基于Morgenstern-Price法考慮樁作用力的支護力計算方法

徐計云，雷慶關*，朱大勇

(1.安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601;2.浙大寧波理工學院 土木建筑工程學院，浙江 寧波 315100)

抗滑樁是目前使用最為廣泛的邊坡支擋結構之一。設計抗滑樁主要分為2個步驟:第一步，對加固前的邊坡進行穩定性分析，計算邊坡加固至設計安全系數時所需要的支護抗力;第二步，根據計算的支護抗力進行抗滑樁設計。目前,計算支護抗力主要采用傳遞系數顯式解和隱式解法，顯示解法不用迭代可以手算，因此在計算機不夠普及時期被長期使用，目前的規范[1-2]依然推薦使用顯示解法。隨著計算機的發展，基于強度折減法的隱式解法求解已不再困難，規范[3-4]現已采用隱式解法，不同規范中計算支護抗力的方法目前仍未統一。郭海強等[5]研究了隱式解和顯示解之間的關系,發現擬設抗滑樁支護抗力被放大，因此造成較大差異，并引入了可靠度作為評價邊坡的可靠指標。方玉樹[6]發現顯示解法和隱式解法計算結果的差距隨著滑面傾角差的變化而變化，且變化方向不固定。趙尚毅等[7]對傳遞系數隱式解法進行了改進并研究了滑面傾角對計算誤差的影響，發現傾角越陡，滑面內摩擦角越大，造成的誤差越大。

陳穎騏等[8]對傳遞系數法進行了改進，同時研究了設樁處滑面傾角變化對抗滑樁推力的影響，發現滑面傾角增大時抗滑樁推力隨之增大。龍盛軍等[9]對比了顯示解法和隱式解法的差異，結果表明隱式解法得到的安全系數略低于顯示解法，當安全系數偏離于1越大時計算結果偏差越大。陳文勝等[10]基于傳統的不平衡推力法研究了傳遞最大推力的不平衡推力法，計算出邊坡最危險滑動面更大的滑坡推力，并得到較傳統方法更小的安全系數。肖世國[11]基于傳遞系數法研究了單排樁加固邊坡的受力計算方法，得到了受荷段的凈滑坡推力表達式以及樁體內力和位移的上、下限解。韋秀東等[12]提出將設計滑坡推力與剩余下滑力之差作為支護抗力，理論計算結果與數值分析結果大體一致。經研究發現,不管是顯示解法還是隱式解法，用計算出的支護抗力加固邊坡后，驗算加固后的安全系數與設計安全系數不一致，無法體現設計目標。

目前對邊坡穩定性分析趨于使用嚴格法，朱大勇等[13-14]對Morgenstern-Price法進行了改進，只需簡單的代數迭代便可快速得到邊坡的安全系數，大大簡化了計算過程。本文基于改進的Morgenstern-Price法研究了計算邊坡支護抗力的方法，在條塊受力分析中加入了抗滑樁的作用力，考慮了樁和條塊之間的相互作用，設計安全系數對滑面強度參數折減，當最后一個滑塊的剩余下滑力等于0時，便可求出支護抗力，用支護抗力加固邊坡，驗算出邊坡加固后安全系數與設計安全系數一致。

1 傳統方法計算支護力

傳遞系數顯示解法和隱式解法求解滑坡推力的公式推導過程在文獻[7]中均有給出，本文不再贅述。求解邊坡支護抗力時，安全系數的值取規范中規定的設計安全系數，采用傳遞系數顯示解法或者隱式解法求出邊坡的滑坡推力，將得到的滑坡推力作為所需抗滑樁提供的支護抗力。

1.1 傳遞系數顯示解法

條塊受力如圖1所示?？够瑯吨ёo抗力計算公式為

圖1 條塊受力圖

Pi=FsTi+Pi-1ψj-1-Ri,

(1)

ψi-1=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tan(φi),

(2)

其中，Wi為條塊自重；qi為外荷載；KcWi為地震力；Ni為條底法向作用力；Ui為條底水壓力，Ui=uibisecαi；Ri為第i條塊抗滑力；Ti為第i條塊下滑力；Pi為第i條塊剩余下滑力；ψi為第i條塊的傳遞系數;Si為條底剪力；αi為條底傾角；bi為條塊寬度；hi為條塊高度。

用傳遞系數顯示解法計算支護抗力是將下滑力乘以設計安全系數再減去抗滑力,最終得到的滑坡推力作為抗滑樁的支護力。但是在考慮條塊的受力平衡條件中，如果只考慮條塊下滑力的增加，不考慮因為條塊正應力的增加而引起抗滑力的提高，同時直接將求解出的滑坡推力作為邊坡支護抗力并不合理，沒有在條塊受力分析中考慮抗滑樁的作用力，力學分析不夠嚴謹，因此計算結果誤差較大。研究結果表明，運用顯示解法計算的支護抗力無法使邊坡加固至設計安全系數且計算結果通常偏大。

下面通過算例進行驗證。計算模型的滑體高度為31 m，滑面為折線形，計算模型如圖2所示。土體重度γ=25 kN/m3，黏聚力c=13 kPa，內摩擦角φ=13°。

圖2 算例1計算模型(單位：mm)

未加固時邊坡安全系數為0.94，此時邊坡處于不穩定狀態，需要對邊坡進行加固處理。邊坡設計安全系數取1.35，按照顯示解法計算出的邊坡支護抗力為1 440 kN，將1 440 kN作為支護抗力驗算加固后邊坡安全系數(使用Morgenstern-Price法計算)為1.44，大于設計安全系數1.35?？梢?，顯示解法求出的支護抗力無法使邊坡加固至設計安全系數。

1.2 傳遞系數隱式解法

條塊受力圖同圖1，抗滑樁的支護抗力計算公式為

(3)

(4)

同樣選用算例，設計安全系數取1.35，得到邊坡的支護抗力為1 129 kN，將邊坡1 129 kN作為支護抗力驗算加固邊坡后的安全系數(使用Morgenstern-Price法計算)為1.29，同樣不等于設計安全系數。相較于顯示解法，隱式解法更為合理，但是在條塊受力分析中同樣沒有考慮抗滑樁的作用力，而是直接將邊坡的滑坡推力作為支護抗力，造成計算誤差。因此不管是顯示解法還是隱式解法，通常求解出的支護抗力不能使邊坡加固至設計安全系數Fs，無法體現設計目標。

2 改進后的Morgenstern-Price法計算邊坡支護力

本文基于改進的Morgenstern-Price法，在條塊受力分析中加入抗滑樁的作用力，在計算邊坡所需支護抗力時，用規范確定的設計安全系數對滑體強度參數進行折減，當最后一個條塊剩余下滑力為0時，得到的Pi就是抗滑樁所需提供的支護力。

圖3 條塊受力圖

2.1 平衡方程

Ni=(λfi-1Ei-1-λfiEi+Wi)cosαi-(Ei-1-Ei+KcWi)sinαi-uibisecαi+qicos(ωi-αi),

(5)

平行于條底方向受力平衡：

qisin(ωi-αi)=0,

(6)

將式(5)帶入式(6)整理得

φiEi=φi-1Ei-1ψi-1+Fs(Ti-Pi)-Ri,

(7)

其中條塊下滑力為

Ti=-qisin(ωi-αi)+KcWicosαi+Wisinαi,

(8)

條塊抗滑力為

Ri=[Wicosαi-KcWisinαi-uibisecαi+qicos(ωi-αi)]tanφi+cibisecαi+Kpi,

(9)

φi=(sinαi-λficosαi)tanφi+(cosαi+λfisinαi)Fs,

(10)

傳遞系數為

(11)

通過式(7)可以推出當抗滑樁設置在第x條塊時，抗滑樁支護抗力計算公式為

(12)

將上面公式簡單變換便可以得到邊坡安全系數驗算公式為

(13)

其中式(13)右邊包含Fs，因此需要迭代求解。

根據條底中部的力矩平衡條件可得

(14)

由端部條件En=E0=0可以得到比例系數λ的表達式為

(15)

先取安全系數Fs0、λ0初值，代入公式計算Fs和λ，若滿足|ΔFs|≤0.000 1且|Δλ|≤0.000 1，計算結束，若不滿足，將計算結果代入公式重新計算至滿足條件為止，此時Fs的值就是邊坡的安全系數。計算支護抗務流程圖如圖4所示。同樣選用算例1，式(12)計算邊坡支護抗力為1 245 kN，驗算加固后邊坡的安全系數(使用Morgenstern-Price法計算)為1.35，與設計安全系數一致。

圖4 計算支護抗力流程圖

結果顯示不管是用顯示解法還是隱式解法求出的支護抗力加固邊坡，加固后邊坡安全系數均不等于設計安全系數，傳遞系數顯示解法計算結果比設計安全系數增大了6.7%，隱式解法比設計安全系數減小了4.4%。用本文方法計算的支護抗力加固后邊坡安全系數與設計安全系數一致。

2.2 計算結果對比

為對比幾種方法的計算結果，設計安全系數分別取1.20、1.25、1.30、1.35、1.40來計算邊坡所需的支護抗力，然后驗算加固后邊坡的安全系數，驗算方法均采用Morgenstern-Price法，計算結果如表1所示。不同方法計算支護抗力如圖5所示，加固后安全系數對比如圖6所示。

圖5 不同方法計算的支護抗力 圖6 加固后安全系數對比

由表1結果可知，顯示解法計算出的支護抗力大于本文方法，增大幅度在5.1%～20.5%，加固后邊坡的安全系數不等于設計安全系數。加固后邊坡的安全系數增加幅度在4.2%～8.6%。隱式解法計算出的支護抗力小于本文方法，減小幅度在3.9%～10.6%，加固后安全系數減小幅度在2.9%～5%之間。傳遞系數法計算邊坡支護抗力不管是顯示解法還是隱式解法均不能使邊坡達到設計安全系數，無法體現設計目標。使用本文方法(公式(12))計算出的支護抗力加固邊坡后，邊坡的安全系數與設計安全系數一致。

表1 不同方法計算結果

3 結論

本文基于改進的Morgenstern-Price法，滿足全部的平衡條件，屬于嚴格法，受力清晰，只需簡單的代數迭代即可求解。在條塊受力分析時加入抗滑樁作用力，體現了樁與條塊間的相互作用。計算時用設計安全系數對滑體強度參數折減，當最后一個條塊剩余下滑力為0時，對應的Pi就是抗滑樁所需支護抗力。通過算例驗證，結果表明顯示解法的計算結果偏大，誤差值在5.1%～20.5%，隱式解法的計算結果偏小，誤差值在3.9%～10.6%，本文方法計算結果驗算邊坡加固后的安全系數與設計安全系數一致，計算結果優于傳統方法。