Lieb莫爾光子晶格及其光子學特性研究

張鈺，高美妮，戴海濤，劉迎，呂且妮

（1 天津大學理學院天津市低維功能材料物理與制備技術重點實驗室，天津 300072）

（2 天津大學精密儀器與光電子工程學院 光電信息技術科學教育部重點實驗室，天津 300072）

0 引言

莫爾現象在自然和日常生活中非常常見，比如明媚的陽光反射在窗簾上產生的水波樣條紋、用相機拍攝液晶顯示器時出現的條紋等。莫爾結構是兩個相同周期性結構疊加而成的復合結構，并且基于莫爾結構的檢測技術被廣泛應用。近年來，曹原等［1］關于石墨烯的“魔角”的研究掀起了微觀領域中電子莫爾結構的研究熱潮［2-4］，二維材料莫爾結構的非平凡電子特性也使得其具有奇異的光學特性，例如雙層α-MoO3莫爾結構的色散曲線在魔角下的可調拓撲過渡［5］。

然而，天然二維材料構成的莫爾結構，因其子晶格是固有的原子晶格，所以難以調控。近年來，基于人工子晶格（如金屬超材料、光子晶體等）構造的莫爾晶格結構引起了研究者重視，如采用金屬超材料形成的表面等離激元莫爾晶格，可誘導產生強圓二向色性的光場［6］。理論研究表明，采用光子晶體構造的光子莫爾晶格表現出比子晶格更寬的禁帶以及更平的能帶［7-10］，實驗上光子莫爾晶格可以采用多種方式產生，如葉芳偉等［11-12］提出的在光折變晶體中通過光強誘導方法構造光子莫爾晶格，實現了空間光孤子的調控。曾健華等［13］提出在相干原子氣體中基于電磁誘導產生光子莫爾晶格。馬仁敏等［14］基于半導體多量子阱膜疊加的方法設計了光子魔角激光器。因此，光子莫爾晶格具有寬禁帶以及平帶特性，旋轉角提供更多的調控自由度，是一種極具前景的新型光子學研究平臺。

光子禁帶和平帶是光子晶體的兩個重要特性。寬禁帶的光子晶體可用于低閾值激光器［15］、光學晶體管［16］和光波導［17］等領域。平帶范圍內的光子群速度極小，能引發光子的局域，因此具有平帶特征的光子晶體在光致發光增強［18］和慢光產生［19］等領域應用廣泛。目前研究的由四方晶格［11，13］、六方晶格［8-9，11］等構成的莫爾光子晶格中均發現具有平帶特征，但四方、六方等晶格自身的平帶特征并不明顯。因此，由自身具有平帶特征的子晶格（如Lieb、Kagome 晶格等）構成的光子莫爾晶格可能具有突出的平帶特性。

Lieb 晶格是一種常見的具有平帶特征的光子晶體結構［20-22］，因此基于Lieb 晶格的莫爾結構也被期望具有更寬的禁帶和更平的光子能帶。本文通過旋轉兩個Lieb 子晶格構造出周期性Lieb 莫爾晶格，通過數值計算研究了Lieb 莫爾晶格的光子禁帶和平帶特性，并通過改變填充系數和介質材料調控其光子禁帶，為實現寬光子禁帶、超平帶光子晶體提供一種新的途徑。

1 Lieb 莫爾晶格的構造

在本文中，Lieb 晶格結構由介質柱和空氣間隙構成。采用一組基矢（a0，b0）描述未旋轉Lieb 子晶格的坐標，如圖1（a），隨著兩個子晶格之間旋轉角的改變，形成的莫爾晶格的晶格常數也會變化。當旋轉角為某些特定角度時，兩個子晶格的某些節點會重合，形成具有周期性的莫爾結構，這些特定的角度稱為可公度角，用一組整數（m，n）定義可公度旋轉角度θ為

圖1（b）為旋轉角為36.87°的莫爾晶格的示意圖（n=1，m=3）。未旋轉的子晶格的基矢乘以旋轉矩陣即可得到旋轉后子晶格的基矢。

圖1（a）中的紅色圓點表示未旋轉的Lieb 晶格（其晶格常數為α1）中的介質柱A，順時針旋轉36.87°后得到的介質柱B 記為綠色圓點，介質柱A 和B 組合構成莫爾晶格，如圖1（b）所示。該莫爾超元胞包含了27 個介質柱，晶格常數為α2，保留了原本Lieb 晶格四方晶格的幾何特征。介質柱A 和B 的介電常數分別記為ε1和ε2，半徑分別記為r1和r2，背景介質為真空。根據理論計算，還存在其他的可公度角，但是由于形成的莫爾晶格的超元胞中介質柱數目太多，本文僅研究旋轉角為36.87°的Lieb 莫爾晶格。

圖1 Lieb 莫爾晶格的構造方法Fig.1 Construction method of Lieb Moire lattice

2 Lieb 莫爾晶格的光子能帶特征

本節中Lieb 子晶格和莫爾晶格的介質材料均為GaAs。為了對比子晶格和莫爾晶格的特性，設Lieb 子晶格和形成的莫爾晶格的晶格常數相等，即α1=α2=α=能帶結構圖采用無量綱的坐標，計算結果能夠方便地進行比例變換，有利于應對不同具體數值的情況。根據幾何關系可知，Lieb 結構的填充系數為f1=3πr12/S1，莫爾晶格的填充系數為f2=27πr22/S2，S1和S2表示結構單元胞面積，其中S1=4α21，S2=α22。

采用平面波展開法（Plane Wave Method，PWM）［23］計算TM 模式下光子晶體的能帶結構，沿著第一布里淵區內三個高旋轉對稱點Γ、Μ、X采樣（見圖1（c）），f1=f2=0.10 的計算結果如圖2所示。因為光子能量正比光子頻率，因此這種色散關系圖也被稱為能帶結構圖。將能帶結構圖中最寬的禁帶定義為主禁帶，在圖2中用灰色區域表示。Lieb 晶格的主禁帶寬度為0.074，禁帶中心為0.285，如圖2（a）；莫爾晶格的主禁帶寬度為0.148，禁帶中心為1.849，如圖2（b）。在相同的填充系數下，Lieb 莫爾晶格的禁帶比Lieb 晶格的禁帶更寬。

圖2 填充系數為0.1 時Lieb 子晶格和Lieb 莫爾晶格的能帶結構圖Fig.2 Band structures of Lieb sublattice and Lieb Moire lattice with filling factor of 0.1

Lieb 晶格和莫爾晶格的禁帶中心波長分別為15 691.7 nm、2 418.6 nm，屬于紅外波段。Lieb 莫爾晶格的光子禁帶相比于Lieb 子晶格發生了藍移，主要因為在相同的晶格常數條件下，莫爾晶格中的介質柱數目更多，為了保證相同的填充率，具有較小介質柱直徑的莫爾晶格形成了較大介電常數的對比度。在光通信及其他實際應用中，典型的波長是800 nm 到1 600 nm，因此莫爾晶格的禁帶更靠近實際應用的波段，具有更高的應用價值。因為計算結果以無量綱形式表示，所以可以通過介質柱大小和晶格常數之比的變換獲得所需波段的禁帶。

為了研究介質柱直徑對禁帶特征的影響，得到優化的禁帶寬度，對Lieb 晶格和莫爾晶格的填充系數進行了掃描，將不同情況下的能帶特征進行整理得到的禁帶特征圖如圖3所示。圖3（b）顯示莫爾晶格最寬的主禁帶寬度為0.212，遠大于Lieb 晶格最寬的主禁帶寬度0.076（見圖3（a）），對應的填充系數分別為0.153 和0.120。將填充系數分別固定在禁帶寬度最大時，相應的能帶結構圖如圖3（c）和圖3（d）。Lieb 晶格的主禁帶寬度最寬時對應的禁帶中心位于0.275，而莫爾晶格的主禁帶寬度最寬時對應的禁帶中心為1.703，具有明顯的藍移特征。

Lieb 莫爾晶格的平帶特征如圖3（d）所示。Lieb 莫爾晶格中存在三條平帶，分別為第15 帶、第22 帶、第27 帶（圖中標號為1、2、3）。為了表征光子平帶的特征，定義光子帶的平整度F為［24］

式中，ωt和ωb分別為光子帶的頂部和底部頻率。F值越小，表明光子帶的平整度更高。圖3（d）中三條平帶的F值分別為0.006 014 9、0.002 328 4、0.005 258 7，其中第22 帶具有最小的F值，即具有最高的平整度。對比圖3（c），Lieb 晶格的平帶最小的F值為0.0150，因此莫爾晶格平帶的平整度遠高于Lieb 晶格。

圖3 Lieb 晶格和Lieb 莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結構圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數變化的曲線）Fig.3 Bandgap characteristic diagrams and band structures of Lieb lattice and Lieb Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

介質柱的半徑也影響光子帶的特征，因此通過改變介質柱的半徑對第22 帶的平整度進行了研究。計算結果如圖4所示，當r1=0.038 0α時，F具有極小值0.001 872 2，此時平帶對應的歸一化頻率為1.47。已經報道的四方、六方等光子莫爾晶格結構中均展示了平帶以及超平帶［8-9，11，13］，但未給出數值表征。對比已經報道的Kagome 晶格［24］平帶平整度（0.002），Lieb 莫爾晶格的平帶平整度更好，同時Lieb 莫爾晶格的光子禁帶更寬且具有更高的靈活性。

圖4 光子平帶的平整度F 隨r1/α 變化曲線Fig.4 Flatness F of the photonic band varies with r1/α

為了驗證平帶對電場局域的效果，計算了22 能帶在Γ點和Χ點的電場分布，初始的電場滿足歸一化規則：計算結果如圖5所示。圖5只顯示了一個超元胞內的情況，電場被局限在中心一圈的介質柱上，對應于圖1（b）中標號為1～8的八個“花瓣”形狀，最高的光強|E（x）|2分別為2.49 W/m2和2.54 W/m2。更高平整度的平帶能導致更強的電場局域，強烈的局域在非線性光學、光電能量轉換器件等方面具有廣泛的應用前景，因此Lieb 莫爾晶格將為這些研究提供一個新的途徑和平臺。

圖5 平帶的電場強度分布圖Fig.5 Electric energy distributions of the flat photonic band

3 介質特性對Lieb 莫爾晶格禁帶的影響

研究不同介質材料的子晶格疊加形成的復合莫爾晶格的能帶特征。選擇兩種實驗中常用的介質材料：GaAs 和SiO2，兩個子晶格重合點選用了GaAs 介質柱，采用平面波展開法對莫爾晶格的禁帶特征進行計算，結果如圖6（a）所示。

圖6 Lieb 復合莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結構圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數變化的曲線）Fig.6 Bandgap characteristic diagram and band structure of Lieb composite Moire lattice（the illustrations shows the curve of the main bandgap width changing with the filling factor）

由圖6（a）可知，Lieb 復合莫爾晶格的禁帶寬度隨著填充系數的增大而增大。因為隨著介質柱半徑的增加，復合晶格結構出現了重疊的情況，因此在圖6（a）中，最大的填充系數為0.205。圖6（b）給出了近極限情況下Lieb 復合莫爾晶格的能帶結構圖，晶格的主禁帶寬度為0.265，禁帶中心為1.274。通過對比Lieb 莫爾晶格（GaAs）和Lieb 復合莫爾晶格（GaAs+SiO2）的禁帶特征，證明了材料介電特性差異也能對莫爾結構的禁帶進行調控。對比材料單選GaAs 的Lieb 莫爾晶格，Lieb 復合莫爾晶格的主禁帶寬度得到了提升。禁帶增寬的原因主要是兩種介質引起的晶格結構對稱性降低，減小結構的對稱性是提高光子晶體禁帶的有效手段［25-26］。

Lieb 復合莫爾晶格的兩個子晶格介質柱的半徑也可以作為一個調控參數，設定兩個子晶格的介質柱半徑關系為r2=0.5r1，此時對應的填充系數為f3=(15r21+12r22)π/α22。兩個子晶格重合點仍選用了GaAs 介質柱。計算得到的不同半徑條件下，晶格能帶特征如圖7（a）和（b）所示。在不同半徑的Lieb 莫爾晶格（GaAs）中，當填充系數為0.137 時，主禁帶最大；在不同半徑的Lieb 復合莫爾晶格（GaAs+SiO2）中，當填充系數為0.170 時，主禁帶最大。最寬禁帶條件下的能帶結構如圖7（c）和（d）所示。在r2=0.5r1的Lieb 莫爾晶格中，主禁帶寬度為0.167，禁帶中心為1.265。在r2=0.5r1的復合莫爾晶格中，主禁帶寬度為0.326，禁帶中心為1.246。Lieb 復合莫爾晶格的主禁帶寬度得到了進一步的提升，這仍可以歸因于子晶格介質柱半徑的變化所帶來整體晶格對稱性的降低。因此，通過改變介質柱A 和B 半徑的相對大小，禁帶寬度可以得到進一步提高。

圖7 r2=0.5r1時Lieb 莫爾晶格和Lieb 復合莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結構圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數變化的曲線）Fig.7 Bandgap characteristic diagrams and band structures with r2=0.5r1 of Lieb Moire lattice and Lieb composite Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

4 結論

本文通過兩個Lieb 子晶格的可公度旋轉，構造了Lieb 莫爾光子晶格，通過數值計算研究了該晶格結構的光子禁帶特征與結構參數、材料特性之間的關系。計算結果表明在相同填充因子條件下，Lieb 莫爾晶格中禁帶頻率區間的寬度相比于子晶格有顯著的增加。在r1=0.038 0α的Lieb 莫爾晶格中，得到了平整度最高的平帶。在Lieb 復合莫爾晶格中，得到了最寬的帶隙0.326。通過莫爾配置，在原有晶格基礎上實現了更平的平帶和更寬的禁帶結構，可為集成光子器件性能的優化提供新的平臺。此外，莫爾結構引入了更多的結構參數和材料參數自由度，通過改變結構和材料參數，能夠實現較大范圍的光子禁帶調控、豐富光子晶格結構的功能、擴展光子晶體的應用范圍。