注重變式 用活例題

文／孫偉剛

“平均變化率問題”是應用題中的熱門題型?，F以教材例題為載體，進行變式訓練，旨在幫助同學們掌握處理這類問題的思路與方法，并能在以后的學習和考試中運用自如。

原題呈現（蘇科版數學教材九年級上冊第25 頁問題2）某商店6 月份的利潤是2500 元，要使8 月份的利潤達到3600 元，平均每月利潤增長的百分率是多少？

【解析】設平均每月利潤增長的百分率是x，則7 月份的利潤是2500（1+x）元，8 月份的利潤是2500（1+x）（1+x）元，即2500（1+x）2元，由題意可得2500（1+x）2=3600。解這個方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）。答：平均每月利潤增長的百分率是20%。

【小結】本題是“平均變化率問題”中求增長率的典型模型。在求解這類問題時，應著重分析問題中的各類數量間的關系，并用代數式表示這些量，從而找出解決問題的方法。增長率的問題情境及解題思路的一般模式如下：若增長前的基數為a（起始量），平均增長率為x，則第一次增長后的數量為a（1+x）；第二次增長是以a（1+x）為基數的，增長率也為x，故第二次增長后的數量為a（1+x）2。若已知第二次增長后的數量達到b（終止量），則可列出如下方程：a（1+x）2=b。有了這個一般模式的解題思路，同學們對增長率問題的認識就會更清晰了。

變式1（2018·遼寧沈陽）某公司今年1月份的生產成本是400 萬元，由于技術改進，生產成本逐月下降，3 月份的生產成本是361萬元。假設該公司2、3、4 月每個月生產成本的下降率都相同。

（1）求每個月生產成本的下降率；

（2）請你預測4月份該公司的生產成本。

【解析】（1）設每個月生產成本的下降率為x，則2月份的生產成本是400（1-x）萬元，3月份的生產成本是［400（1-x）］（1-x）萬元，即400（1-x）2萬元，由題意可得400（1-x）2=361。解這個方程，得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）。答：每個月生產成本的下降率是5%。

（2）361×（1-5%）=342.95（萬元）。

答：預測4 月份該公司的生產成本為342.95萬元。

【小結】本題是“平均變化率問題”中求降低率的典型模型。在求解這類問題時，完全可類比增長率問題的解決思路與方法。事實上，我們可將降低率視為負增長率，從而轉化為增長率問題來處理。降低率的問題情境及解題思路的一般模式如下：若降低前的基數為a（起始量），平均降低率為x，則第一次降低后的數量為a（1-x）；第二次降低是以a（1-x）為基數的，降低率也為x，故第二次降低后的數量為a（1-x）2，若已知第二次降低后的數量變為b（終止量），則可列出如下方程：a（1-x）2=b。歸納了降低率問題的一般模式及解題思路，期待同學們對平均變化率問題有較為全面、完整和深刻的認識。

變式2（2020·湖北鄂州）目前以5G 等為代表的戰略性新興產業蓬勃發展。某市2019 年底有5G 用戶2 萬戶，計劃到2021 年底全市5G 用戶數累計達到8.72 萬戶。設全市5G 用戶數年平均增長率為x，則x值為（ ）。

A.20% B.30% C.40% D.50%

【解析】選C。理由：設全市5G 用戶數年平均增長率為x。根據題意，得

2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，

解這個方程，得x1=0.4=40%，x2=-3.4（不合題意，舍去）。

∴x的值為40%。故選C。

【小結】本題雖然考查的還是增長率問題，但較例題有所變化，主要體現在“終止量b”的含義不同。因此，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵。先用含x的代數式表示出2020 年底、2021 年底5G 用戶的數量，然后根據2019年底到2021年底這三年的5G 用戶數量之和等于8.72 萬戶得到關于x的方程，最后解方程即得答案。

變式3中國股市正碰上多年難遇的牛市，股指一路上揚。某股票分析師根據近幾天的股指的變化繪制了如下的圖：

（1）如果假設這幾天的增長率相同，試預測星期四的股指是多少？

（2）但股市畢竟風險很大，有一個每股20 元的股票經過幾次跌停板（即每一次下跌前一股價的10%）變為16.2元/股，求：

①這個股票經歷了幾次跌停板？

②是否經過相同次數的漲停板（即每一次上漲前一股價的10%）又回到原股價呢？

【解析】（1）設這幾天的增長率均為x。根據題意，得3000（1+x）2=3307.5。解這個方程，得x1=0.05，x2=-2.05（不合題意，舍去），∴x=0.05=5%。

則星期四的股指是3307.5×（1+5%）=3472.875。

（2）①設這個股票經歷了n次跌停板。根據題意，得20（1-10%）n=16.2，整理得0.9n=0.81=0.92，解得n=2，∴這個股票經歷了2 次跌停板。

②16.2×（1+10%）2=19.602，

∵19.602＜20，

∴經過相同次數的漲停板不能回到原股價。

【小結】本題集增長率、降低率于一體，綜合性強，能很好地考查同學們對“平均變化率問題”的理解水平和處理能力。在解決增長（降低）率的問題時，常用的方法技巧是：利用公式建立方程。平均增長率公式：a（1+x）n=b（a為起始量，b為終止量，n為增長的次數，x為平均增長率）；平均降低率公式：a（1-x）n=b（a為起始量，b為終止量，n為降低的次數，x為平均降低率）。請同學們仔細品味公式中每個量的含義，在感悟中提升分析問題、解決問題的能力。