1)(2)兩題我們可以用直接開平方法,或選擇因式分解法(平方差公式)來求解,這兩種方法是首選方法;(3)可以用配方法或公式法求解;(4)的等號兩邊有(x-7)和(7-x)這個互為相反數的因式,可以用因式分解法(提取公因式)來求解,同樣也可以化成一般式后再用合適的方法求解。
【解答】(1)(直接開平方法)移項,得(x+1)2=4。兩邊直接開平方,得x+1=±2,解得x1=1,x2=-3。
(因式分解法)利用平方差公式,得(x+1+2)(x+1-2)=0,解得x1=1,x2=-3。
(2)這題與(1)利用相同的方法可以解得x1=-1,x2=-7。
(3)(配方法)移項,得x2-4x=3。配方,得x2-4x+22=3+22,即(x-2)2=7。解這個方程,得x-2=±7,即x1=2+。
(如果這題改為x2-4x+3=0,還能用因式分解法,同學們可以試一下哦?。?/p>
(4)(因式分解法)移項,得x(x-7)-8(7-x)=0。提公因式,得(x-7)(x+8)=0,解得x1=7,x2=-8。
根的判別式是b2-4ac,我們通過它的符號來判斷ax2+bx+c=0(a≠0)是否有實數根或者有幾個實數根,具體方法如下:(1)當b2-4ac>0 時,方程有兩個不相等的實數根;(2)當b2-4ac=0 時,方程有兩個相等的實數根;(3)當b2-4ac<0時,方程沒有實數根。反之也成立。
例3(2021·湖北黃岡)若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0 有兩個不相等的實數根,則m的值可以是______。(寫出一個即可)
【分析】由“方程x2-2x+m=0 有兩個不相等的實數根”可知:當b2-4ac>0 時,此方程有兩個不相等的實數根。因為b2-4ac=(-2)2-4×1×m=4-4m>0,得m<1,所以只要寫出一個滿足m<1的m的值即可。
【答案】比如0或-1等。
一元二次方程根與系數的關系是著名的韋達定理,雖然在教材里它是選學內容,但這部分內容可以幫我們進一步加深對一元二次方程及其根的認識,它的應用非常廣泛。先簡單了解下這個定理:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2,那么有x1+x2=-
例4(2021·江蘇鹽城)設x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0 的兩個根,則x1+x2的值為( )。
A.-2 B.-3 C.2 D.3
【分析】解決此類問題我們可以不求出方程的根,觀察得出a=1,b=-2,c=-3,由韋達定理可知x1+x2=-=2。故選C。
利用一元二次方程解決實際問題,就是要把實際問題轉化為數學問題,難點是數量關系的確定。我們可以借助適當的數學直觀工具(如表格、線形示意圖等),找出問題中的各種量的相等關系,建立數學模型(一元二次方程),解決實際問題。此外,還需要根據具體問題的實際意義,檢驗方程的解是否合理。
例5在長方形ABCD中,AB=5cm,BC=6cm,點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s 的速度移動,與此同時,點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s 的速度移動。如果P、Q分別從A、B同時出發,當點Q運動到點C時,兩點停止運動。設運動時間為t秒(t>0)。
(1)填空:BQ=______,PB=______(用含t的代數式表示);
(2)當t為何值時,PQ的長度等于5cm?
(3)是否存在t的值,使得五邊形APQCD的面積等于26cm2?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由。
【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用,勾股定理的應用,表示出BQ、PB的長度是解題的關鍵。
(1)根據P、Q兩點的運動速度可得BQ、PB的長度;
(2)根據勾股定理可得PB2+BQ2=QP2,代入相應數據解方程即可;
(3)根據題意可得△PBQ的面積為長方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積,再根據三角形的面積公式代入相應線段的長,即可得到方程,解方程即可。
【解答】(1)∵P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動,∴AP=t(cm)。
∵AB=5(cm),∴PB=(5-t)cm。
∵點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動,
∴BQ=2t(cm)。
(2)由題意得(5-t)2+(2t)2=52,
解得t1=0(不合題意,舍去),t2=2。
∴當t=2秒時,PQ的長度等于5cm。
(3)當t=1秒時,五邊形APQCD的面積等于26cm2。理由如下:
長方形ABCD的面積是5×6=30(cm2),
要使得五邊形APQCD的面積等于26cm2,
則△PBQ的面積為30-26=4(cm2),
解得t1=4(不合題意,舍去),t2=1。
∴當t=1 秒時,五邊形APQCD的面積等于26cm2。