同質網絡中具有時滯的謠言傳播模型的動力學分析?

童新如，蔣海軍,2?，陳向勇

(1.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830017；2.伊犁師范大學 數學與統計學院，新疆 伊寧 835000；3.臨沂大學自動化與電氣工程學院，山東 臨沂 276005)

0 引言

謠言是指沒有相應的事實依據而被捏造出來的一種言論.而網絡又是自由交流的平臺,于是越來越多的網絡謠言出現在人們的生活里.在信息全球化時代,謠言不再受制于時間與空間,任意一條網絡謠言都可能在全世界范圍內實時大量的傳播,從而擾亂正常的生活秩序,以至于帶來一系列的負面影響[1?2].例如一些人在網上散布謠言稱生活必需品的價格將大幅上漲,以至于一些市民搶購生活用品從而造成市場混亂.類似的事件層出不窮,這些事實都告誡我們:由于網絡謠言越來越多且影響惡劣,因此研究網絡謠言的傳播機制進而控制謠言具有重要意義.

謠言傳播與傳染病傳播有很多相似的地方.一直以來,謠言傳播模型大多借鑒了傳染病模型的成果.最為經典的謠言傳播動力學可以追溯到1965年Daley和Kendall所提出的DK模型[3],以及Maki和Thompson所提出的MT模型[4].盡管DK模型和MT模型只適用于描述傳統口口相傳的小范圍謠言傳播過程,不能完全反映謠言傳播的現實特征,也沒有考慮到網絡的拓撲結構對謠言傳播的影響,但它們卻為后來研究復雜網絡上的謠言傳播提供了研究框架和一定的理論基礎.

近年來,國內外眾多學者利用數學模型對謠言傳播進行了定性描述,并且給出了謠言消除或盛行的閾值條件.此外,關于謠言傳播的分析,學者們主要做了以下兩方面研究:一方面,隨著復雜網絡理論的快速發展,越來越多的學者開始研究網絡拓撲結構對謠言傳播的影響[5?7].值得注意的是,Zanette首次將復雜網絡理論引入到謠言傳播模型中,并建立了小世界網絡中的謠言傳播模型[8?9].研究表明,網絡結構對謠言的傳播有顯著的影響.此后,越來越多的學者將謠言傳播的動態行為與網絡的拓撲特征聯系起來,進一步提出了基于不同網絡結構的謠言傳播模型來闡明謠言在不同環境下的傳播過程[10?12].另一方面,為了進一步地了解謠言在現實世界中的傳播動態,許多學者考慮了各種各樣的謠言傳播機制,如信任機制[13]、遺忘機制[14]、潛伏機制[15]、懷疑機制[16]等.不可否認,網絡的拓撲結構和各種各樣的傳播機制在謠言的傳播過程中發揮著重要作用.

值得指出的是,猶豫機制在謠言傳播過程中也起著重要作用.最近,為了研究猶豫機制對謠言傳播的影響,Liu等建立了具有猶豫機制的謠言傳播模型[17]，并指出個體在面對謠言時一般具有猶豫的心理.然而,在真實的謠言傳播過程中,人們面對謠言時往往不僅會猶豫,而且還會表現出不同的個體行為,即當謠言易感個體聽到謠言后,往往有三種不同的行為選擇:第一種選擇是相信并傳播謠言從而成為謠言傳播個體;第二種選擇是猶豫是否傳播謠言從而成為謠言猶豫個體;第三種選擇是對謠言不感興趣從而成為謠言恢復個體.因此,本文將在同質網絡中考慮這三種不同的個體行為對謠言傳播的影響.

此外,由于謠言在傳播的過程中會有復發的可能性,Yao等建立了具有復發機制的謠言傳播模型[18].謠言的復發是指一些謠言傳播個體可能在當下階段由于某些原因而停止傳播謠言,但在下一階段可能會因為一些不可預見事情的發生又重新燃起了傳播謠言的興趣,從而選擇再次傳播謠言.顯然,將復發機制考慮到謠言傳播的過程中會更加接近謠言傳播的真實情況.另一方面,注意到上述研究并沒有考慮到網絡拓撲結構以及復發時滯對謠言傳播的影響,也沒有對謠言傳播平衡點的全局穩定性進行嚴格的理論分析.事實上,這些因素對謠言傳播的建模分析來說是至關重要的.于是,本文將建立同質網絡中具有謠言復發和復發時滯的謠言傳播模型來更好地刻畫謠言,并且對謠言傳播平衡點的全局穩定性進行嚴格證明.除此之外,Allport和Postman認為,被討論的信息如果內容越重要并且表達越模糊,那么謠言傳播的速度越快,進而影響的范圍和程度就越大[19?20].因此,本文將內容的重要性和模糊性統一看作謠言對個體的吸引性從而刻畫個體對謠言的感興趣程度,并且在建模過程中引入謠言吸引性參數m,從而建立了同質網絡中具有時滯的SHILR謠言傳播模型.

1 模型建立

本節將利用復雜網絡理論對謠言傳播過程進行建模.其中,節點表示所有使用社交網絡平臺的個體,而兩個節點之間的連邊則表示通過網絡連接的兩個體之間的聯系.因此,謠言可以通過這些節點之間的邊進行傳播.假設網絡的平均度是〈k〉,并且將網絡中的用戶分為五類,分別表示t時刻的謠言易感個體S(t),謠言猶豫個體H(t),謠言傳播個體I(t),謠言潛伏個體L(t)以及謠言恢復個體R(t).謠言的傳播過程如圖1所示.

基于圖1中的謠言傳播規律,作如下解釋:假設系統的移入率是B,每個倉室的移出率是μ.當易感個體S通過與謠言傳播個體I進行接觸,以α的概率聽到謠言,易感個體就會有三種可能的選擇:第一種選擇是相信并傳播謠言,從而以θ1的概率成為謠言傳播個體;第二種選擇是猶豫是否要傳播謠言,從而以θ2的概率成為謠言猶豫個體H;第三種選擇是不相信也不傳播謠言,從而以(1?θ1?θ2)的概率成為謠言恢復個體R.在經過一段時間的考慮之后,猶豫個體H會有兩種選擇:猶豫個體可能由于被謠言吸引從而以mβ的概率變成謠言傳播個體(m代表謠言的吸引性);也可能不被謠言吸引從而以(1?m)β的概率成為謠言恢復個體.而對于謠言傳播個體而言,當謠言被驗證是假消息時,他們就會變成謠言潛伏狀態.潛伏狀態的個體L可能完全失去了傳播謠言的興趣,從而以η的概率成為謠言恢復個體;也有可能以?的概率再次變成謠言傳播個體.

圖1 SHILR謠言傳播過程

綜上所述,基于平均場理論,建立如下同質網絡中具有謠言復發、復發時滯以及個體行為的SHILR謠言傳播模型:

由于系統(1)的前四個方程獨立于恢復個體R,為了方便起見,考慮如下等價系統:

其中:B>0,μ>0,α>0,θ1∈(0,1),θ2∈(0,1),1?θ1?θ2∈(0,1),m>0,β>0,γ>0,?>0,η>0.記N(t)是t時刻用戶的總數,則N(t)=S(t)+H(t)+I(t)+L(t)+R(t).此外,系統還滿足初始條件:S(t)=φ1(t)≥0,H(t)=φ2(t)≥0,I(t)=φ3(t)≥0,L(t)=φ4(t)≥0,t∈(?τ,0],其中φi(t)(i=1,2,3,4)是非負連續函數.

2 平衡點的動力學分析

眾所周知,在傳染病學領域,基本再生數R0表示在發病初期,當所有人均為易感者時,一個病人在其平均患病期內所傳染的人數,它是判斷疾病是否傳播的重要閾值.類似的,在謠言傳播的研究中,定義R0來判斷謠言是否傳播,并分析平衡點的存在性與穩定性.

定理1定義基本再生數

(i)若R0<1,則系統(2)存在唯一的無謠言平衡點E0=(Bμ,0,0,0).

(ii)若R0>1,則系統(2)存在唯一的謠言傳播平衡點

證明當系統(2)達到平衡時,各個倉室用戶數量不再隨時間的改變而改變.于是,令系統(2)等號右邊為零,解如下方程:

由于當謠言消失時,有I(t)=0.于是,將I(t)=0帶入系統(2),可得S(t)=,H(t)=0,L(t)=0.因此,無謠言平衡點為E0=(,0,0,0).

此外,下面利用下一代矩陣法[21]求系統(2)的基本再生數.注意到,表示感染的倉室有H(t),I(t),L(t),對其進行重新排序為(H(t),I(t),L(t)).具有新感染的非線性項和剩余項分別為F和V,則

通過求解(5),得到唯一的謠言盛行平衡點E?=(S?,H?,I?,L?)如下:

因此,若R0>1時,則系統(2)存在唯一的謠言傳播平衡點E?=(S?,H?,I?,L?).

定理2若R0<1,則系統(2)中的無謠言平衡點E0=(,0,0,0)是全局漸近穩定的.

證明構造如下Lyapunov泛函V1(t):

由此可見,在(7)中,當R0<1時,有 V˙1(t)≤0.此外,當且僅當S(t)=,H(t)=0,I(t)=0,L(t)=0時,有(t)=0.因此,根據LaSalle不變原理[22]可知:當R0<1時,系統(2)的無謠言平衡點E0是全局漸近穩定的.

定理3若R0>1,則謠言傳播平衡點E?=(S?,H?,I?,L?)是全局漸近穩定的.

證明構造如下Lyapunov函數V2(t):

其中,對于所有的n>0,有g(n)=n?1?ln n≥g(1)=0成立.令

3 數值模擬

本節通過數值實例驗證理論結果的正確性,并分析時滯對謠言傳播的影響．

3.1 無謠言平衡點的全局穩定性

為了證明定理2的有效性,選取系統(2)中的一組參數:n=200,B=0.02,α=0.2,β=0.1,γ=0.16,μ=0.02,θ1=0.15,θ2=0.2,η=0.2,?=0.1,m=0.02,τ=2.在這組參數的取值下,有R0=0.771 4<1.從圖2(a)中可以看到,如果R0<1,此時的謠言傳播個體的數量會隨著時間的流逝而最終消失.從圖2(b)中可以看到,當R0<1時,從不同初始值出發的解都會收斂到無謠言平衡點E0,從而無謠言平衡點E0是全局漸近穩定的.

圖2 無謠言平衡點E0的穩定性

3.2 謠言傳播平衡點的全局穩定性

為了證明定理3的有效性,選取另一組參數:n=200,B=0.02,α=0.35,β=0.1,γ=0.2,μ=0.02,θ1=0.3,θ2=0.2,η=0.2,?=0.1,m=0.4,τ=2.此時,有R0=2.664 4>1.謠言傳播平衡點E?的穩定性如圖3所示.圖3(a)表明,當R0>1時,謠言傳播者的密度變化比較復雜,先下降后上升再下降,但是謠言的最終傳播規模卻是收斂到一個固定的常數.這就意味著謠言將繼續盛行,謠言傳播者的密度不為零.圖3(b)表明,當R0>1時,從不同初始值出發的解都會收斂到謠言傳播平衡點E?,從而謠言傳播平衡點E?是全局漸近穩定的.

圖3 謠言傳播平衡點E?的穩定性

3.3 時滯對謠言傳播的影響

為了討論復發時滯對謠言傳播的影響,分別取τ為0,5,10,15,20,而其它參數與R0>1時所選取的參數一致.如圖4所示,時滯的存在使得謠言的傳播過程更為復雜,但是并不影響謠言傳播的最終規模.

圖4 時滯τ對謠言傳播的影響

4 結論

本文綜合考慮了謠言復發、復發時滯以及個體行為因素,建立了同質網絡中具有時滯的SHILR謠言傳播模型.首先,利用下一代矩陣法得到了基本再生數R0.其次,利用Lyapunov方法和LaSalle不變原理[22]分析了模型平衡點的穩定性.同時,數值模擬結果有效地驗證了理論的有效性,最后分析了時滯對謠言傳播的影響.結果表明,時滯的存在使得謠言傳播的過程更為復雜,但不影響謠言傳播的最終規模.此外,受到具有隨機噪聲[23]和分支現象[24]傳染病動力學的啟發,在同質和異質網絡上研究隨機擾動下的謠言傳播以及研究具有分支現象的謠言傳播動力學是今后有待研究和探討的問題.