身體傾斜與雪板變形
—— 高山滑雪刻滑回轉中的力學1)

萬 超 易凱軍 胡 婧 羅 凱 王 寧

*(北京理工大學宇航學院力學系,北京 100081)

?(中央廣播電視總臺,北京 100020)

自1936 年被列為冬奧會比賽項目以來,高山滑雪一直吸引著世界各國的眾多運動愛好者和專業運動員參與其中。我國高山滑雪項目的開展較為落后,運動員與國際先進國家的滑雪水平存在較大的差距。但隨著北京冬季奧運會的成功舉辦以及冰雪運動在國內的普及和推廣,越來越多的人開始關注并參與到高山滑雪運動中來。作為典型的運動項目,高山滑雪運動中蘊含了豐富的力學知識,非常適合作為實際案例用于力學專業教育及科普介紹中。

1 高山滑雪的回轉動作

高山滑雪又叫阿爾卑斯滑雪,起源于歐洲阿爾卑斯山區,人們通過使用滑雪板、滑雪杖等裝備,從一定高度順山勢向下滑行,實現在山區雪地上的快速移動[1]。目前的高山滑雪冬奧項目主要包括滑降、回轉、大回轉、超級大回轉、全能5 個小項。其中,回轉和大回轉屬于技術項目,要求運動員在20?～27?的斜坡雪面上以之字形從上而下滑行通過標注的數十個旗門,在此基礎上來比拼誰用的時間最短。起點與終點的高度差為120～220 m (回轉項目) 和260～400 m(大回轉項目),大回轉中的旗門數在30 個以上,回轉中的旗門數有45～75 個。因此,運動員在比賽過程中既要使自己的滑行軌跡盡可能接近直線以減小滑行距離,又要保證較高的滑行速度,還要滿足在旗門間來回穿梭的比賽要求。整個運動項目的完成主要取決于運動員是否能很好地完成回轉動作,也就是繞旗門的動作。

當前常用的高山滑雪回轉技術稱為刻滑(carving),實現在不明顯降低滑行速度的情況下完成轉彎[2-4]。通過觀察高山滑雪運動員的比賽視頻,可以發現刻滑回轉技術具有兩個關鍵特征：一是身體傾斜,二是雪板變形(如圖1 所示)。目前,研究者們主要從上述兩個關鍵特征入手,為刻滑回轉技術在競技項目中的應用奠定理論基礎和分析技術。M¨uller等[4]分析了雪板參數對刻滑回轉效果的影響,建立了雪板板腰、彎曲、立刃等參數與回轉半徑間的關系。Yoneyama 等[5]研發了滑雪運動員下肢力學測量裝置,對比分析了不同回轉技術中人體關節的運動特性和受力情況,為運動員的技術改進提供基礎數據支持。陳禮等[6]將人體看成單剛體系統,結合雪面及雪板的約束方程,建立了人體滑雪運動的拉格朗日動力學方程,用來分析滑雪運動整個過程中的動力學特性。張藝佳等[7]設計搭建了可穿戴式人體運動捕捉與姿態重構系統,實現了對回轉動作過程中關鍵技術指標的定量評估,助力運動水平科學分析及訓練輔助指導。然而,由于人體運動的復雜性和回轉動作的技巧性,現有研究較為復雜,使其不適于直接納入到力學課程的教學以及面向普通學生的科普介紹中,需要進一步圍繞著關鍵知識點進行力學簡化,既使學生能建立起實際情況與力學理論間的有效關聯、促進對所學知識的吸收掌握,又能提升大眾創新求真、知行合一的科學素養和崇尚科學、熱愛科學的正向風氣。下面,我們分別從理論力學和材料力學理論出發,對運動員身體傾斜和滑雪板的彎曲變形進行力學分析和實驗。

圖1 高山滑雪運動員的刻滑回轉動作示意圖

2 身體傾斜—— 理論力學實例

首先,對高山滑雪的回轉過程進行力學簡化,做如下假設：第一,當對運動員回轉動作的某一瞬時進行動力學分析時,可將運動員簡化為其冠狀面內的二維剛體模型；第二,在回轉過程中的某一時刻下,運動員的各體段姿態穩定,人體可視為一個剛體；第三,由于雪板、雪鞋和人體足踝部之間的穩定連接,雪板、雪鞋和人體下肢間無相對移動,此時雪板的立刃角度(即雪板與雪面間的夾角)與人體下肢的傾斜角度(約等于人體剛體軸線與雪面間的夾角)互為余角；第四,雪板與雪面間的摩擦力和回轉過程中的風阻忽略不計；第五,由于回轉的半徑(十米量級) 遠大于人體身高,人體質心的轉動半徑等同于雪板的轉動半徑。

基于上述假設,建立高山滑雪運動員刻滑回轉動作的單剛體動力學模型,采用動力學中常用的達朗貝爾原理進行分析(如圖2 所示)。雪板嵌入到雪面內,點A為雪板最低點,點B為雪板在雪地表面的接觸點,角β為雪板立刃角度。在點A處建立二維直角坐標系xAy,點C為運動員人體的質心,其坐標為(xC,yC)。軸O為回轉軸,運動員質心與軸O的距離為ρ。對該剛體進行達朗貝爾慣性力系的簡化,將質點系的慣性力轉化為質心C處的慣性力系主矢FIC和主矩MIC,具體為[8]

圖2 高山滑雪運動員冠狀面的刻滑回轉單剛體動力學模型

其中,m為運動員質量,JC為運動員對質心的轉動慣量,vc為運動員質心的速度,α為回轉的切向角加速度,FIC指向離心方向。由于MIC方向與冠狀面垂直,求解冠狀面內平衡方程時可忽略。此外,該剛體受到的外力還包括質心處的重力G,雪面對雪板的支持力(包括垂直于雪板底面的等效支持力FN1和垂直于雪板側面的等效支持力FN2)。最后,列寫該剛體在點A的力矩平衡方程為

其中d為支持力FN1作用點與點A的距離。由于雪板嵌入雪面的長度(幾厘米)遠小于人體重心的位置參數(xC,yC),該項可忽略,此時平衡方程簡化為

將式(1) 及重力表達式代入式(4) 可得

計算立刃角度β為arc tan[v2c/(ρg)]。進一步,沿FN1方向列寫力平衡方程為

求解可得隨后,取雪板為研究對象,由受力平衡可得人體足部對雪板的施加載荷FL=FN1=mg/cosβ。

設回轉半徑分別為10 m 和15 m,通過式(5)可得出立刃角度與回轉速度間的定量關系(如圖3(a)所示)?？梢园l現,無論回轉半徑多大,當回轉速度增大時,運動員維持身體平衡所需的立刃角度越大。也就是說,只有通過大角度傾斜身體獲得較大的立刃角度,才能保證運動員以較高的速度實現轉彎。因此,在實際比賽中,我們往往能看到運動員以幾乎完全貼地的姿勢進行回轉。此外,通過式(6)還可得出立刃角度與雪板受力之間的關系(如圖3(b) 所示)。結果表明,雪板受力與立刃角度有關,而與回轉速度無關；當立刃角度增大時,雪板所受的法向支持力會快速增大。當雪板立刃為70?時,雪板的受力增大到2.9 倍體重,單側雪板將承受1.45 倍體重；當雪板立刃增大到80?時,雪板的受力增大到5.8 倍體重,單側雪板將承受2.9 倍體重。真實情況下,雪板在該載荷水平下會出現明顯的彎曲變形,下面我們通過材料力學理論來進行分析。

圖3 高山滑雪刻滑回轉動作的運動特性對比圖(續)

圖3 高山滑雪刻滑回轉動作的運動特性對比圖

3 雪板變形—— 材料力學實例

假設雪板為截面大小不變的直梁,忽略雪板前端的上翹以及雪板板腰處的側切,并假設雪板材料為連續均勻的各向同性線彈性材料?；谏鲜黾僭O,將雪面對雪板的支持力等效成雪板前后兩端的支撐鉸鏈,足部施加在雪板上的載荷為集中力FL(作用點為人體質心位置在雪板上的投影),使用材料力學里的彎曲變形理論求解雪板的彎曲變形(如圖4)。已知對跨度遠大于截面高度的梁,剪力對彎曲變形的影響可忽略。此時,梁所受的彎矩M與變形曲率ρbeam間的關系[9]為

圖4 雪板彎曲變形的等效力學模型

其中E為梁的彈性模量,I為橫截面對中間軸的慣性積。為簡化分析,將式(7)進行線性化得到撓曲線ω=f(x) 的近似微分方程為

并用積分法求解該邊界條件下雪板的撓曲線方程和前端截面轉角分別為

設梁的跨度l等于雪板長度(160 cm),彈性模量E為10 GPa,慣性積I為8 cm4。通過式(9) 得到不同載荷大小在不同位置加載時的雪板前緣彎曲轉角,如圖5 所示。當載荷從雪板中央位置向前移動13 cm 時(約板長的8%),雪板前端截面轉角增大了約2.7%；當載荷從雪板中央位置向后移動相同距離時,雪板前端截面轉角減小了約8.0%。該結果表明,調整載荷的加載位置(如改變身體重心在雪板上的投影位置)可改變雪板前端的彎曲變形,尤其是當載荷加載位置偏后(如運動員后仰姿勢)時雪板前端的彎曲變形非常明顯。這也部分揭示了高山滑雪運動員在回轉時因重心落后引起滑行速度降低的原因[10]。

圖5 不同加載位置下雪板前端截面轉角變化的理論計算曲線

當然,上述理論分析中設置的一些假設與真實情況還有一定的差別(如真實雪板在前端區域的變截面幾何特征等),使得理論計算數據與雪板彎曲的實驗結果間有較大差別?；诖?我們搭建了一套用于進行高山雪板三點彎曲力學實驗的簡易裝置(如圖6(a) 所示)。該裝置包含支撐雪板的支架、用于加載的配重物、用于測量彎曲狀態的坐標紙背板以及用于標注彎曲輪廓的馬克筆。首先,調整好支架兩端橫梁間的距離,為防止雪板滑落,彎曲實驗中的雪板跨度設置為120 cm。然后,將40 kg 重物分別懸掛在雪板的中央位置、中央偏前10 cm 和中央偏后10 cm,實現對雪板不同位置的加載。在完成加載后,使用馬克筆在雪板后側的坐標紙背板上畫出雪板前端下邊緣的輪廓。

圖6 高山雪板三點彎曲力學實驗

通過實驗結果對比可以發現,三種不同的加載位置可以使雪板前部下邊緣彎曲情況出現明顯改變,如圖6(b) 所示。其中,黑色虛線為無載荷狀態,黑色實線為中央加載,藍色實線為偏前加載,紅色實線為偏后加載。所對比的這三種載荷分別對應運動員重心處于正常位置、偏前位置和偏后位置三種情況,也意味著運動員可以通過調節自身重心位置來調控雪板的變形,進而調整自己的轉彎半徑。當然,真實的情況其實復雜得多,運動員需要考慮自身的條件、能力做出各種實時的、細微的調整,以找到回轉與速度的最佳平衡。

4 結論

本文應用理論力學、材料力學等經典力學理論和方法,對高山滑雪運動員在刻滑回轉動作中的身體傾斜和雪板變形進行了定量分析和實驗研究,分別得到了雪板立刃角度與運動員回轉速度間的定量關系以及載荷施加位置對雪板前端彎曲變形的影響,說明了高山滑雪中的回轉動作與人體姿態傾斜和滑雪板力學性能間的密切關系。所構建的力學模型簡單易懂,分析過程應用了達朗貝爾原理、梁的彎曲理論等核心知識點,可作為力學相關課程的教學案例來培養學生解決實際問題的實踐能力,也可作為科普案例來展示力學在人們日常生活中的具體體現。由于回轉半徑、雪板變形、回轉速度及身體傾斜各變量間彼此影響,下一步可將分析身體姿態與回轉的達朗貝爾原理、分析雪板變形的彎曲理論以及雪板材料幾何等真實參數進行綜合考慮,聯合求解相關特性,構建出更為綜合的力學實踐案例供學生鍛煉,進一步提升學生的綜合創新實踐素養。

致謝感謝中央電視臺科教頻道《實驗現場》欄目的大力支持。