蓋驅動腔的動理學理論數值分析

楊關旬 盧志偉

摘要： 為了探討蓋驅動腔流場的影響因素和分布規律，本文提出采用氣體動理學格式對其流場開展研究。論文結合蓋驅動腔的物理模型，采用有限體積法對Boltzmann方程開展了數值過程推導和數值計算。給出了數值計算過程中以虛網格技術實現的絕熱無滑移邊界條件，計算了不同雷諾數下蓋驅動方腔的流場和流線特征，提取了兩條正交中心線上的速度分布并分析其衰減規律，得到了方腔流場中的渦量特征和流線變化，分析了方腔的渦量強度變化與流線變化成因。結果表明，采用氣體動理學格式計算蓋驅動腔流動可以詳細地捕捉流場細節和分布規律，雷諾數的不同對流場分布有著顯著的影響，氣體動理學格式可以作為研究蓋驅動方腔的典型計算方法。

Abstract： In order to explore the influencing factors and distribution law of the flow field in the lid-driven cavity， this paper proposes to use the gas kinetic scheme to study its flow field. Based on the physical model of the lid-driven cavity， the paper uses the finite volume method to carry out the numerical process derivation and numerical calculation of the Boltzmann equation. The adiabatic non-slip boundary conditions realized by ghost cell technology in the numerical calculation process are given. The flow field and streamline characteristics of the square cavity lid-driven under different Reynolds numbers are calculated， and the velocities on two orthogonal center lines are extracted. Distribution and analysis of its attenuation law， the vorticity characteristics and streamline changes in the square cavity flow field are obtained， and the causes of the vorticity intensity changes and streamline changes in the square cavity are analyzed. The results show that using the gas kinetic scheme to calculate the flow in the lid-driven cavity can capture the details and distribution of the flow field in detail， and the difference in Reynolds number has a significant impact on the flow field distribution. The gas kinetic scheme can be used as a typical calculation method for studying the lid-driven cavity.

關鍵詞： 氣體動理學格式;蓋驅動腔;有限體積法;數值模擬

Key words： gas kinetic scheme;lid-driven cavity;finite volume method;numerical simulation

中圖分類號：TP271+.4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-957X（2022）03-0045-03

0 ?引言

氣體動理學格式（Gas Kinetic Scheme，GKS）是20世紀90年代Xu Kun等人提出的以Boltzmann方程及其簡化模型方程開展的離散空間直接建模數值方法[1][2]。相比于N-S方程，GKS適用于多尺度，跨流域流動，數值計算量小，能有效模擬高超速飛行器飛行面臨的高雷諾數復雜湍流問題[3]。所以，GKS從建立之初就受到了廣泛的關注，更多的學者不斷地豐富和探討這一方法。

研究現狀表明，氣體動理學格式的研究更加深入，適用范圍廣泛，實用性更強。蓋驅動方腔是計算流體力學（CFD）中驗證計算方法的一個熱門問題。眾多的研究人員采用的不同的數值方法對方腔內部的渦旋變化展開研究，Ghia等人[4]采用二維不可壓縮Navier-Stokes方程的渦量-流函數來研究耦合強隱式多重網格（CSI-MG）方法以確定高雷諾數下蓋驅動方腔解中的有效性，此計算結果常被視為蓋驅動方腔計算的基準解。

目前眾多的研究者針對蓋驅動方腔的研究主要還是以N-S方程為理論基礎，采用渦量-流函數法以有限差分的格式對蓋驅動腔流動進行數值研究。本文運用氣體動理學格式對蓋驅動方腔開展數值模擬，探討GKS數值模擬的數值過程。對比其他學者的計算結果，驗證了氣體動理學格式的適用性，計算結果的正確性。另外，對蓋驅動方腔內的渦旋展開了分析，揭示蓋驅動方腔的流動特征規律。

1 ?蓋驅動方腔物理模型

本文研究的蓋驅動方腔的幾何結構如圖1所示，邊長L=1.0m的二維方形腔體，方腔頂部有一速度為Ulid=1.0m·s-1的活動平板沿水平方向平移，方腔內密封氣體在平板的作用下產生運動，設腔體內的氣體密度為？籽=1.0kg·m-3;運動粘度為ν=6.667×10-5m2·s-1。蓋驅動腔的雷諾數Re=UlidL/v。

計算網格和邊界條件：蓋驅動腔的計算過程采用均勻的笛卡爾直角網格來離散計算區域，邊界條件是流固邊界上的無滑移邊界條件，方腔流動的左、右、下邊界均采用絕熱固壁無滑移邊界，上邊界采用絕熱邊界。GKS上不同的邊界條件一般采用虛網格技術來實現，一般假設流體邊界和固體邊界與網格界面重合，A1，A2表示流體區域內的網格中心點，而A-1，A-2表示與A1，A2相對應的虛網格中心點，可以得出A-1，A-2關于固體邊界分別與A1，A2對稱。為實現絕熱無滑移邊界條件，使得插值后邊界處的流體速度為0，即：

2 ?流場的數值分析

通過查閱文獻蓋驅動方腔流場特征分布規律主要考慮雷諾數的變化關注初級渦旋和次級渦旋的變化。分別計算了雷諾數Re=100、400、1000、3200時方腔的流場分布情況。

2.1 正交中心線上速度分布

圖2給出了不同雷諾數下，方腔的縱向中心線上U/Ulid和橫向中心線上V/Vlid速度分布曲線。當Re=100時，橫向中心線上V/Vlid的速度關于方腔縱向中心線反向對稱;方腔的縱向中心線上U/Ulid的速度曲線斜率整體變化范圍較大，且大致在水平中心線以下位置速度陡降，雷諾數相對較小，流體的運動粘度大，方腔頂蓋的平板驅動對方腔底部產生的作用較小，腔內底部的氣體流動相對緩慢。結合兩條正交中心線的速度相對比分析，可以預測，當Re=100時，方腔底部的的流場流態大致關于縱向中心線對稱。當Re=400，1000，3200時，兩條正交中心線上的速度曲線斜率在遠離壁面的中間位置變化范圍很小，當Re=1000時，這種現象尤其明顯，斜率幾乎不變。這表明在流場的內部，速度恒定，流體呈均勻運動。另外，靠近方腔壁面邊界時，速度斜率反生劇烈變化的的先后次序對應的雷諾數依次是Re=100，400，1000，3200，且速度斜率發生劇烈變化與到壁面的距離相關，雷諾數越大，越接近壁面，速度斜率才發生劇烈變化，這表明隨著雷諾數的增大，壁面處邊界層的厚度減小，方腔中的大多數氣體繞初級渦旋做圓周運動。

2.2 渦量分布和流線特征

圖3給出了不同的雷諾數下蓋驅動腔的渦量等值線。當Re=100時，由渦量的等值線可以得出，方腔的頂蓋附近，渦量的強度較大，自上而下，渦量強度依次衰減，腔內的渦量等值線向右偏移。方腔的底部壁面和左側壁面渦量強度較小，右壁面的渦量強度強于左壁面。

當Re=1000時，方腔內的總體渦量強度與Re=100相比明顯增大，方腔的左、右底角渦量明顯增強。壁面對腔內氣體的剪切力作用，方腔的左右壁面附近渦量強度較大。壁面到腔體內部的過渡位置形成了一條兩邊渦量強度大，內部渦量強度小的環形渦量等值帶，這是壁面剪切力和腔體內部氣體做圓周運動共同作用的結果。在方腔的內部，渦量強度差別變化不大，左右底角的渦量強度與方腔內部的渦量強度大致相等。Re=3200時，與Re=1000相比渦量強度除壁面附近外變化不大，左右底角的渦量強度增大，且右底角的渦量強度變化明顯強于左底角。渦量等值線在方腔中心形成了完成的渦量流線和恒定的渦量強度。腔體內部作圓周運動形成的渦旋增大，似有向壁面擴大的趨勢。這與之前從正交中心線上特征速度分布曲線得到的現象是一致的。

圖4出了不同的雷諾數下的流場流線分布，流場的渦量變化是流場流線分布的內部歸因，流場流線分布是渦量強度變化的外部具體表現。當Re=100時，頂蓋附近流線略微擁擠，在那里出現最大的速度，頂蓋的平移帶動氣體產生了剪切力，因此頂蓋附近流場的渦量強度大。右壁面產生剪切力強于左壁面，流場的初級渦旋在頂蓋附近且偏右。左右底角的渦量強度并無明顯變化，所以在方腔的底部附近流線基本呈對稱分布。

隨著雷諾數的增大，頂蓋驅動產生的初級渦旋流線向方腔的中心附近靠近，初級渦旋流線的左上角向內凹陷。其次，方腔的左右兩底角產生了次級渦旋。方腔內流場的流線除左右底角外分布地更加均勻，這表明腔內大部分氣體運動趨于平穩。當Re=3200時，流場分布與Re=1000相比方腔的初級渦旋流線并無明顯變化。流場的左右底角次級渦旋隨著渦量強度增大流線分布更加密集，左右底角流線分布情況與渦量強度變化是一致的。除此之外方腔的左上角也產生了次級渦旋流線。

3 ?結論

本文采用氣體動理學格式以有限體積法的方式對蓋驅動方腔進行了數值計算，探討和研究了蓋驅動腔中不同的雷諾數對流場的渦旋變化和流線特征的影響規律。主要結論如下：雷諾數的改變不僅改變了流場的運動粘度，直接影響是雷諾數增大使運動的頂蓋產生的壁面剪切力增強，頂蓋帶動腔內氣體運動的對稱性遭到了破壞，流場運動的渦量等值線和流線向右傾斜;隨著雷諾數的增大，方腔的左右底角產生次級渦旋，并且渦旋的渦量強度是隨著雷諾數的增大而增強的。運用氣體動理學格式，建立基本的數學模型過程，詳細地闡述了虛網格技術邊界條件的構造，揭示了GKS在流體數值計算的一般過程。蓋驅動方腔可以作為研究氣體動理學格式一個很好的切入點，同時氣體動理學格式為進一步研究蓋驅動腔提供了新的理論指導。

參考文獻：

[1]Xu K. Numerical Navier–Stokes solutions from gas-kinetic theory[J]. Comput. Phys.， 1994， 114（1）： 9-17.

[2]Xu K. A gas-kinetic BGK scheme for the Navier–Stokes equations and its connection with artificial dissipation and Godunov method[J]. Comput. Phys.， 2001， 171（1）： 289-335.

[3]李詩一，張潮，譚爽，等.氣體動理學格式及其在再入問題中的應用[J].空氣動力學學報，2018，36（05）：885-890.

[4]Ghia U，Ghia K N，Shin C T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method[J]. Academic Press，1982，48（3）：387-411.