振動工況下剪式可展單元模態分析與結構優化

吳上生 陳柘 周運岐

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640； 2.廣東韶關市宏乾智能裝備科技有限公司，廣東 韶關 512028)

剪式可展單元是一種基本的空間可展結構，具有運動收縮功能，可以疊加構造多種復雜可展空間桁架結構，在航天用天線太陽能電池板、航空伸縮停機坪等領域應用廣泛[1]。早在1961年，西班牙的建筑師Pineo[2]就成功地將剪式可展單元應用于折疊式可移動歌劇院的設計之中。Zhao等[3]將剪式可展單元組合形成平面、圓柱、球形等空間機構，并使用機械理論進行結構分析。徐坤等[4]基于剪式單元設計了一種彎曲折展變胞機構單元，該機構不但像剪式單元一樣可以伸展升降運動，還由于限位桿的存在而產生彎曲運動。紀斌等[5]對非對稱平面剪式單元機構的展開過程進行了分析與仿真，討論了非對稱機構的展開條件。在工程應用方面，吳新燕等[6]利用伸縮桿驅動的六棱柱展開單元，并設計了一大型構架式切割拋物面天線；Ren等[7]研究了剪式可展單元在高空升降機中的穩定性問題，提出了在受到沖擊及路面有凹坑時結構的抗傾覆措施；王臻等[8]利用剪式可展單元設計了一種可變后掠伸縮式變體機翼結構；徐志剛[9]將剪式可展單元應用于攀爬機器人的結構設計中，利用其伸縮特性實現向上攀爬的功能。

總體而言，目前對剪式可展單元的研究有了相當的進展，且在工程中得到了廣泛的應用，然而其中圍繞剪式可展單元運動機理研究較多，關于在工程應用中其動力學特性研究較少，基于此，本文選取某新型船舶除銹裝備[10]中的剪式可展單元作為對象，該裝備除銹頭中分布著3個帶有多個小鋼珠的旋轉盤，工作時在在電機的驅動下由旋轉盤帶動小鋼珠在船舶壁面打磨除銹，該過程既有旋轉機械的振動激勵也有碰撞過程的隨機振動激勵傳遞到下方剪式可展單元，研究剪式可展單元在上述振動激勵情況下的動力學特性問題是該裝備正常高效工作的前提。本文中采用一種動應力分析間接法，該方法結合頻域隨機振動分析高效和時域疲勞評估直觀的優點[11]，并采用數值模態分析方法，得到前15階模態頻率，分析振動工況下的響應特性，找出并消除其共振問題，提出剪式可展單元不同改進方案，并評估各改進方案剪式可展單元動應力水平。

1 剪式可展單元結構的靜力學驗算

單獨的一個剪式可展單元由兩個連桿經銷軸連接而成[1]，如圖1(a)所示，圖中F為單元上方所承載質量的等效合力，用以簡化模擬真實載重。兩桿可繞銷軸相互轉動，隨著轉動角度不同可以達到不同的可展范圍。本文的研究對象如圖1(b)所示，由兩個剪式可展單元線性陣列組成，除銹頭在剪式單元上方通過上工作平臺相連，履帶式小車底盤在剪式單元下方通過下工作平臺相連，除銹作業時，小車平面內移動，剪式可展單元使其達到不同高度，同時剪式可展單元受到上方振動源的作用，研究其振動工況下的響應尤為重要。

(a)單元結構靜力分析

(b)剪式可展單元工作環境

結構與水平面的夾角為α，假設桿件均為理想均質直桿，不計桿的質量和鉸鏈處的摩擦力，則由靜力學方程求得鉸接處的內力為

(1)

式中,FA2y、FA2x、FB2y、FB2x、FC2y、FC2x均為鉸接處相應的內力。α取值為10°～60°。圖2是鉸接處內力隨角度α的變化關系，由圖可知當結構與水平面的夾角α越小，鉸孔處的受力越大，并且接近到0度時到達無窮大，這對驅動設備要求嚴格，因此為了減輕驅動力，結構與水平面初始夾角α定為10°，此情況下下層剪式可展單元3個鉸孔受力數值分別為：FA2x=7 940 N，FA2y=350 N，FC1x=3 970 N，FC1y=350 N，FB2x=11 910 N。

圖2 鉸孔水平受力隨夾角變化曲線

為了驗證當前載荷下剪式可展單元整體安全性和穩定性，對受力最大的連桿即A2C1，對其受力進行沿著軸向和法向分解后，得到連桿上等效應力最大值為

(2)

式中,y為連桿橫截面上距中性軸最大的距離，Iz為關于中性軸的慣性矩，A為橫截面面積。代入數值求得：

σ=163 MPa<[σ]=250 MPa.

以上證明保證結構與水平面夾角在10°～60°時，連桿的最大應力低于許用應力[12]，安全性強。

2 剪式可展單元有限元模型

本研究采用ANSYS Workbench進行有限元分析。剪式可展單元所有的材料均采用結構鋼，材料楊氏模量為2×1011Pa，泊松比為0.3，失效應力為：2.5×108Pa，密度為7 850 kg/m3。刪除其他附屬零件，僅保留主體結構，模型中對部分倒角、螺栓孔進行了適當簡化[13]。模型上、下兩個工作臺采用殼單元(Shell 181)進行網格劃分，對每個殼單元賦予與原始材料相同厚度的實常數。8個連桿均采用三維實體單元(Solid 185)對其網格進行劃分，最小尺寸單元為2 mm，結構部分單元尺寸普遍控制在5 mm內。劃分完網格以后整體模型見圖3,整個模型包含103 666個單元，共180 904個節點。上工作臺作用均布載荷700 N，方向豎直向下，模擬的是真實載重，即圖1中所示的F。采用遠端唯一約束來模擬連桿之間的轉動，底部端面采用固定約束來模擬其在履帶式地盤上的裝配狀態，上工作臺釋放豎直方向的移動位移，模擬工作臺的升降能力。

圖3 剪式可展單元有限元模型

3 計算模型驗證

Ansys隨機振動分析是基于模態疊加法的，因此完成隨機振動的前提是獲取準確模態解。本文中的模態分析是有預應力下的模態分析，采用Ansys默認的Block Lanczos法進行計算。模態分析能夠獲取系統的固有特性，特別是固有頻率和振型，通過改變頻率進行模態優化是較為普遍的方法[14]。為使隨機振動理論在工程上得以應用，對隨機過程作出了平穩性假設、各態歷經假設和正態分布假設。由文獻[15- 17]中的隨機振動理論可知，使用頻響函數和模態疊加技術，在考慮弱阻尼條件下，第i階自由位移均方響應的絕對值可表示為

(3)

式中，Sdi(ω)為自譜密度函數動態范圍，Ssi(ω)為自譜密度函數準靜態部分，Ssidi(ω)為靜態和動態自由度的互譜密度函數；|·|Re表示該項取實數部分。式(3)中功率密度函數計算式為

Sdi(ω)=

(4)

(5)

(6)

圖4展示了本文隨機振動分析方法流程圖。首先對除銹頭運行狀態下利用加速度傳感器對振動加速度進行測試，獲取振動加速度的功率譜密度(PSD)；PSD是穩態隨機過程的頻域描述，提供了有關隨機過程統計學的大量信息，使用PSD的譜距可以獲得其他統計學特性[12]；然后通過有限元模型隨機振動，獲取連桿上各節點的應力PSD；獲取最大應力處頻率與自身各階模態對比；最后獲取與激勵形成共振的模態振型，評估不同狀態的動應力水平，從而達到結構優化的設計目的。

圖4 分析方法流程圖

3.1 模態計算

對有約束、有預應力狀態下剪式可展單元進行模態分析，分析階數定為前15階，分析頻率范圍為0～900 Hz。模態主要計算結果見表1，對應前六階振型見圖5。由振型圖可知，前4階振型以單一變形方式為主，隨著階次的增加，出現彎曲、扭轉等組合變形形式。最大變形在不同階次模態中發生在不同的位置，上工作臺和連桿均有薄弱環節。

表1 帶預應力剪式可展單元計算模態結果

圖5 前六階振型圖

3.2 隨機振動下連桿動應力計算

圖6是輸入加速度PSD激勵頻域圖，由上工作臺時域加速度信號經傅里葉變換得到，方向是豎直方向，來自工作臺上方除銹頭振動。該頻域信號有兩個明顯的峰值，峰值之一是頻率240 Hz，加速度功率譜密度為220(m/s2)2/Hz左右，頻率為410 Hz時，加速度功率譜密度為390(m/s2)2/Hz附近。

圖6 輸入加速度PSD激勵

有限元模型中在連桿邊線母線上，布置了一系列的測點，本文在計算節點動應力時選擇的是經對比分析后變形量最大的測點(節點編號20628)。圖7展示了節點20 628處在受到加速度PSD激勵后，X向、Y向、Z向應力PSD圖譜。

圖7 節點20 628計算應力PSD

由圖7可知該應力PSD在3個方向上的主頻均是306.15 Hz，但應力PSD幅值不一樣，X向應力PSD幅值達到了417.09 MPa2/Hz，Z向應力PSD幅值達到了291.37 MPa2/Hz，而Y向應力幅值最低，只有13.328 MPa2/Hz，相對于X向和Z向，Y向的應力PSD可以忽略不計。通過對比圖7和表1發現，應力PSD峰值出現在306.15 Hz，而剪式可展單元第二階模態頻率為306.36 Hz，相對誤差僅為0.06%，故可得剪式單元在輸入加速度PSD激勵時，二階模態與輸入振型產生共振，導致了極大應力，對結構的安全性和穩定性產生影響。

4 結構優化

由第3節可知，剪式可展單元二階模態頻率與輸入激勵發生共振導致連桿承受過大應力會破壞結構，而二階模態振型是上工作臺兩側發生橫彎，因此本節主要從上工作臺厚度、材料剛度方面進行優化，以期改變剪式可展單元固有頻率，避免與激勵出現模態共振，降低剪式可展單元動應力水平。本節計算時得到的應力PSD位置與前文一致，分析節點編號仍為20 628。

4.1 增加上工作臺厚度

原上工作臺厚度為10mm，在不改變工作臺橫截面積的情況下，為了改變上工作臺兩側橫彎模態頻率，決定增加工作臺厚度。增加厚度，會改變結構的慣性影響系數和柔度影響系數，會增加系統固有頻率[18]。表2是不同上工作臺厚度時剪式可展單元二階模態。由表2可知，隨著厚度的增加，剪式可展單元二階模態有所上升，符合預期效果。

表2 不同上工作臺厚度時剪式可展單元二階模態

圖8是不同上工作臺厚度下，其他加載條件相同的情況下節點20 628處X向應力PSD，表3是不同厚度下X向應力PSD的統計數據，隨著上工作臺厚度的增加，應力PSD主頻逐漸增加，并與剪式可展單元二階模態頻率幾乎一致。應力PSD峰值大幅降低說明避開了此前的共振頻率范圍，振動減小。

圖8 不同上工作臺厚度時節點20 628處X向應力PSD

通過主頻應力PSD峰值對比，發現當厚度為14 mm時，對于降低動應力PSD的效果最好，比原始厚度(10 mm)時的幅值降低了94%，這對剪式可展單元使用壽命的延長比較關鍵。

表3 不同上工作臺厚度時節點20 628處X向應力PSD幅值

圖9是不同上工作臺厚度時，其他加載條件相同的情況下節點20 628處Z向應力PSD，表4是不同厚度下Z向應力PSD的統計數據。

圖9 不同上工作臺厚度節點20 628處Z向應力PSD

表4 不同上工作臺厚度時節點20 628處Z向應力PSD幅值

由以上圖表數據可知，當上工作臺厚度為16 mm時，Z向的應力PSD幅值降低最多，降低了87.9%，結合X向應力PSD幅值降低幅度，顯而易見當厚度為14 mm時，剪式可展單元整體的動應力PSD降低效果最明顯，兩個方向上總共降低了89.8%，高于12 mm時的82.8%和16 mm時的87.4%。

4.2 增加剛度

由4.1節已知，在增加上工作臺厚度工況中，增加厚度至14 mm時對剪式可展單元動應力水平的降低最為有效。本節將探究改變上工作臺剛度分別對厚度10 mm(原厚度)和厚度14 mm下剪式可展單元動應力的影響。上工作臺原彈性模量為20 GPa,通過改變上工作臺彈性模量模擬剛度變化，設置上工作臺彈性模量變化范圍為18.5～21.5 GPa(增量為0.5 GPa)。由模態分析可得，改變上工作臺剛度可以初步改變剪式可展單元二階模態頻率，如表5所示。

表5 不同上工作臺剛度時剪式可展單元二階模態

圖10展示了不同上工作臺剛度下節點20 628處應力PSD幅值。在上工作臺厚度為10 mm時剪式可展單元改變上工作臺剛度工況中，上工作臺剛度為19.5 GPa時節點X向應力PSD幅值為411.82 MPa2/Hz,降低剪式可展單元動應力水平效果最佳；14 mm厚剪式可展單元改變上工作臺剛度工況中，上工作臺剛度為19.5 GPa時節點X向應力PSD幅值為20.70 MPa2/Hz,降低剪式可展單元動應力水平效果最佳。當上工作臺剛度不變時，增加厚度仍能顯著降低剪式可展單元動應力水平。

圖10 不同上工作臺剛度時節點20 628處應力PSD

4.3 增加兩端連桿連接軸

由4.1節和4.2節可知，相比于原上工作臺厚度10 mm和工作臺剛度20 GPa剪式可展單元，厚度為14 mm、剛度19.5 GPa剪式可展單元的動應力水平顯著降低。因此本節在此基礎上(厚度14 mm和剛度19.5 GPa)增加兩端連桿的連接軸，設立三種工況，工況1：第一級第二級連桿間均不增加連接軸(原始)，工況2：僅第一級連桿間增加連接軸，工況3：第一級和第二級連桿間均增加連接軸，觀察節點20 628的動應力水平。圖11為不同工況下節點20 628X向應力PSD幅值。由圖11可知，當剪式可展單元上工作臺厚度為14 mm、上工作臺剛度為19.5 GPa時，在兩端第一級和第二級連桿之間均增加連接軸對于剪式可展單元整體動應力幅值減小效果最為明顯，相對于同樣厚度和剛度的情況降低了50.14%，相當于結構優化前的動應力幅值降低了97.5%，有效避開了共振。

圖11 不同工況下節點X向應力PSD

綜上所述，選擇將上工作臺厚度從10 mm增加到14 mm，上工作臺剛度從20 GPa降低到19.5 GPa，同時在兩連桿之間加上連接軸，此結構優化方案為最佳。

5 結論

本文將某新型船舶除銹裝備[10]中的剪式可展單元作為對象，通過靜力學分析、數值模態分析和隨機振動動應力測試，分析了剪式可展單元模態振型與激勵共振問題。采用頻域動應力分析方法對剪式可展單元各優化方案進行了動應力仿真，為剪式可展單元的工程應用提供理論依據。

(1)模擬剪式可展單元實際載荷，對連桿進行了受力分析，避免過大驅動力導致成本過高，從而確定了剪式可展單元的起停角度，驗證了極限工況下的受力安全。

(2)數值模態分析表明，剪式可展單元二階模態振動(306.15 Hz)和輸入的隨機激勵共振是引起剪式可展單元出現振動疲勞問題的主要原因。

(3)動應力仿真表明，增加剪式可展單元上工作臺厚度、適當降低上工作臺剛度和在兩端連桿之間增加連接軸，均能降低剪式可展單元動應力幅值，建議采用3種方式相互組合進行結構優化。

(4)本文選擇將上工作臺厚度從10 mm增加到14 mm，上工作臺剛度從20 GPa降低到19.5 GPa，同時在兩連桿之間加上連接軸的優化方法，動應力仿真結果顯示此方法優化效果明顯。