非平衡力作用下有質量彈簧伸長量的確定

安徽 王偉民 王 坤

在彈性限度內，彈簧的形變量與所受的外力成正比，這是胡克定律的內容，其數學表達式為F=kx(k為彈簧的勁度系數)。對確定的彈簧而言，其勁度系數為常量。利用該定律，我們可以根據所受外力和已知的彈簧的伸長量方便的計算勁度系數(當然，也可以變換已知條件計算其他相關的未知物理量，比如根據已知條件，確定彈簧的原長、彈簧的總長或彈簧所受外力的大小等)。

需要說明的是，對該類問題，人們探討較多的是在彈簧受平衡力作用、保持平衡狀態情況下相關未知量的求解。那么，如果彈簧在非平衡力的作用下，彈簧將處于非平衡狀態，與彈簧有關的未知物理量的求解應如何進行？

【例1】如圖1所示，一勁度系數為k=150 N·m-1的彈簧放在光滑水平面上，在其兩端分別施加大小為F1=7 N和F2=5 N的兩個力，二力反向且共線，求穩定之后彈簧的伸長量？

圖1

【分析】因為彈簧兩邊受到的拉力大小不等，所以，在兩端拉力作用下彈簧會沿拉力大的F1的方向向左加速運動。如果從某點把彈簧分成左右兩部分，那么，穩定之后彈簧左邊的部分在“拉”著右邊的部分向左加速。對右段彈簧進行受力分析并結合牛頓第二定律可知，左段彈簧對右段彈簧的拉力，等于右段彈簧的質量與其加速度的乘積再加上整個彈簧右端所受的拉力F2，由于穩定后彈簧各位置的加速度相同，所以，彈簧上越靠近左端的點，其右側的彈簧總質量便越大，該點彈簧的彈力就越大，因此，從整體來看，彈簧的伸長是不均勻的——如果把彈簧分成長度相等的若干部分(指彈簧不受力情況下的等分，即對原長進行等分)，那么原長相等的各部分，穩定之后越靠近左邊的部分伸長量越大。

圖2

在兩端各受到與該彈力大小相等的拉力的作用下，微元彈簧的伸長量dL為：

因此，在兩邊拉力F1和F2作用下，彈簧穩定之后整個彈簧的伸長量ΔL為：

=0.04 m

答：穩定之后彈簧的伸長量為0.04 m。

顯然，這種情況下彈簧的形變情形等效于慣性參考系中自身具有重力的彈簧上端固定，下面懸掛重物而靜止的情形——在非慣性參考系中，例1所給問題中的彈簧“重力”大小為(之所以將“重力”二字加引號，是因為這里的“重力”指的是“等效重力”，方向不是豎直向下，而是水平向右)F1-F2，彈簧右端“懸掛”“重力”大小為F2的物體，易知，在此情況下彈簧的伸長量為：

可以發現，這個結果與上面采用積分的方法推理出的結果是一樣的。

利用這一規律，我們可以方便的解決相關的力學問題。

【例2】如圖3所示，質量分別為m1=100 g、m2=200 g的兩彈簧，勁度系數分別是k1=110 N·m-1和k2=40 N·m-1，兩彈簧串聯后與質量為m3=300 g的物體相連，置于光滑水平地面上，在左邊彈簧的左端施加F1=12 N 的水平外力，系統穩定后兩彈簧的伸長量分別是多少厘米？

圖3

∴F2=(m2+m3)a=10 N

F3=m3a=6 N

所以，兩彈簧的伸長量分別為：

圖4

【分析】由上面的分析可知，要求彈簧測力計的讀數，只要能夠求出穩定之后彈簧兩端(注意，不是測力計兩端)所受的拉力F左和F右即可，這兩個拉力的平均值即為測力計的讀數。

分別對掛鉤(含指針)和彈簧運用牛頓第二定律可得：