懸臂式型鋼懸挑腳手架直角折梁內力計算

陳運達

(寧波市建設集團股份有限公司 浙江寧波 315000)

0 引言

高層建筑施工時，外架形式常選用型鋼懸挑腳手架[1]。型鋼與結構錨固的方式一般有兩種：①型鋼尾端通過錨固螺栓或U形鋼筋拉環[2]錨固于結構樓板上；②型鋼(多采用工字鋼)尾部與結構外立面通過高強螺栓錨固(圖1)。為方便區分，本文將采用第一種錨固形式的型鋼懸挑腳手架稱為懸挑架，第二種稱為懸臂式型鋼懸挑腳手架，簡稱懸臂架，懸臂架的型鋼稱為懸臂梁。當采用懸臂架時，應特別關注被錨固結構構件的內力情況。

圖1 懸臂式型鋼懸挑腳手架

被錨固構件除了受到懸臂梁帶來的集中力外，還會受到集中扭矩的影響。編制方案時，項目技術人員對被錨固構件進行核算時，往往會忽略水平向的抗彎以及軸向抗扭，將給施工帶來安全隱患。

另一方面，在選擇風險較大的結構構件進行核算時，一般選取一跨中搭設較多懸臂梁的邊梁。住宅的陽臺，陽角處的邊梁常采用水平直角折梁形式，在折角處一般設有構造柱。構造柱屬于二次結構，其頂部與梁底實為柔性連接，施工時需斷開，故不可將折角處的構造柱視為支承點。直角折梁屬于超靜定結構，外荷載情況復雜，內力求解有一定難度，對其進行內力計算，并進一步強度核算，是非常有必要的。

目前，對于折梁的內力計算研究[3-5]，多集中于單一荷載作用下的情況。工程實際中的外荷載情況復雜， 往往有不同類型，不同方向的外荷載同時存在。本文采用能量法的卡氏第二定理，給出了直角折梁內力的計算方法。

1 計算方法

1.1 計算模型

水平直角折梁兩邊常為剪力墻或結構柱，故可將折梁簡化成兩端固定的空間剛架如圖2(a)，空間坐標系如圖2(b)所示。剛架的AC段與BC段分別于x軸，y軸平行，重力方向為-z軸方向。因為需考慮扭轉，故此空間剛架實為6次超靜定結構。

(a)空間剛架 (b)空間坐標系圖2 空間剛架及空間坐標系

1.2 計算方法

本文采用能量法來求解折梁內力。軸力對梁的變形影響較小，計算過程中忽略軸力，僅考慮彎矩、剪力、扭矩引起的變形。

由材料力學[6]可知，線彈性、小變形條件下，組合變形桿的應變能等于各基本變形應變能的綜合。桿件截面上的彎矩、剪力、扭矩，都可表示為關于x的函數，則組合變形的等直矩形梁的應變能Vε可表示為：

(1)

式中：M、V、T——彎矩、剪力、扭矩；

E、G——彈性模量和剪切模量；

A——截面面積；

k——截面系數，對于矩形截面k=1.2[7]；

It——截面的相當極慣性矩。GIt為非圓截面的扭轉剛度；It=βhb3,h為矩形截面的長邊，b為短邊。根據h與b的比值，查表1可得系數β。

表1 矩形截面桿自由扭轉時的系數

根據卡氏第二定理式(2)可知，線彈性體的應變能對于某個廣義力Fi的偏導數等于與該廣義力所對應的廣義位移Δi。

(2)

由于卡氏第二定理僅適用于線彈性體，在計算混凝土梁內力時，實際考慮的為彈性階段。

結合式(1)和式(2)可得：

(3)

1.3 內力計算

1.3.1 內力正負號規定

彎矩以負軸受拉為正，反之為負；扭矩的矢量方向與截面外法向一致時為正，反之為負；剪力以使隔離體順時針方向轉動為正，反之為負(轉動時右手大拇指指向坐標軸負方向時為順時針)。

1.3.2 求解步驟

(1)去掉多余約束，施加基本未知量，得到基本靜定結構。

(2)去掉B端固定支座，得到基本靜定結構(圖3)，并施加6個基本未知量——3個方向的集中力(FBx,FBy,FBz)，3個方向的力矩(MBx,MBy,MBz)?；疚粗糠较蛉鐖D4所示。

圖3 基本靜定結構

(a)集中力 (b)集中力矩圖4 基本未知量

1.4 內力方程計算

內力方程可分兩類：一類由外荷載引起的，另一類由基本未知量引起。

外荷載主要有三部分：①懸臂梁對邊梁的集中力和集中扭矩；②邊梁自身的自重；③樓板對邊框梁的載荷。樓板對邊梁影響較為復雜，本文僅考慮樓板自重對邊梁的影響。根據樓板傳荷路徑，將樓板荷載近似換算成均布線荷載，施加到邊梁上。

對相同類型的內力方程進行合并，最終AC段內力方程有Mx(y),Mz(y),Vx(y),Vz(y),T(y)，BC段內力方程有My(x),Mz(x),Vy(x),Vz(x),T(x)。

將內力方程代入式(3)。6個基本未知量對應6個廣義位移，可列出如下方程詳式(4)。

(4)

式中，廣義力Fi分別為FBx，FBy，FBz，MBx，MBy，MBz，對應的廣義位移Δi分別為ΔBx,ΔBy,ΔBz,θBx,θBy,θBz。

B端為固定支座，所以該處各方向的位移、轉角均為0。聯立求解可得出6個基本未知量，即B端支座反力。將支座反力回代到內力方程中，可知任意截面的內力。

2 計算實例

以寧波工業互聯網研究院產業園項目的3#樓為例，進行計算。

2.1 工程概況與計算簡圖

3#樓層高3.05 m，總高度80.05 m，四層開始搭設懸挑架，每六層搭設。懸臂梁平面布置如圖5所示。懸臂梁采用16號工字鋼，端部用高強螺栓與結構梁相連。懸臂梁用鋼拉桿與上層結構梁拉結，懸臂梁錨固位置距梁面200 mm。

圖5 懸臂梁平面布置圖

取1軸～2軸×D軸～F軸處(圖6)的直角折梁進行計算。已知該處梁截面尺寸(b×h)均為200 mm×500 mm，折梁兩端與剪力墻相連。計算簡圖及內力方程坐標如圖7所示。工字鋼對邊梁的水平集中力P1=5.58 kN，豎向集中力P2=7.57 kN，如圖8所示。

圖6 直角折梁 圖7 實例計算簡圖 圖8 邊梁受力情況

陽角處的工字鋼與水平夾角近似取45°，并將該處集中力轉為正交荷載。將工字鋼的集中力移至折梁形心軸處，并施加等效集中扭矩。外荷載的加載情況如圖9所示。

(a)AC段集中力 (b)AC段集中力矩 (c)BC段集中力 (d)BC段集中力矩 (e)均布線荷載圖9 外荷載加載情況

2.2 主要參數計算

查表1可得β=0.249，相當極慣性矩It=0.249×500×2003=9.96×108mm4。

工字鋼于邊梁錨固處的扭矩：

May=Mby=Mcy=Mdx=P2×100-P1×50

2.3 內力計算

去掉B端支座，施加基本未知量，列出各段的內力方程。

用MATLAB數學軟件計算可得基本未知量，

FBx=-11.8622 kN;FBy=-1.8267 kN;

FBz=30.7309 kN;MBx=-561.3316 kN·mm;

MBy=2.28×104kN·mm;MBz=44.0351 kN·mm

2.4 SAP2000核算

SAP2000是由美國Computers and Structures Inc.(CSI)公司開發研制的通用結構分析設計軟件[8]。其結構分析步驟與一般有限元軟件類似，同樣可分為前處理，分析計算，后處理3個步驟。

建模時，構件尺寸、屬性參數、荷載布置均等參數與理論計算時的取值一致。在設置材料屬性時，將重量密度設為0，并將自重以線荷載形式施加到桿上。。

有限元模型和計算結果分別如圖10和圖11所示，各內力值為：

圖10 有限元模型 圖11 SAP2000計算結果

FBx=-11.86 kN;FBy=-1.83 kN;

FBz=30.73 kN;MBx=-562.53 kN·mm;

MBy=22799.59 kN·mm;MBz=44.03 kN·mm。

對比理論計算結果，模擬值與理論值比較接近，兩者相差在0.2%左右。

3 結語

(1)用能量法的卡氏第二定理計算直角折梁的內力，步驟簡單，思路清晰。以此方法求解復雜荷載下的直角折梁內力，可得到較精確的結果，計算結果與SAP2000有限元模擬結果相近。

(2)技術人員面對此類復雜荷載下的邊框梁內力計算問題時，可參考本文計算方法，并與有限元軟件模擬相結合，以進一步提高方案的可行性與可靠性。

對于其他荷載工況下的內力計算，如均布扭矩，僅需改變對應的內力方程，計算步驟不變，重新計算，便可求得內力結果。