混凝土內硫酸根離子傳輸過程的元胞自動機模型

馬俊軍，藺鵬臻*，劉應龍，何志剛，顏維毅

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070；2. 蘭州交通大學 建筑與城市規劃學院，蘭州 730070)

對于硫酸鹽侵蝕環境下的混凝土結構而言，硫酸根離子侵蝕是導致混凝土結構發生耐久性失效的主要原因[1-3].因此，準確模擬硫酸根離子在混凝土中的傳輸路徑和分布規律，對硫酸鹽侵蝕環境下混凝土結構耐久性分析與設計具有重要的意義[4].

目前，國內外學者對硫酸鹽腐蝕環境下混凝土內硫酸根離子擴散效應進行了大量研究，并取得了很多研究成果.文獻[5]在Fick第二定律的基礎上，考慮時間對硫酸根離子擴散效應的影響，建立了混凝土內硫酸根離子擴散方程.Marchand等[6]根據質量守恒定律和各侵蝕產物之間的化學平衡關系，利用 Nernst-Planck方程建立了用于分析混凝土內硫酸根離子擴散作用的數學模型，并利用模型對各計算參數的影響進行了討論.趙順波等[7]通過Fick第二定律，考慮混凝土浸泡齡期對硫酸根離子擴散效應的影響，建立了用于預測混凝土內硫酸根離子濃度的新模型.文獻[8-9]考慮荷載作用對混凝土內硫酸根離子擴散作用的影響，利用Fick第二定律和化學動力學理論，建立了荷載與環境耦合作用下混凝土內硫酸根離子非穩態擴散反應微分方程.文獻[10]考慮骨料曲折性對硫酸根離子擴散效應的影響，建立了混凝土中硫酸根離子擴散的多因素模型.雖然上述研究者考慮不同的影響因素，各自建立了相應的硫酸根離子傳輸模型，但模型往往含有高階微分方程，求解困難，限制了模型在工程中的應用范圍.

近年來，元胞自動機作為一種新的數值計算方法，已在混凝土結構耐久性分析方面得到了廣泛應用[11-14].但主要集中在對混凝土中氯離子擴散擴散過程的模擬與分析[15-17]，對于硫酸根離子在混凝土內侵蝕過程的研究還相對較少.為此，本文利用元胞自動機原理，根據硫酸根離子在混凝土中的擴散特點和混凝土損傷演變規律，建立了用于模擬硫酸根離子在混凝土中擴散和劣化的元胞自動機模型，并利用混凝土硫酸鹽侵蝕試驗對模型的準確性進行了驗證.

1 元胞自動機概述

元胞自動機(cellular automata，CA)是一種數值計算方法.通過引入離散的坐標、變量以及時間步長，由于不需要求解復雜的高階偏微分方程就能實現線性和非線性流動問題，因此，用元胞自動機來求解硫酸根離子在混凝土中的擴散問題最為合適.一個完整的元胞自動機模型主要由元胞、元胞空間、元胞狀態、進化規則等構成[14].其中，元胞自動機局部進化規則可以描述為

S(x0,t)=f[S(x0,t),…,S(xi,t),…,S(xn,t)].

(1)

式中：S為元胞的元胞狀態；f為狀態轉移函數，主要由中心元胞及周圍領域元胞的狀態共同決定.因此，在指定元胞自動機進化規則之前，必須定義一定的鄰域類型.在二維元胞領域類型中，常采用如圖1所示的Von Neuman型元胞鄰域類型[15].

圖1 Von Neumen型元胞鄰域類型Fig.1 The type of Von Neumen type cellular neighborhood

2 硫酸根離子傳輸過程的元胞自動機模型

2.1 擴散方程

根據質量守恒定律，硫酸根離子在混凝土中的傳輸過程可以用Fick第二定律來描述，其表達式為

(2)

式中：C=C(x,t)為在t時刻，位于點x=(x,y)處的硫酸根離子濃度，kg/m3；d=d(x,t)為在t時刻，位于點x=(x,y)處的硫酸根離子擴散系數，m2/s；t為侵蝕時間，s.

假定硫酸根離子擴散系數d(x,t)為常數D的情況下，方程(2)可簡化為

(3)

簡化后硫酸根離子傳輸方程解析解只適用于求解少數具有簡單、經典邊界的硫酸根離子擴散問題.而無法對于復雜邊界條件的硫酸根離子擴散問題進行求解.因此，本文嘗試采用一種特殊的數值計算方法(元胞自動機)來求解硫酸根離子在混凝土中的擴散問題.

2.2 硫酸根離子擴散方程的元胞自動機解答

根據質量守恒定律，t+Δt時刻元胞(x,y)中硫酸根離子含量M(x,t+Δt)與t時刻元胞(x,y)中硫酸根離子含量M(x,t)之間的關系可用公式(4)來表示.

(4)

式中：Δt為時間步長，s；Ji,out為從t時刻到t+Δt時刻，沿i方向從元胞(x,y)流出的硫酸根離子擴散通量；Ji,in為從t時刻到t+Δt時刻，沿i方向從元胞(x,y)流入的硫酸根離子擴散通量，方向如圖2所示.

圖2 元胞(x,y)各表面硫酸根離子擴散通量示意圖Fig.2 Schematic diagram of sulfate ion diffusion flux on each surface of cell (x,y)

根據Fick第一定律，在單位時間內通過垂直于擴散方向的硫酸根離子擴散通量與該截面處的硫酸根離子濃度成正比，即：

(5)

式中：D為硫酸根離子擴散系數，m2/s；C(x,t)為在t時刻，位于點x=(x,y)處的硫酸根離子濃度，kg/m3；Li為兩相鄰元胞之間的中心距離，m.

利用元胞自動機進行硫酸根離子模擬時所涉及的元胞組合如圖3所示.

結合式(5)，式(4)可簡化為

(6)

根據擴散定律，在元胞面積不變的情況下，元胞內硫酸根離子含量與濃度成正比，即:

M(x,t)=C(x,t)Ai,

(7)

式中：Ai為元胞面積，m.

結合式(6)和(7)，可得：

(8)

在采用正方形元胞的情況下，根據式(8)可得硫酸根離子在混凝土擴散時的元胞自動機動力學方程為

(9)

式中：φa為t時刻，中心元胞C(x,t)對t+Δt時刻中心元胞C(x,t)硫酸根離子擴散的進化系數；φb為t時刻，鄰域元胞C(xi,t)對t+Δt時刻中心元胞C(x,t)硫酸根離子擴散的進化系數，其與硫酸根離子擴散系數的關系如式(10)所示.

(10)

從式(10)可知：在硫酸根離子擴散系數已知的情況下，進化系數不僅與時間步長Δt有關，還隨元胞尺寸δ的變化而變化.因此，為保證計算精度和效率，必須合理選擇時間步長與網格尺寸的大小.

圖3 元胞組合示意圖Fig.3 Schematic diagram of cell combination

2.3 硫酸根離子擴散系數的確定

根據CA模型的定義，在利用元胞自動機求解混凝土內硫酸根離子濃度之前，需先確定進化系數φa和φb.Biondini等[14]認為進化系數φa和φb分別取0.5和0.125，可使模型具有較高的精度.然而，對于實際混凝土結構，由于混凝土內水泥水化作用的進行以及結構孔隙和微裂縫的發展，導致混凝土內硫酸根離子擴散系數不是一個常量，而是一個隨時間和孔隙率變化的變量，其隨侵蝕時間和結構孔隙率的變化關系可以用公式(11)來表示[7-8]：

(11)

式中：Deff(t)為在t時刻，混凝土內硫酸根離子的有效擴散系數，m2/s；k為被吸收的硫酸根離子對擴散系數的影響系數；t0為硫酸根離子開始擴散時間，s；m為時間依賴性參數；D0為溶液中硫酸根離子的擴散系數，m2/s；P(t)為在t時刻，混凝土的孔隙率，可表示為

(12)

式中：fc為混凝土內水泥的體積分數，%；w/c為材料水灰比；hc為水泥水化程度，根據文獻[9]的研究結果，水泥水化程度隨時間的變化關系可用式(13)所示的非線性函數來表示.

hc=1-0.5[(1+1.67t)-0.6+(1+0.29)-0.48].

(13)

式中：t為水泥水化時間，d.

2.4 混凝土損傷函數的確定

隨著侵蝕時間的推移，硫酸根離子逐漸從混凝土表面向內擴散，并與混凝土組成成分發生化學反應，生成膨脹性產物，導致混凝土基體內裂縫的萌生，引起混凝土的損傷，從而加速硫酸根離子在混凝土內的擴散，同時也會造成混凝土結構力學性能的退化，使結構無法滿足結構原設計要求.

根據Biondini等[14]的研究，混凝土損傷(硫酸根離子侵蝕損傷)對結構力學性能的影響可通過混凝土基體有效面積的退化來表征.若令混凝土未損傷和達到完全損傷時的損傷度分別為0和1，則損傷后混凝土基體有效面積與損傷度之間的關系可用式(14)來表示.

Ace(x,t)=(1-β(x,t))Ac0(x,t0).

(14)

式中：Ace(x,t)為在t時刻，位于點x=(x,y)處的元胞內混凝土基體的有效面積，m2；Ac0(x,t0)為初始t0時刻，位于點x=(x,y)處的元胞內混凝土基體的初始面積，m2；β(x,t)為在t時刻，位于點x=(x,y)處混凝土損傷程度，其與混凝土內硫酸根離子濃度之間的關系為[18]

(15)

式中：tu為混凝土完全損傷時所需的最少時間，s；qc為混凝土損傷速率.

利用式(9)所示的局部進化規則，結合式(10)所示的進化系數φa和φb、式(11)所示的有效硫酸根離子擴散系數以及式(15)所示的損傷度計算公式，建立了模擬混凝土內硫酸根離子傳輸過程和損傷演變的元胞自動機模型，簡稱CA模型.

3 模型求解步驟

根據上述理論公式的推導，利用MATLAB軟件編寫了模型的計算程序，相應的流程圖如圖4所示.

圖4 流程圖Fig.4 Flow chart

4 模型驗證

4.1 硫酸根離子濃度

為對上述提出的元胞自動機模型的準確性進行驗證，利用CA模型對文獻[7]中的硫酸根離子侵蝕過程進行了模擬，并將CA模型的預測值與試驗值和Fick第二定律(FSL)的計算值進行了比較.混凝土試件尺寸和硫酸根離子擴散方向如圖5所示.混凝土強度等級為C50，材料配比為∶水泥∶砂∶石∶水=1∶1.29∶2.63∶0.44.模擬時只保留頂面作為擴散面，其余5個面用環氧樹脂密封.因此，硫酸根離子在混凝土中的擴散過程可用平面元胞自動機來模擬.

圖5 混凝土試件尺寸和硫酸根離子擴散方向示意圖 (單位：mm)Fig.5 Schematic diagram of concrete specimen size and sulfate ion diffusion direction (unit：mm)

利用CA方法對兩種不同侵蝕環境下混凝土內硫酸根離子擴散過程模擬時，元胞自動機網格取δ=0.2 mm；時間步長Δt=0.5 d；硫酸根離子濃度影響系數取k=0.95；初始硫酸根離子濃度取C0=0.78%；其余參數如表1所列.不同侵蝕時間下CA模型預測結果與試驗實測結果和FSL計算結果的比較，結果如圖6所示.

表1 模型計算參數取值表

圖6 模型預測結果與試驗結果及FSL計算結果的比較Fig.6 Comparison of model prediction results with test results and FSL calculation results

從圖6中的試驗結果和CA模型模擬結果可知，硫酸根離子濃度隨侵蝕深度的增加而減小，硫酸根離子濃度隨深度的變化大致可以分為兩個階段，分別為距離混凝土表面5 mm范圍內的快速減小階段(Ⅰ階段)和大于5 mm范圍內的穩定階段(Ⅱ階段).在Ⅰ階段，硫酸根離子濃度減小速率最快，從混凝土表面侵蝕進入混凝土內的硫酸根離子濃度基本都分布在該階段.在Ⅱ階段，硫酸根離子濃度基本保持不變，等于混凝土初始硫酸根離子濃度.可見，硫酸根離子腐蝕環境下，距混凝土表面5 mm范圍內硫酸根離子侵蝕最為嚴重.因此，對于耐久性要求較高的工程，除采用防侵蝕性能好的混凝土外，還可通過適當增加保護層厚度(d>5 mm)的方式來減小硫酸根離子對結構的侵蝕破壞.

此外，由圖6還可知，按CA方法預測的混凝土截面內硫酸根離子濃度比按FSL方法計算的濃度在數值和變化規律上更接近試驗結果，說明元胞自動機可以用來模擬硫酸根離子在混凝土中的擴散過程，且精度較高.造成上述偏差的主要原因是在利用FSL方法計算混凝土內硫酸根離子濃度時高估了硫酸根離子在混凝土內的擴散效應，直接采用了孔隙溶液中硫酸根離子擴散系數D0，而沒有考慮侵蝕時間和結構孔隙率對其變化的影響.

利用模型給出了混凝土在溶液A和B中浸泡180 d、270 d和360 d后截面(Ⅰ-Ⅰ截面)內硫酸根離子濃度的分布情況，結果如圖7～8所示.

由圖7和圖8可知，隨著侵蝕時間的增加，硫酸根離子逐漸從混凝土表面向內擴散，且表面硫酸根離子濃度越大，硫酸根離子擴散到混凝土內部的速率越快；時間越長，混凝土截面內硫酸根離子濃度越大.

圖7 溶液A中混凝土截面內硫酸根離子濃度分布結果Fig.7 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution A

圖8 溶液B中混凝土截面內硫酸根離子濃度分布結果Fig.8 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution B

4.2 混凝土損傷度

當硫酸根離子擴散進入混凝土內部后，會與混凝土組成成分發生化學反應，生成鈣礬石等膨脹性產物，導致混凝土基體的開裂和剝落，引起混凝土損傷.為便于描述硫酸鹽侵蝕環境下混凝土損傷發展規律，利用CA模型對上述硫酸鹽浸泡環境下混凝土損傷歷程進行了模擬，并給出了混凝土損傷度隨深度的變化規律，結果如圖9所示.

圖9 混凝土損傷度隨侵蝕深度的變化Fig.9 Variation of concrete damage degree with erosion depth

由圖9可知，隨著侵蝕時間的增加，混凝土損傷層厚度逐漸增加.在同一侵蝕時間下，混凝土損傷度沿侵蝕深度的變化可分為三個階段，分別為完全損傷階段(Ⅰ階段)、損傷階段(Ⅱ階段)和未損傷階段(Ⅲ階段).在Ⅰ階段，混凝土損傷度等于1，表示混凝土已完全發生損傷.在Ⅱ階段，混凝土損傷度介于0到1之間，表示該部位混凝土發生了部分損傷，且隨著侵蝕深度的增加，混凝土損傷度逐漸減小.在Ⅲ階段，混凝土損傷度等于0，表示混凝土未發生損傷.

根據CA模型獲得的硫酸鹽侵蝕環境下混凝土損傷演變過程如圖10所示.介于篇幅，圖10僅顯示了溶液B中混凝土損傷程度隨侵蝕時間的變化，但對于溶液A中混凝土的損傷演變規律也同樣適用.

由圖10可知，隨著侵蝕時間的增加，混凝土損傷層厚度逐漸增大.由于全截面采用了相同的損傷速率，所以混凝土損傷度沿寬度方向(x方向)保持不變，僅在深度方向(y方向)發生變化，這與圖8所示的混凝土內硫酸根離子擴散規律一致.

圖10 混凝土損傷度發展過程Fig.10 Development process of concrete damage degree

在上述截面各部位損傷程度已知的情況下，結合公式(14)，還可獲得損傷后混凝土基體有效面積Ace，進而對損傷后混凝土結構承載能力分析提供計算基礎.

5 結論

1) 考慮硫酸根離子在混凝土中的擴散特點和混凝土損傷演變規律，結合元胞自動機原理，建立了考慮混凝土侵蝕損傷的元胞自動機模型，為模擬硫酸根離子在混凝土中的侵蝕規律提供了一種有效的計算方法.

2) 與Fick第二定律計算結果和試驗結果的對比表明，元胞自動機可以用來模擬硫酸根離子在混凝土中的擴散規律，且精度較高.

3) 混凝土截面內硫酸根離子濃度隨侵蝕深度的增加而減小，隨侵蝕時間的增加而增大.表面硫酸根離子濃度越大，硫酸根離子在混凝土內的擴散速率越快.硫酸根離子沿截面深度的變化大致可分為兩個階段，即快速減小階段和穩定階段.

4) 混凝土損傷度沿侵蝕深度的變化可分為完全損傷階段、損傷階段和未損傷等三個階段.在完全損傷階段，混凝土損傷層厚度隨硫酸根離子侵蝕時間的增加而增大.在損傷階段，混凝土損傷度隨侵蝕深度的增加而逐漸減小.