基于超聲Lamb波截止頻率的雙層薄板各層厚度表征

潘 蕾，沈中華，劉祥恩，闞威威

(南京理工大學 理學院，南京 210094)

雙層板狀材料具有剛度大、沖擊性能好、成本低等優點，在建筑、汽車制造、航空航天、壓力容器制造及鍍膜等行業都有非常廣泛的應用，如表面帶涂層的渦輪葉片、飛機多層黏合材料或搭接材料等。板狀材料的厚度是該結構的重要參數，因此對其厚度進行表征尤為重要。

超聲波測量方法具有對被測結構要求低、空間分辨率高、受測試環境影響小、對人體無害等優點，廣泛用于物體厚度的測量。目前，常用的超聲波測量方法有脈沖回波法、表面波法和Lamb波法。脈沖回波法通過測量超聲脈沖在樣品中的傳播時間，然后根據傳播速度求得樣品厚度。但該法通常會在測量的樣品厚度為波長量級時達到極限，被測樣品上、下表面、交界面處的反射回波混疊在一起，導致無法計算層厚[1-2]。黃巧盛等[3]針對三層結構測量中的回波混疊問題，采用RLS自適應濾波算法處理提取下界面回波信號，成功測量了0.15，0.17，0.19，0.21 mm等4種硅橡膠層的厚度，最大誤差為3.5%。KRUGER等[4]通過在TiN膜表面處激發出表面波，測量薄膜的厚度，測量誤差為3%。XIAO等[5]通過研究薄膜厚度對聲表面波頻散現象的影響，提出了一種基于理論和試驗色散曲線的厚度計算方法，測得SiO2膜厚度的相對誤差最大為2.18%，但該方法只適用于測量層厚較厚(大于波長量級)的雙層結構；對于兩層都很薄的雙層板，可采用Lamb波法，Lamb波法通常利用Lamb波在頻域上產生的尖銳明顯的共振峰信號來測量厚度[6-7]。GRUENSTEIDL等[8]提出了一種利用零群速度Lamb波同時確定各向同性板厚度及縱向和剪切彈性波速度的方法，厚度測量誤差為1.7%。CHO等[9]將其應用于多層結構中幾十毫米厚的中間層厚度測量，各模態零群速度頻率隨連接層厚度增加而單調下降，對厚度的測量誤差在微米量級。Lamb波群速度共振法雖能很好地對雙層薄板進行測量，但在試驗中不易觀察到明顯的共振現象。

因此，需要一種當雙層薄板各層厚度在波長量級甚至小于波長時，也能夠很好地測量各層厚度的方法以解決上述問題。筆者提出了一種基于超聲Lamb波截止頻率測量雙層薄板各層厚度的方法，理論推導了雙層薄板Lamb波截止頻率與兩板厚度比的關系。以雙層薄板(非鋁/鋁)為研究對象，理論計算了不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率，得到A1模態截止頻率隨厚度比變化的曲線，并分析了非鋁板橫波速度對其變化的影響。

1 雙層薄板Lamb波截止頻率的理論研究

Lamb波是一種板波，橫波分量和縱波分量在雙層板狀材料中傳播時，在上下邊界和交界面處會發生反射，且縱波與橫波間會發生模式轉換，形成Lamb波[10-11]。Lamb波具有衰減小、傳播距離遠、信號強、多模態等特點，廣泛應用于薄板材料的無損檢測與缺陷評估中。

為了簡化分析，假定雙層薄板各層都是各向同性的，薄板在x和y方向上無限均勻延伸，在z方向上有限，交界面與兩自由表面平行，雙層板的幾何描述如圖1所示。其中兩板的縱波速度為cLi；橫波速度為cTi；厚度為hi；密度為ρi，i(i=1，2)表示層數；d為兩板總厚度。

圖1 雙層板的幾何描述示意

通常采用Helmholtz分解法求解運動方程[12]，每一層得到兩個獨立的波動方程，即

(1)

(2)

式中：φi為縱波；ψi為橫波勢函數。

φi=[AiLcos(piz)+BiLsin(piz)]exp[i(kx-ωt)]

(3)

ψi=[AiTcos(qiz)+BiTsin(qiz)]exp[i(kx-ωt)]

(4)

切向位移ux和法向位移uz滿足

(5)

切向應力σxz和法向應力σzz滿足

(6)

式中：λ和μ為拉梅常數。

在兩板的自由表面處(z=-h2和z=h1)應力都為零；在交界面處(z=0)，位移和應力連續。所有表達式略去exp[i(kx-ωt)]項，方程組有非平凡解則令系數矩陣行列式為零，得到波數k和頻率f的關系。

厚度共振響應表現為k=0，f≠0的點處，此時頻率f為截止頻率，表示為fc，代入到值為零的行列式中，得到

(7)

當固定雙層薄板總厚度和其中一層材料參數時，Lamb波截止頻率與兩板厚度比和另一層材料的性質有關，分析時用橫波速度來描述材料性質。下面以總厚度1 mm的雙層薄板(非鋁/鋁)為研究對象，計算不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率，得到A1模態截止頻率隨厚度比變化的曲線，分析非鋁板橫波速度對其變化的影響。

2 雙層薄板Lamb波截止頻率的計算

對雙層薄板Lamb波截止頻率進行理論計算，計算時固定薄板總厚度為1 mm，第一層材料為鋁，改變第二層材料和兩板厚度比，厚度比r為鋁板厚度與非鋁板厚度的比值。為了系統地研究不同材料性質對雙層薄板Lamb波截止頻率的影響，設定m為非鋁板橫波速度與鋁板橫波速度的比值。筆者分別選取橫波速度比鋁的橫波速度小很多(0.2≤m≤0.6)、相對接近(0.6

表1 理論計算時使用的材料及其物理參數

以表1中材料組成的非鋁/鋁雙層薄板為研究對象，其總厚度為1 mm，改變兩板厚度比r，r的變化范圍為[1/9，9]。研究時取Lamb波A1模態截止頻率，計算不同厚度比對應的截止頻率，作出其隨厚度比變化的曲線，根據變化規律將m分成4種情況：0.2≤m≤0.6；0.6

由圖2可見，當厚度比趨近于9時， A1模態截止頻率逐漸趨近于1 mm鋁單板A1模態截止頻率；當厚度比趨近于1/9時，截止頻率逐漸趨近于1 mm非鋁單板A1模態截止頻率。

圖2 m不同時雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率隨厚度比的變化曲線

如圖2(a)所示，當0.2≤m≤0.6時，非鋁板與鋁材料性質差別很大。雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率隨厚度比單調遞增或除某一段區間內出現截止頻率平臺外單調遞增?？梢郧逦乜闯鲢U/鋁雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率在[1/9，9]內單調遞增，截止頻率與厚度比一一對應，當試驗測得A1模態截止頻率時，可以在曲線上找到唯一的厚度比，從而求出薄板各層厚度；而金/鋁和銀/鋁雙層薄板A1模態截止頻率分別在r為2.4和1.9時出現略微下降，后趨于平緩，截止頻率分別在1.08 MHz和1.18 MHz左右出現平臺，也就是說當測得截止頻率在這兩個值附近時，無法區分厚度比，測量誤差較大，而在其他頻率處測量薄層厚度是可行的。

如圖2(b)所示，當0.6

如圖2(c)所示，當0.9≤m≤1.1時，即非鋁板與鋁材料性質相近，雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率同樣隨厚度比先增加后降低再增加，但與上一種情況不同的是，截止頻率會超出1 mm鋁單板A1模態截止頻率與1 mm非鋁單板A1模態截止頻率的范圍。同樣地，在該區間內需要更高階截止頻率來確定唯一的厚度比。

如圖2(d)所示，當m很大(m=1.99)時，曲線趨勢與m在1附近時類似。由于m很大，氮化硅與鋁材料性質差別很大，1 mm氮化硅板A1模態截止頻率是1 mm鋁板的m倍，相差很大。曲線上兩個峰值頻率對應的厚度比在計算區間的兩個端點附近，所以氮化硅/鋁雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率在大的厚度比區間[1/9，7]內單調遞減，非常適合測雙層薄板各層厚度；當r大于7時，截止頻率開始緩慢遞增，在1.54 MHz處出現平臺，導致在[7，9]區間內無法區分厚度比，又由于該區間厚度比都很大，試驗測量時并不會出現較大誤差。

3 結語

筆者利用Lamb波A1模態在截止頻率處產生的厚度共振，對雙層薄板各層厚度進行表征，理論推導出了雙層薄板截止頻率與兩板厚度比之間的關系。理論計算時以總厚度1 mm的非鋁/鋁雙層薄板為研究對象，計算不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態截止頻率，得到了截止頻率隨厚度比變化的曲線，發現非鋁板橫波速度對變化曲線有著重要的影響。當兩種材料橫波速度相差很大時，用Lamb波A1模態截止頻率測量厚度是可行的；當橫波速度相差相對較小時，則需要更高階截止頻率來確定唯一的厚度比，來得到雙層薄板各層厚度。

筆者通過雙層薄板Lamb波厚度共振的激發探測試驗驗證了該方法的可行性，試驗結果表明，當截止頻率隨厚度曲線上同一截止頻率對應多個厚度比時，需要求得更高階截止頻率與厚度比的變化曲線，并排除不期望的厚度比。