基于力平面化的辦公室轉椅建模

謝汶沛 冉智文

（重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074）

1 問題重述

1.1 問題背景

轉椅是辦公椅大類中的一種，由于轉椅生產量越來越大生產廠家日益增多，如何對轉椅的質量進行檢測是當務之急[1]，但是隨著近幾年來家具行業的高速發展，企業之間的競爭越來越激烈，部分企業以次充好，用毫無質量保證的材料和配件來生產轉椅[2]為了保障客戶的使用安全性。在批量生產前需要對辦公轉椅進行力學分析。假設一種坐著可以360°轉動的椅子?？勘衬軆A斜的辦公座椅尤其受到辦公人員的青睞。所以當傾斜靠背時，可以讓人保持放松的姿勢?？勘硟A斜的變化過程如圖1 所示。

當靠背傾斜的角度比較大時，還可以讓人在中午時坐在上面保持半躺的姿勢小睡片刻。傾斜的角度越大越好。因此，角度成為部分人選擇轉椅時的一個標準。不同商家在銷售轉椅時，都標出了靠背的傾斜角度。

1.2 問題提出

1.2.1 現有一種轉椅，其尺寸見圖1。

圖1

試建立模型描述此轉椅靠背的動態變化過程。

1.2.2 當轉椅上坐著一個身高175cm，體重70kg，體型正常的人時，試建立數模描述此時轉椅重心的動態變化過程，分析轉椅能傾斜的最大角度；為了在最大角度時保持轉椅的穩定性，即轉椅不歪倒，分析承載人員的最大體重。（身高體重按照體質指數BMI 為22 來測算）

2 模型假設

（1）人體和椅子密度分布均勻；

（2）底座接觸面積為圓形；

（3）假設靠背、坐墊均為直線段，連接處均為直線段連接；

（4）坐墊位于水平方向；

（5）假設人坐在椅子上，雙手放在把手上，腳剛好接觸地面；

（6）假設椅子質量均勻分布；

（7）假設椅子底座與地面接觸面積為圓；

（8）靠背，重力分布沿線性變化；

（9）座位，重力分布沿拋物線變化；

（10）總的重心坐標不超過底盤圓半徑。

3 符號說明

對本文需要的符號進行如表1 說明。

表1 符號說明

4 問題分析

4.1 問題一分析

針對問題一，見圖2 以靠背與水平坐墊交線的中點為坐標原點建立座椅側面的平面直角坐標系，根據力學原理確定重力在轉椅靠背的面上的分布情況，確立座椅靠背的重心坐標，在轉椅靠背擺動的過程中，靠背的重心坐標也隨之變化，使用重心計算公式，計算出在椅子靠背轉動的過程中，重心位置與傾斜角的函數關系，以此來描述椅背的動態變化情況。

圖2

4.2 問題二分析

針對問題二，隨著生活水平的提升，我國的男女超重率為63.06%，肥胖率19.82%[3]同時綜合考慮通過使用人體結構與“0.618 黃金分割率”[4]將人的身體分為兩個部分，上半身體重占人體總體重的38.2%，下半身占人體總體重的61.8%。在座椅材料密度為1150kg/m3的情況下，得出靠背重心與體重m1、傾斜角度β 的關系，隨著傾斜角度β 的變化，整體重心的投影恰好落在底盤支撐面邊緣時，為轉椅歪倒失穩的臨界點。當坐著身高H=175cm，體重m1=70kg，體型正常的人時，失穩時x=-0.05，此時的傾斜角度，即為轉椅能傾斜的最大角度。以物體向某方向翻倒的最大傾斜角的正切函數值來定量描述物體穩度。在BMI 值為22 且轉椅靠背處于最大傾斜角度的情況下，利用約束條件可求出轉椅穩度的取值范圍。

在問題一的基礎上，隨著靠背角度的變化，確定轉椅整體的重心在直角坐標系中的位置。當重心在地面上的投影落在底座形成的支撐面內，此時轉椅處于穩定狀態，不會發生側翻。當重心在地面的投影落在支撐面邊緣上，此時轉椅靠背傾斜的角度為最大值。在傾斜角度最大條件下，引入穩度條件，以此來計算最大承載體重。

5 模型建立

5.1 立體模型平面化

以轉椅側視圖為基準面，靠背和坐墊的交點為坐標原點建立平面直角坐標系，各線段長度與角度，見圖3 所示。

圖3

5.2 力的分布平面化

設轉椅材料厚度為1。

靠背質量：m2=ρ×b1×b2×1

坐墊質量：m3=ρ×a1×a2×1

整體重心 （x，y，z）

根據人體黃金比例：0.618，將人體的各部分質量按如表2 的比例分配：

表2

轉椅整體的受力分布分為5 個部分：轉椅靠背和坐墊產生的重力沿各自長度方向均勻分布；靠背所受人體背部產生的外力的大小，沿靠背長度方向呈線性分布；坐墊所受人體下部產生的外力的大小，沿坐墊長度方向呈拋物線分布；把手所受手臂產生的外力大小，沿把手長度方向均勻分布。分布情況見圖4。

圖4

轉椅各部位荷載集度見表3。

表3 轉椅各部分載荷集度

表4 各部分重心位置及合力符號表示

5.3 模擬坐墊的重心位置

5.4 問題一求解

根據重心計算公式：

5.5 問題二求解

根據重心計算公式：

式中ρ 根據大量常規使用材料的密度數據，確立ρ=1150kg/m3

隨著傾斜角度β 的變化，整體重心的投影恰好落在底盤支撐面邊緣時，為轉椅歪倒失穩的臨界點，即x=a1/2-R。當坐著身高H=175cm，體重m1=70kg，體型正常的人時，失穩時x=-0.05，此時的傾斜角度，即為轉椅能傾斜的最大角度。

計算得出：βmax=157.84°

影響轉椅穩定性的因素：重心位置。

重心的高度：越低越穩定。

重心的垂線是否落在轉椅底盤與地面接觸形成的支撐面范圍內：越靠近支撐面中心越穩定；支撐面越大越穩定。

支撐面上物體的穩定程度叫做穩度，以物體向某方向翻倒的最大傾斜角的正切函數值來定量描述物體穩度。η=r/h，其中η 表示物體在某方向的穩度，r 表示這一方向的翻轉半徑，h 表示重心距離水平面高度，穩度η 與翻轉半徑r 成正比，與重心高度h 成反比。

根據中國成年人人體尺寸見表5。

表5 中國成年人身體尺寸

膝高比例取平均值α=29.28%，身高體重按照體質指數BMI 為22 來測算：

當身高H=175cm，體重m1=70kg 的人坐著時，此時穩度η1=R/（y0+αH）,為了保證在最大角度時保持轉椅的穩定性，給出如下約束條件：

聯立以上求解可得：m1≤67.33

即轉椅位于最大傾斜角度βmax時，保持穩定性的情況下，所能承受的最大體重為：67.33kg。

6 模型總結

6.1 模型優點

（1）本文模型基于力學受力分析以及平面直角坐標系，模型的結構簡單有效，與實際產品的穩性，承重能力聯系緊密。

（2）本文引入穩度，重心等參數，在約束條件下計算出問題的求解。該方法通過合理設置參數，從而避免結果發生局部最優的情況。

（3）將座椅受重分為多個部分，獨立分析各部分的受力特點以及重心變化規律，使得求解更加貼合實際。

6.2 模型缺點

（1）在建模過程中，過度簡化了人體各部位的重量分布情況。

（2）本模型的構建，主要通過受力分析以及數據分析兩種方法，數據的總量小，模型的普適性較差。