一般三棱鏡最大頂角與折射率的關系

王夢影，顧菊觀，徐海斌

(湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

光學教材[1]和光學實驗教材[2]對三棱鏡的討論都是針對等邊三棱鏡在空氣中折反射情況的.文獻[3]討論了等邊三棱鏡偏向角與頂角的關系，獲得了棱鏡的最大頂角.文獻[4]討論了等邊三棱鏡在兩邊折射率為空氣的情況下，不同的頂角和棱鏡折射率對最小偏向角的影響.文獻[5]討論了等邊三棱鏡的入射角、棱鏡頂角、折射率的變化對偏向角的影響.文獻[6]～[8]討論了等邊三棱鏡的頂角、最小偏向角、折射率、入射角，以及中空食鹽水棱鏡的折射率和色散的測量.教材和參考文獻幾乎沒有涉及一般三棱鏡及折射率不同的研究.本文主要研究一般三棱鏡在頂角和兩側折射率或棱鏡折射率不同情況下的最大頂角，并運用幾何光學理論、Matlab曲線進行分析討論，同時與等邊三棱鏡、等腰三棱鏡進行比較.

1 理論分析

1.1 最小入射角

在三棱鏡實驗中，要求光從AB面入射，在AC面觀察到出射光線，并進行測量和計算.如圖1，當光入射到AB面的入射角大于一定角度時，在AC面會發生全反射，則在AC面就沒有出射光線.因此，對應AB面的入射角不能小于一定角度，否則實驗無法進行.

圖1 一般三棱鏡的光路圖(在AC面產生全反射)Fig.1 Schematic diagram of optical path of general prism (in case of total reflection of AC surface)

如圖1，由幾何關系得：

r1+r2=A.

(1)

由折射定律得：

(2)

當i2=90°時，對應AB面的入射角為最?。?/p>

(3)

(4)

因此，當AC面的出射光線沿AC出射時，對應AB面的最小入射角i1min為：

(5)

最小入射角i1min與一般三棱鏡角B、C無關，只與一般三棱鏡的頂角A和棱鏡兩側折射率有關.

當n1=n3=1時，

該結果與文獻[3]和[5]一致.

即

(6)

1.2 最大頂角

1.2.1 頂角與折射率的關系

由式(6)可得：

(7)

化簡得：

(8)

(9)

(10)

1.2.2 折射率的要求

n1n3,

(11)

n1>n2

(12)

對式(12)，當光從AB面入射時，在AC面不可能產生全反射，而在AB面可以產生全反射(圖2(a))，這不能滿足題意(在AC面產生全反射)要求，故舍去這個條件.因此，對這種情況，不能用測量最小偏向角(偏向角定義為出射光線以銳角逆時針轉至入射光線對應的夾角，且為正值)的方法來計算棱鏡的折射率，應用測量入射角和出射角的方法來計算(圖2(b)).

圖2 一般三棱鏡折反射情況(n1>n2n2

在選擇棱鏡折射率和兩側折射率時，若要求在AC面觀察到出射光線，且能用最小偏向角法測量折射率，則須滿足式(11)的要求.

1.2.3 最大頂角

由式(10)將式(9)表示為：

(13)

滿足式(13)的條件為：

(14)

經運算得：

(15)

或

(16)

經運算得：

(17)

式(15)和式(17)都要滿足條件式(11).在式(11)條件下，式(17)對應的頂角A等于或接近180°(若n1=n3=1

一般三棱鏡的頂角A應滿足式(15)，才能滿足式(13)，此時最大頂角為：

(18)

式(18)表明了棱鏡最大頂角與棱鏡折射率、兩側折射率的關系，即棱鏡最大頂角與折射率的關系是非線性的.

2 利用Matlab模擬最大頂角與折射率的關系

根據式(18)，應用Matlab可以得到最大頂角與折射率的關系曲線.

2.1 三棱鏡頂角與棱鏡折射率的關系曲線(在空氣中)

當n1=1、n3=1、n2=1.572 4時，對應的三棱鏡最大頂角與棱鏡折射率的關系曲線如圖3所示.由圖3可知，當n2=1時，Amax=180°，這相當于在同種介質中，光沿著直線傳播，且沒有折射；當n2=1.572 4時，對應的棱鏡最大頂角為Amax=78.984 0°，且棱鏡的最大頂角Amax隨著n2的增大而非線性地減少.這為三棱鏡頂角和折射率的選擇提供了參考，即給定的棱鏡折射率對應的頂角不能大于理論得到的最大頂角，否則無法應用最小偏向角法進行實驗和研究.

2.2 棱鏡最大頂角與折射率n1的關系曲線

由圖4可知，當1≤n1<1.572 4時，棱鏡的最大頂角Amax隨著n1的增大而非線性地增大；當n1=1.572 4時，Amax=129.492 0°，相當于平面一次折射(光密介質到光疏介質)，而非三棱鏡的兩次折射；當n1>1.572 4時，不能滿足條件式(11)，則Amax無值.

圖3 棱鏡最大頂角Amax與棱鏡折射 率n2的關系曲線(n1=1,n3=1)Fig.3 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1,n3=1)

圖4 棱鏡最大頂角Amax與折射率n1的 關系曲線(n2=1.572 4,n3=1)Fig.4 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n1(n2=1.572 4,n3=1)

2.3 棱鏡最大頂角與折射率n3的關系曲線

由圖5可知，當n3=1.572 4時，Amax=129.492 0°，相當于平面一次折射(光疏介質到光密介質)，而非三棱鏡的兩次折射.

2.4 棱鏡最大頂角與折射率n2的關系曲線(n1=1.627 6,n3=1)

由圖6可知，當n2<1.627 6時，不滿足式(11)的要求，Amax也不滿足本文題意的要求；若滿足式(11)的要求，折射率須滿足n2>1.627 6，且Amax隨著n2的增大而非線性地減少；當n2=n1=1.627 6時，相當于一次平面折射，此時Amax=127.908 3°.

圖6 棱鏡最大頂角Amax與折射率n2的 關系曲線(n1=1.627 6,n3=1)Fig.6 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1.627 6,n3=1)

2.5 棱鏡最大頂角與折射率n2的關系曲線(n1=1.627 6,n3=1.333 0)

由圖7可知，當n2≥1.627 6時，滿足式(11)的要求，且Amax隨著n2的增大而非線性地減少；當n2取值在1～1.333 0之間時，滿足式(12)的要求，不滿足本文題意的要求；當n2的取值在1.333 0～1.627 6之間時，不滿足式(11)或式(12)的要求，也不滿足本文題意的要求.

圖7 棱鏡最大頂角Amax與折射率n2的關系曲線(n1=1.627 6,n3=1.333 0)Fig.7 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1.627 6,n3=1.333 0)

3 結 論

本文運用折射和全反射定律推導一般三棱鏡的最小入射角與頂角的關系，以及棱鏡最大頂角與折射率的關系，并運用Matlab得到了棱鏡折射率、兩側折射率、棱鏡最大頂角的選擇范圍及其相互之間的關系曲線，其理論分析與模擬結果一致.本研究能夠加深學生對一般三棱鏡的偏向角與頂角、折射率等關系的理解，提高學生的創新實驗設計能力和Matlab軟件應用能力.研究結果可為教學、實驗和研究中棱鏡頂角和折射率的選擇、棱鏡儀器的設計等提供理論依據.