關于n維正態分布線性函數服從正態分布的證明*

邢家省，楊義川，吳 桑

(1.北京航空航天大學數學與系統科學學院，北京 100191；2.北京航空航天大學數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

n維正態分布及其線性函數在概率統計學中起到重要作用[1-16].n維正態分布的線性函數服從正態分布是一個經典結果，這個結果的證明方法通常有2種，一種是線性變換方法[15-16]，另一種是線性變換與特征函數相結合的方法[1-3].然而，這2種方法都涉及較多的知識，不方便掌握和使用.因此，筆者擬在已有研究成果的基礎上，利用線性變換的傳遞性，給出n維正態分布的線性函數服從正態分布的一種直接的證明方法.

1 相互獨立的正態分布隨機變量的線性函數服從正態分布

利用正態分布概率密度的基本性質，可得正態隨機變量的線性函數仍是正態隨機變量，獨立正態隨機變量的和仍是正態隨機變量，由此可進一步得到相互獨立的正態隨機變量的線性函數仍服從正態分布.

Z=k1X1+k2X2+b=k1(X1-μ1)+k2(X2-μ2)+(k1μ1+k2μ2+b)～

證畢.

利用引理3和數學歸納法，可將2個獨立變量推廣至多個獨立變量，得到如下結果：

由引理4可知，相互獨立的正態分布的線性函數服從正態分布.

2 n維正態分布的基本性質

設(X1,X2,…,Xn)是n維隨機變量，若其概率密度

其中x=(x1,x2,…,xn)T,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,Σ=(Cij)n×n是對稱正定矩陣，則稱(X1,X2,…,Xn)是n維正態隨機變量[1-16]，或稱(X1,X2,…,Xn)服從n維正態分布，記為X=(X1,X2,…,Xn)～Nn(μ,Σ).

下面介紹用雅可比行列式進行不同隨機變量間線性變換的方法.雅可比行列式度量了單位立方體在應用映射時的體積變化量，可逆映射可以使用反映射的雅可比矩陣定義變換變量的概率密度函數，其具體變換公式如下：

g(y1,y2,…,yn)=f(x1(y1,y2,…,yn),x2(y1,y2,…,yn),…,xn(y1,y2,…,yn))·|J|.

引理6[12-16]設X～Nn(μ，Σ)，A為n階可逆矩陣，則有Y=AX～Nn(Aμ,AΣAT).

于是Y～Nn(Aμ,AΣAT).證畢.

由引理6可知，服從一般多維正態分布的隨機變量在可逆矩陣線性變換下仍服從正態分布，由此可知可逆矩陣線性變換后的隨機變量服從標準正態分布.

引理7[12-16]設(X1,X2,…,Xn)服從n維正態分布，則存在可逆矩陣B，使得

(U1,U2,…,Un)T=B-1((X1,X2,…,Xn)T-(μ1,μ2,…,μn)T)

服從n維標準正態分布.

證明設X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，其概率密度

因Σ是實對稱正定矩陣，故存在可逆矩陣B，使得Σ=BBT，于是

B-1Σ(B-1)T=B-1(BBT)(B-1)T=(B-1B)(B-1B)T=In.

做變換U=B-1(X-μ)，利用條件X～Nn(μ,Σ)和引理6可得U～Nn(O,B-1Σ(B-1)T)，即U～Nn(O,In).因此，存在可逆矩陣B，使得U=B-1(X-μ)服從n維標準正態分布.證畢.

定理1設X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，且Σ=BBT，則存在相互獨立且都服從標準正態分布的U1，U2，…,Un，使得

(X1,X2,…,Xn)T=B(U1,U2,…,Un)T+(μ1,μ2,…,μn)T.

由引理7，定理1得證.

利用定理1，可以證明X=(X1,X2,…,Xn)T服從n維正態分布的協方差矩陣

E((X-EX)(X-EX)T)=BBT=Σ.

定理1溝通了一般多維正態分布與多維標準正態分布的關系，也說明了多維正態分布的來源方式.利用定理1，可以研究多維正態分布的特征函數的計算公式和多維正態的性質.

證明由定理1可知，存在可逆矩陣B，n維標準正態分布U，使得X=BU+μ.由于

Y=(k1,k2,…,kn)(X1,X2,…,Xn)T+b=(k1,k2,…,kn)B(U1,U2,…,Un)T+

定理2的證明是將定理1的結果代入，經過線性變換的傳遞表示為獨立的正態分布的線性組合，即證明了n維正態分布的線性函數服從正態分布，這是一種簡便、直接的證明方法.

3 n維正態分布的邊沿分布服從正態分布

n維正態分布的邊沿分布仍服從正態分布，所以服從n維正態分布的隨機變量的線性組合可以是其各邊沿分布的線性組合，問題可借助該思路進行討論.

首先證明特殊的協方差矩陣下n維正態分布的邊沿分布服從正態分布.

引理8[15-16]設X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，將矩陣剖分為

其中Σ11是r階方陣.若Σ12=Σ21=O，則X(1)與X(2)相互獨立，且X(i)～Nn(μ(i),Σii)，i=1,2.

(1)

(1)式等號右端第1個方括號內是r維正態分布的密度函數，即X(1)～Nr(μ(1),Σ11)，同理X(2)～Nn-r(μ(2),Σ22).由于X的密度函數等于X(1)的密度函數與X(2)的密度函數的乘積，因此X(1)與X(2)相互獨立.證畢.

下面將特殊的協方差陣推廣至一般情況.

定理3[15-16]設X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，將矩陣剖分為

其中Σ11是r階方陣，則有X(1)～Nr(μ(1),Σ11).

由引理8可得X(1)～Nr(μ(1),Σ11).證畢.

定理4[15-16]設X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，A為r×n階矩陣，Rank(A)=r，b為r維列向量，則有Y=AX+b～Nn(Aμ+b,AΣAT).

由引理6可知AX～Nr(Aμ,AΣAT)，AX為r維正態分布.由正態分布的期望與方差運算法則可知Y=AX+b～Nr(Aμ+b,AΣAT).證畢.

證明設A為非0行向量(k1,k2,…,kn)，這時Rank(A)=1，于是

4 四維正態分布關于四階矩的一個性質

利用多維正態分布的特征函數理論可討論多維正態分布更多的性質[1-3,17-21].多維正態分布有各種不同的性質，其中四維正態分布有一個特別的關于四階矩的性質.

定理5[3]設(X1,X2,X3,X4)服從四維正態分布，且EXk=0,k=1,2,3,4，則有

E(X1X2X3X4)=E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3).

證明由條件可知，Cij=cov(Xi,Xj)=E(XiXj),i,j=1,2,3,4.四維正態分布(X1,X2,X3,X4)的特征函數[1-3]

由矩與特征函數的關系可得

故結論得證.證畢.