對一道聯考試題的探究

安徽省寧國中學 陳曉明 242399

參加各級各類聯考是高考復習過程中重要的一個環節，筆者所在學校每屆高三都要參加在安徽享有盛譽的“江淮十?！甭摽?2019 屆高三第二次聯考于2018 年11 月16日如期舉行,理科數學第12 題（選擇題壓軸題）看似簡單，但最后幾乎令所有學生“崩潰”！有的同學花了很長時間卻半途而廢，只好亂猜一個答案；有的同學看完題目就亂猜一個答案；有的同學到最后做這一道題，眼看考試時間來不及了，連題目都沒看，直接亂猜一個答案.因此這題的得分率不言而喻.筆者所在學校許多教師也沒有做出來，包括筆者在內，都感嘆道“史上最難數學選擇題”！

題目 已知函數f(x)=x(e2x-a)-lnx，若f(x)≥1 在(0,+∞)上恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）.

A.( -∞,e-1] B.( - ∞,e-1)

C.( - ∞,2] D.( - ∞,2)

1 試題解答

2 分析與思考

2.1 關于知識，能力，方法，素養

本題是一道不等式恒成立問題，也是求參數取值范圍問題.利用分離參數法將問題轉化為求函數最值問題進行求解，屬于通性通法.本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值.考查學生的轉化能力，計算能力，分析解決問題的能力，屬難題.考查的主要思想方法有函數與方程思想，轉化與化歸思想，數形結合思想，設而不求法，整體代換法，構造法.

解決數學問題不是僅解決學會了多少知識點，而是研究在解決問題的過程中所涉及知識點上有多少思維點，有哪些關鍵點，蘊含了哪些數學核心素養.我們的課堂教學應該“慢”下來，教師要有意識地引導學生學習和掌握思維點，創造學生思考的時間和機會，放手讓學生“大展拳腳”，觸發學生的思維，激發學生的學習潛能，讓學生學會思考，形成和發展數學核心素養.否則，在教師的“過度”指導下，學生更多地是模仿，而少有思考，能力得不到培養，素養得不到提升，結果出現“聽起來頭頭是道，做起來莫名其妙”的現象！

2.2 關于“找點”

通過分離參數法將問題轉化為最值問題是學生很容易想到的，而如何求最值呢？因為這里沒有端點值，所以學生也很容易想到利用導數求函數的極值.因為導函數的變號零點才能成為原函數的極值點，所以我們要探究導函數的變號零點：是否有？有幾個？“是否有”的問題可以通過零點存在性定理來判斷；“有幾個”的問題可以再次利用導數判斷導函數的單調性、極值，從而確定導函數值的符號（可以借助導函數的圖像，觀察導函數的圖像與x軸交點的個數，同時要注意是否為零點）.因為導函數的符號由分子h(x)=2x2e2x+lnx決定，因此只需判斷分子的符號即可.于是想到對分子h(x)=2x2e2x+lnx求 導，易 知h′(x)=4(x2+x)e2x+＞0 ，所 以h(x)=2x2e2x+lnx在(0,+∞)上單調遞增，因此分子h(x)=2x2e2x+lnx若有零點也最多只有一個.這里如果不是h′(x)＞0，從而得到h(x)具有單調性，那么問題就變得復雜.接下來再用零點存在性定理判斷函數h(x)是否有零點，這時出現一個疑難問題，就是在定義域內“找點”（可確定函數值的符號），因為lnx的存在，導致無法取到定義域( )0,+∞的左端點值0，右端點值又是無窮大∞，那怎么辦？所以學生普遍感到困惑！要找到正確的“點”，有時需要嘗試，便于計算函數值是前提.這里容易發現h(1)＞0，于是我們可在1 的左右找，前面解法中找的是當然不唯一，例如還可取等等.由此也看出我們“找點”有時找的不一定是端點值，只要易于判斷函數值的符號就行.

利用零點存在性定理判斷零點的存在性時，有時“找點”是一個難點，很不好找.而這一難點的考查經常出現在各級各類考試中，特別是高考數學全國卷.

引例（2015 年新課標全國卷I 文科第21 題）：設函數f(x)=e2x-alnx.討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數.關于該問題的解決以及更多的例子可參閱筆者文章《對幾道高考數學全國卷導數試題命題規律的探究》[]1.

2.3 關于隱零點

2.4 關于構造函數

仔細分析高考中的導數題的求解，經常會出現對問題進行轉化，解題方法的選擇，欲得結論的嘗試等問題，這也是對學生創新意識的考查.這就要求學生在審題和探索解題思路時，要有足夠快的反應能力，尤其是在發現已有的思路行不通時，要知道從哪些方面去轉換思路，提出新的問題，尋找突破的途徑.對于這些，如果學生平常有多次類似的解題經歷，在考場上就不至于慌張，從而也就能想出創造性的解題方法來.這就要求教師在日常的教學中要多對學生鼓勵，讓他們敢于嘗試，尤其是要容許學生犯錯誤，然后從錯誤中反思，再尋找正確解法.長此以往，學生的創新意識一定能得到培養,數學素養得到提升.

3 這樣的題能考嗎？

3.1 從核心素養視角看

通過前面的分析與思考，我們不難發現此題很好地考查了學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模等核心素養.檢驗學生核心素養的高低，不是讓學生寫核心素養的論文，而是讓學生做數學題，會做數學題不一定說明核心素養高，但核心素養必須通過解決數學問題來實現.那就要看做什么樣的數學題，是怎樣做出來的.此題雖然難度大，但是它能很好地考查學生的能力、素養.

在目前高考指揮棒下，數學課堂存在著一種普遍現象：老師講的多，學生聽的多；老師展示的多，學生看的多；老師自問自答的多，學生隨聲附和的多；關鍵點、難點被老師直接點破的多，導致學生似懂非懂的多，這種現象產生的直接結果是：課堂上學生仿佛都能聽懂，課后自己真正會做的少.課堂上有意擠占學生的思考空間和將學生的思維“模式化、標準化”，充分利用課堂向學生灌輸更多的“知識”，這樣的方式也許會有短期效果.但久而久之會讓學生產生依賴心理，數學思維能力、解題能力難有實質性的提高，不能真正達到對問題理解的狀態，在考試中遇到熟悉的題型還可能有一個模式化的反應，但遇到陌生的新情境問題，無“型”可套時，就難以做到隨機應變，只得“束手就擒”了[]4.

因此，從數學核心素養的視角看，這道試題出得很有創意，是試卷的一個亮點，一道好題！筆者也從未看過這種通過再次構造函數法將條件化簡再進行代換的題型，這在高考數學（特別是全國卷）的基礎上更進了一步. 這樣有價值的一道題，當然能考.

3.2 從考試區分度看