你是一個面包圈

丹丘生

你是一個面包圈！嚇你一跳了吧？好，讓我來給你解釋，這是怎么回事。

這涉及到一門叫拓撲學的幾何學分支。在上一篇文章中已經講過，拓撲學研究的是物體在變形、拉伸、扭曲（但不允許撕扯或粘貼）的情況下的一門幾何學。與一般幾何學不同的是，拓撲學對“點與點之間的距離”這類問題不感興趣，它只關心點與點的連接方式，如“連沒連？”“怎么連？”這類問題。

這樣說，或許還有點抽象，我們具體來看一個例子。

上圖中，第一個是用橡皮膜做成的一個球面，通過拉伸，它可以變形成橢球面，卻不可能變成上圖所示的面包圈形狀。只要不把它撕開，不論它怎么變形，裹在里面的空心總是被裹在里面。又因為變形時不允許粘貼（讓它的內壁貼在一起），所以你也沒法把一個空心變成兩個、三個空心。類似地，你也沒辦法把上圖中第二個面包圈，通過拓撲學變成第三或第四個形狀。

但你可以把第二個面包圈揉捏成一個茶杯的形狀。辦法是這樣：用指頭按它的右側，所按之處會輕陷下去，按得越重，陷得越深，但底子不允許捅破（因為捅破就是撕扯，是拓撲學上不允許的）。你可以把這個小坑拓得很大。這樣，你就得到了一個茶杯的杯體，而原先的環，則可以充當杯柄。

總之，拓撲學會使一些看似極不相關的物體，發生奇怪的聯系，包括你和面包圈。

拓撲學還能解釋超流體和超導體中奇異的量子行為。它還導致一些聞所未聞的新型材料。一些物理學家甚至認為，拓撲學是我們通向建立宇宙終極理論的一個關鍵。正是由于這些原因，相變中的拓撲學研究在2016年獲得了諾貝爾物理學獎。

但是究竟什么是拓撲學？物理學上哪些地方涉及拓撲學？以下是你需要知道的。

拓撲學：一種思考幾何的新方式

拓撲學家按照幾何物體所具有的某些不變屬性來對它們進行分類，比如看它上面有多少個洞眼等。當然，要是細分的話呢，還要看這個洞眼是在物體內部還是外部。

對于拓撲學家來說，球體與立方體可歸為同一類，因為在它們身上，洞眼的數目都是零;但他們可沒法在一個面包圈和一個茶杯之間做出區別——它們是一樣的，都有一個洞眼。當然，你可以把這當作一則笑話。

重要的是，洞眼的數目只能是整數，比如0個，1個或2個。你不能擁有半個洞眼或三分之一個洞眼。英文里“hole（洞眼）”和“whole（整個）”讀音完全相同，這真是一個有意思的巧合。

這個“只能整數個”的思想你是不是很熟悉呢？對了，空間的維度只能整數維：零維的點，一維的線，二維的面，三維的立體。此外，電荷也只能是整數份的。還有基本粒子的自旋，量子的能量……也只能是整數份的。

在一個物體中，洞眼的數目被稱為“拓撲不變量”。那就是說，只要你不把這個物體撕裂或粘貼，任你怎么把這個物體拉伸、揉搓、扭曲、變形，你都沒法讓洞眼數減少或者增加，洞眼數永遠“守恒”。

這又有點意思了吧？因為我們知道，在物理學中也有一些東西，比如能量、動量、電荷，也是守恒的。

這些類似的性質，使得拓撲學思想為物理學家提供了一種全新的思考物質和宇宙的方式。

超流

水能從水龍頭自由歡暢地流出，但蜂蜜只能從瓶子里緩緩滴落。決定液體流動難易程度的是粘度，它來自液體分子之間相互碰撞和作用的方式。

但是超流體是一種沒有任何粘度的液體——它能夠沒有阻力地流動。當液氦冷卻到比絕對零度（-273℃）稍微高一點點時，就表現出超流體的行為。其分子好像被“統一思想”，像單個的物體一樣，步調一致地行動，至于它們之間本來有的摩擦、碰撞、“瓜葛”，似乎都消失了。其結果是，倘若你攪動一罐液氦，整個旋渦會無休止地旋轉下去，而不會減慢。

在20世紀7 0年代，2 016年度諾貝爾物理學獎的兩位得主戴維·索利斯和邁克爾·科斯特利茨意識到，處于同一個容器中的兩個超流體漩渦，如果它們正好旋轉方向相反，就會像嚙合的齒輪一樣，步調一致地轉動。

在臨界溫度以上，兩個旋渦就又脫離開，各走各的路了。物理學家稱它經歷了一個拓撲相變。

當某樣東西改變了其原本的屬性，如水凍結成冰，我們就說發生了相變。物理學家在許多研究領域中都使用了相變的思想。甚至有一個量子引力理論（關于萬物起源的一個理論），把真空看成是一類特殊的超流體。

量子霍爾效應

通常，電流與電壓成正比，比例系數即眾所周知的電阻。電阻是材料的一種屬性，好比是電流流過它時的摩擦力。

在20世紀80年代，物理學家在平板材料中發現了一種令人困惑的效應，叫做量子霍爾效應。電流和電壓的這種簡單關系完全被打破了。

在量子霍爾效應中，電阻是量子化的，或者說電阻的大小是在變化，而且變化是跳躍的臺階式的;而且說來奇怪，不管使用什么材料，這些臺階都是一樣。換句話說，跟具體材料無關。

拓撲學對此現象做出了解釋：電阻的臺階式跳躍是因為材料中的電子“勾搭”在一起，形成了一個量子流體。像超流體一樣，這些電子的行為只跟材料的形狀有關（在這里，形狀就是二維平面），而跟具體是什么材料無關。

超導

更不可思議的是超導體，在它里面的電流不會有任何電阻。正如超流體的旋渦可以永無止境地轉下去，超導體上也可以形成永恒的電流。比如把超導體做成環形，一次通電后，形成的環形電流就可以永久地維持下去。

這些環形電流可以被構造成量子比特，這是量子計算機的基石。

就像超流體中相互嚙合、搭配成對的旋渦，超導體中的電子也可以搭配成對，這可以幫助它們在運動時避免遇到阻力。再一次，拓撲對于理解這種行為也是至關重要的。

拓撲絕緣體

這是近年來發現的新材料中最怪異的一類：它們既是導體，又是絕緣體。在這種材料內部，電子被困在局部，動彈不得，但在最外層的表面，電子則能夠相對自由地移動。換句話說，它的內部絕緣，表面導電。這也意味著，拓撲絕緣體內部的缺陷和雜質都不會影響它表面的導電性。

當然，一個絕緣的瓷器鍍了金之后，表面也能導電。不過，這與拓撲絕緣體本質上完全不同。鍍金瓷器表面的導電性，對瓷器來說是外加的，將隨著鍍層的損壞而消失;而把拓撲絕緣體的表面削掉一層，露出的新表面依然能夠導電。

同樣，這種相互矛盾的行為起源于材料的形狀，而且可以用拓撲學來解釋。

超弦理論

在深奧的超弦理論中，物理學家試圖解釋，宇宙中所有粒子與相互作用力都起源于一種比任何已知的粒子小得多的東西——超弦——的振動。在這里，拓撲學又扮演了重要角色。

超弦并非只有簡單的環狀，而是可以具有不同的形狀。這些形狀決定了每一根弦能產生什么樣的振動——類似于一根吉他弦，你把手指按在不同位置，可以撥出不同的音符。這些“音符”對應于不同的基本粒子，譬如一個電子或者一個夸克。

超弦理論設想時空具有一種特殊的微觀結構，在空間的每一點上，至少有六個額外的維度糾纏在一起。這就好比一個毛線球，我們從高空看似乎只有一個點，但事實上卻是一個很多根毛線纏在一起的線團。

維度蜷縮的方式也是一個拓撲學問題。超弦理論家甚至通過拓撲學把空間的維度跟粒子的“家族”數量聯系起來。在粒子物理學中，所有基本粒子都可歸為三個大“家族”：強子（如夸克），輕子（如電子）和傳遞相互作用的玻色子（如光子、引力子）。為什么家族數是三個，而不是四個、五個或兩個呢？超弦理論的回答是：因為空間是三維的，空間的維度數決定了基本粒子的家族數。

由于拓撲學的深奧，這篇小文章無法具體地解釋拓撲學是如何決定超流體、超導體、拓撲絕緣體、超弦的特殊性質的。我們只好滿足于了解一點皮毛，知道拓撲學在這些地方能派上大用場就夠了。

好了，現在回頭去吃你的面包圈吧。面包圈只有一個洞眼，你也一樣，它從你的嘴巴開始，沿著你的食管、胃、腸，一直到肛門。這就是為什么從拓撲學上看，你和你將要吃的面包圈其實是一回事的原因。