柔性對渦街中細絲運動狀態的影響

劉亮，何國毅，何心怡，王琦

（南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063）

0 引 言

在自然界中，游動或飛行動物通過鰭、翅膀、尾部、軀干等結構的擺動來獲得推力、升力是非常普遍的現象。在擺動過程中，動物的身體往往會發生比較大的變形，其中柔性起著至關重要的作用。實驗研究表明，柔性可以提高推進性能。對游動或飛行過程中動物身體或者翅膀柔性的研究，不僅有助于了解運動機理，也能為飛行器和自主水下航行器的設計提供參考。

近年來，考慮到生物體柔性的特點，同時為了摒除其他因素的影響，一些研究者單獨研究柔性對推進性能的影響，將翅膀、鰭、魚類的尾部以及軀干等柔性結構，簡化成柔性撲翼、細絲等模型。D. Iverson 等通過對撲翼的弦向柔性進行研究，發現和剛性撲翼相比，柔性撲翼可以提高推力和運動效率；張云飛等的研究表明，展向柔性的引入改變了撲翼有效攻角沿展向的分布，并且適當的展向柔性可以減小阻力系數，但是過大的展向柔性卻會增加阻力系數；Z. Peng 等通過數值模擬，發現當細絲的柔性從頭端到尾端逐漸減小時，其推力要高于柔性不變的細絲；N. L.Kelsey 等發現，當水翼的前1/3 部分的柔性比較小，后2/3 部分的柔性比較大時，推進效率是最高的。對于魚類來說，雖然有很多因素（材質，外形，流體之間的相互作用，驅動方式）影響推力的產生和游動效率，但是被動不均勻柔性是影響推力和效率的主要變量。

需要指出的是，在大部分對柔性的研究中，只探究了柔性對推力、運動效率以及推進速度的影響，關于柔性對運動狀態以及其他方面影響的研究還比較少。Zhu X 等通過自推進柔性細絲模型，探究了柔性對尾渦對稱性的影響：增加細絲的柔性，會導致細絲頭端攻角減小，使得頭端渦量降低，同時也會增加尾端的拍打速度，導致尾端渦量的增加，這兩種相反的作用相互影響，最終決定尾渦的對稱性。通過對串聯布置在均勻來流中的兩根頭端固定細絲進行數值模擬研究（細絲的頭端在水平方向和豎直方向上都是固定不動的，其他部分是自由的），Zhu L D發現，在其他實驗條件都相同的情況下，細絲柔性較大時，細絲能處于擺動狀態，但是當細絲柔性較小時，細絲幾乎處于靜止狀態。

鳥類在長途遷徙的過程中經常能保持一定的隊形規律飛行，后面的個體通常位于前面個體的渦街中，并且當鳥群保持“V”字形隊飛行時，位于側后方的個體能夠節約能量。為了探究其中的流體力學機理，研究者提出了渦街中的細絲模型。Lin Xingjian 等通過對撲翼尾跡中的細絲進行研究，發現當細絲在渦街中做繞核運動（細絲總是繞著渦核運動，并不會與渦核相撞，類似于障礙滑雪）時，相比于當細絲在渦街一側運動，細絲的阻力明顯減??；王思瑩等通過對比柔性細絲在卡門渦街和自由來流中的運動，發現在卡門渦街中，細絲的擺動頻率和卡門渦街脫泄的頻率相同，并且受推力作用，但是在自由來流中，細絲受阻力作用。

在上述研究中，無論是自推進柔性細絲模型還是頭端固定細絲模型，細絲在垂直于前進方向上的運動都是受到限制的，在豎直方向上的流—固耦合作用可能會被忽略，無法充分探究柔性對細絲運動狀態的影響。

本文在側向完全自由的柔性細絲模型基礎上，給出三種細絲柔性分布模式，均勻柔性、連續變柔性和分段柔性分布；并應用浸入邊界法（Im?mersed Boundary Method），通過數值模擬分析柔性變化對細絲運動狀態的影響。

1 物理模型和數值方法

1.1 物理模型

本文物理模型中左邊是剛性撲翼，右邊是柔性細絲，二者均置于從左向右的二維不可壓縮均勻來流中（如圖1 所示）。其中，、分別為撲翼弦長和頭端直徑；為撲翼最大擺角；為細絲長度；為初始來流速度；為細絲頭端和撲翼尾端的距離。

圖1 位于撲翼尾跡中的側向自由細絲模型示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of the physical model

剛性撲翼繞著頭端半圓中心擺動，擺動方程為

式中：（）為撲翼的擺角，是時間的函數；為撲翼最大擺動角度；為擺動頻率。

通過給定參數和的不同取值，撲翼可以產生不同的尾跡，包括卡門渦街和反卡門渦街。細絲的頭端在水平方向上是固定的，在垂直方向上是自由的，細絲其他部分在水平方向和垂直方向上都是不受限制的。在撲翼產生的尾跡穩定之后，沿來流方向（=0），細絲被水平放置在渦街中。在周圍流體的作用下，細絲被動擺動。

圖2 細絲的三種柔性分布模式示意圖Fig.2 Three flexible distribution modes of the filament

1.2 數值方法

流—固系統的控制方程為

式中：，和（）分別為流體的速度，壓強和細絲的位置坐標；和分別為歐拉力密度和拉格朗日力密度，表示流體和固體間的相互作用；為拉格朗日坐標；為時間。

式（2）～式（5）均是無量綱形式，是通過細絲長度和初始來流速度進行無量綱化的（=1.0，=1.0）。

式中：為雷諾數，=255；為流體密度；為撲翼頭端直徑；為動力黏度。

本文使用到的其他主要無量綱參數定義為

式中：為基于撲翼撲動頻率的斯特勞哈爾數；為撲翼擺動的的振幅；為細絲和撲翼之間的水平距離。

此撲翼細絲模型存在兩種浸入邊界，一種是撲翼的剛性邊界，另外一種是細絲的柔性邊界，因此，浸入邊界和流體之間的相互作用力由兩部分組成，如式（10）所示。

式中：（，）為流體和浸入邊界之間的相互作用力；（，）為流體和剛性撲翼之間的相互作用力；（，）為流體和柔性細絲之間的相互作用力。

計算周圍流體和細絲之間相互作用力的方程如下：

撲翼和流體之間的相互作用，通過以下方程計算：

式中：U(，)為撲翼的實際速度；(，)為撲翼的浸入邊界速度（根據流體速度估算得到）。

對于固體結構，無滑移邊界條件施加在柔性細絲和剛性撲翼表面。施加在細絲頭端（=0）的邊界條件為

施加在細絲自由端（=）的邊界條件為

采用浸入邊界法對撲翼細絲模型進行數值模擬計算，計算區域為矩形，尺寸為-5＜＜20，-8＜＜8。本文所使用的計算網格參考于課題組前期的工作，計算網格由280×160 個空間網點組成，網格寬度為Δ=Δ=0.025，時間步長為d=0.002。通過模擬在均勻流中圓柱體的振蕩以及位于圓柱繞流中細絲的運動，得到本文所使用的求解程序驗證是準確的。

2 計算結果與分析

2.1 細絲運動狀態計算結果

通過改變撲翼的擺動頻率和最大擺角，撲翼可以產生不同的尾跡，包括卡門渦街和反卡門渦街。在撲翼產生的尾跡穩定之后，細絲才被放入撲翼的尾跡中。通過對比6 組數據（如表1 所示），分別在卡門渦街和反卡門渦街中，探究柔性對細絲運動模式的影響。

表1 對比實驗中的物理參數設置Table 1 Physical parameter settings in the comparative experiment

在A、B、C、D 四組對比實驗中，撲翼產生的尾跡為卡門渦街。A、B 兩組實驗除了細絲柔性不同，其他參數都是相同的，在這兩組實驗中，細絲的柔性都是均勻的，但是B 組中的細絲柔性更大。在A 組實驗中，細絲做繞核運動，即細絲總是在相鄰渦核之間來回穿梭擺動，逆時針方向旋轉的漩渦（正渦）總是會從細絲的下側（-方向）通過，而順時針旋轉的漩渦（負渦）總是會從細絲的上側（+方向）通過，細絲做繞核運動時，一個周期內四個時刻的渦量云圖如圖3 所示。

圖3 柔性細絲做繞核運動時，一個周期內的四個不同時刻的渦量云圖（St=0.12，Ad=2.1）Fig.3 The instantaneous vorticity contours and filament shapes within a complete swing cycle（St=0.12，Ad=2.1）

在A 組實驗中，細絲在渦核間做繞核運動的結果如圖4 所示。在B 組實驗中，細絲的運動模式和A 完全不同，細絲在渦街一側運動，即細絲總是保持在渦街外側擺動，不會返回到渦街中間的位置，正渦和負渦都在細絲的相同一側（上側或者下側）。細絲在渦街一側運動時，一個周期內四個時刻的渦量云圖如圖5 所示。

圖4 A 組實驗結果結果Fig.4 Results of group A

圖5 柔性細絲在渦街一側運動時，一個周期內的四個不同時刻的渦量云圖（St=0.22，Ad=2.1）Fig.5 The instantaneous vorticity contours and filament shapes within a complete swing cycle（St=0.22，Ad=2.1）

在B 組實驗中，細絲在渦街一側運動的結果如圖6 所示。

圖6 B 組實驗結果Fig.6 Results of group B

圖7 細絲頭端和尾端的y 坐標隨時間變化的曲線Fig.7 The curve of the y coordinate of the filament changing with time

2.2 細絲運動狀態隨柔性變化的規律

由于細絲是被靜止地放入渦街中，在豎直方向上，沒有受到除流場力以外的其他任何力的作用。細絲在豎直方向的擺動（向上擺動或者向下擺動）是因為受到撲翼撲動產生的渦對誘導速度在方 向 的 分 量V的 作 用，其 中，V=(/2π)sin，為渦環量，為兩相鄰渦核之間的距離，為誘導速度和水平線之間的夾角，如圖8所示。

圖8 流場中渦對的y 向誘導速度VГy計算示意圖Fig.8 Calculation diagram of y-direction induced velocity VГy of vortex pair in flow field

隨著漩渦不斷向下游移動，細絲所在區域的向（豎直方向）流場誘導速度V的方向（向上或者向下）也會周期性變化，細絲的運動模式和方向上流場誘導速度V大小有關，同時也受漩渦向下游移動的速度影響，=d（）/d，（）是渦核時刻所在位置的坐標。當V的值比較大時，細絲會受流場力作用，在渦街一側做自適應擺動運動，無法回到渦街中。本課題組前期工作發現，當比較大時，在細絲剛開始放入渦街的過程中，細絲沒有足夠的時間運動到渦街的外側，便受到從上游傳輸過來的反向渦的誘導力，從而改變擺動方向，如此循環往復，在渦街中做繞核運動，如圖9 所示。

圖9 細絲做繞核運動示意圖［20，22］Fig.9 Schematic diagram of filament moves around the vortex cores［20，22］

圖10 在撲翼擺動參數（St，Ad）不同的條件下|VΓy|/|Vp|的值Fig.10 The value of||/|Vp|under different flapping parameters（St，Ad）

從圖10 可以看出：

（1）當|V|/||＜0.175 時，細絲在渦街中做繞核運動。改變細絲的柔性，細絲的運動狀態并不會改變，始終是做繞核運動。這是由于當|V|/||的值較小時，渦對在豎直方向上的誘導速度較小，且由于的值相對較大，細絲沒有足夠的時間朝渦街的上側（或下側）運動，便受到從上游傳輸過來的反向渦的作用，被迫改變運動方向，開始朝渦街下側（或上側）擺動，因此細絲一直在渦街中做繞核運動。

（2）當0.175≤|V|/||＜0.3 時，細絲在渦街一側運動。但是，減小細絲柔性，細絲的運動狀態會由在渦街一側運動轉變繞核運動。為了探究細絲運動狀態發生改變所對應的?值和|V|/||之間的關系，通過六組算例進行對比，如表2 所示。

表2 細絲的運動狀態隨剛度的變化關系Table 2 The motion state of the filament varies with the stiffness

表3 值過渡區間與|VΓy|/|Vp|的對應關系Table 3 The corresponding relationship between transition interval and|VΓy|/|Vp|

（3）當0.3≤||/||時，細絲的運動狀態為在渦街一側運動，改變細絲的柔性，細絲依然保持在渦街一側運動。由于V的值比較大，渦對在豎直方向上的誘導速度較大，且上游反向渦向下游傳輸的速度較慢，細絲有足夠的時間運動到渦街的上側（或下側），在這種情況下，即使細絲的剛度較大，細絲也會被帶到渦街外側。

3 結 論

（1）本文提出了固定柔性分布、連續變柔性分布和分段柔性分布三種細絲柔性分布模式，在撲翼尾跡中（卡門渦街或者反卡門渦街），當其他參數相同時，改變細絲柔性，細絲的運動狀態也會改變。

（2）細絲運動狀態隨柔性的變化規律受渦對在豎直方向上的誘導速度和渦向下游傳輸速度的共同影響，并且，剛度較大的細絲傾向于在渦街中做繞核運動，而剛度較小的細絲傾向于在渦街一側運動。

柔性飛行器或自主水下航行器在進行編隊航行時，應根據流場結構，對下游個體設置合適的柔性，使其能夠始終保持在上游個體產生的尾跡一側運動，達到減小阻力，節約能量的目的。