Nyquist 穩定判據的分析與應用

鄭恩讓 陳 蓓 張 玲

(陜西科技大學 電氣與控制工程學院， 西安 710021)

“自動控制原理”是自動化、電氣工程及其機器人工程等專業的重要的基礎課，是“運動控制系統”“過程控制”等系統分析與設計的基礎理論課。在“自動控制原理”課程中，穩定性分析是最重要的內容之一。在時滯過程、網絡信息處理中，系統不可避免會存在信號、信息的傳輸延遲。若系統中含有純滯后環節，采用勞斯判據就不能方便的對系統進行穩定性分析。尤其是當開環系統傳遞函數為

(1)

(2)

其中當n≥m，K>0，Ti>0，τj>0,d為實常數時，系統穩定性不容易判定。而學生若對Nyquist

穩定判據能夠理解充分，則求解此類問題就會迎刃而解。

1 問題與分析

問題提出：已知某負反饋控制系統的開環傳遞函數為

其中n≥m，K>0，Ti>0，τj>0，判定閉環系統的穩定性。

在課程未講授Nyquist 穩定判據判之前，對這類系統判定閉環系統穩定性并不容易[1]。這是因為系統的閉環特征方程中含有e-θs這一因子，使閉環特征方程變為超越方程，求根或用勞斯判據都不

容易。

Nyquist 穩定判據：反饋控制系統穩定的充分必要條件是半閉合曲線不穿過(-1,j0)點,且逆時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數N等于開環傳遞函數的正實部極點數P。

采用開環幅相頻率特性對(-1,j0)點的包圍周數，即可判定閉環系統的穩定性，因為閉環系統穩定時，其在右半S平面的閉環極點數為零，即式N=P-Z中Z=0。實際中，只需繪制ω=0→∞時的開環幅相頻率特性曲線即可。而ω=-∞→∞時，開環幅相頻率特性曲線繞(-1,j0)點順時鐘轉過的周數，等于ω=0→∞時開環幅相頻率特性曲線繞(-1,j0)點順時鐘轉過的周數乘以2。

當系統開環傳遞函數含有純滯后環節時，系統的幅頻特性不變，相頻特性產生滯后[2]，因此，繪制出含有純滯后環節的開環系統幅相頻率特性，即可采用Nyquist穩定判據判定閉環系統的穩定性。

通過以上分析，可以通過繪制開環系統的幅相頻率特性，利用Nyquist穩定判據判定開環系統含有純滯后環節、平移和純滯后環節時閉環系統的穩定性。

2 Nyquist穩定判據的應用

例1：某單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

(3)

試分別確定d=-0.5,0,1時，使閉環系統穩定的K的取值范圍。

解答：本題考查對奈奎斯特判據的推導和理解。

由于系統含有純滯后環節，因此，要采用奈奎斯特判據。

系統的閉環特征方程為：

(4)

整理得：

(5)

與前面分析的Nyquist判據比較可得，只要等效的開環頻率特性包圍(-(1+d),j0)，則閉環系統一定不穩定。

等效開環傳遞函數為：

(6)

其相頻特性為:

令

解之得，ω=0.54 rad/s。

等效開環幅頻特性為:

(7)

欲使閉環系統穩定，則要

(8)

當d=-0.5時，解之得，0

當d=0時，解之得，0

當d=1時，解之得，0

例2：定性說明純滯后特性對系統性能的影響。

解答：設系統的開環傳遞函數為

(9)

(10)

n≥m，K>0，Ti>0，τj>0

則有，系統的開環相頻特性為

(11)

系統的開環幅頻特性為

(12)

由系統的開環幅頻、開環相頻特性可知，純滯后環節不影響系統的幅頻特性，而只影響系統的相頻特性。因此，純滯后環節的存在，會使系統的相角裕度減小，故閉環系的穩定性、過渡過程特性會變差。

3 結語

在我校自動化專業17級教改班“自動控制原理”課程中通過講授Nyquist穩定判據，并對其進行推導和證明，緊接著對本文提出的開環系統含有純滯后環節、含有位移和純滯后環節的閉環系統穩定性進行判定，學生易于理解和掌握。尤其是通過引入F(s)=(1+d)+G(s)H(s)，學生立即明白了通過繪制等效開環系統的Nyquist曲線，研究曲線對(-(1+d),j0)的環繞情況就可判定開環含有純滯后環節、含有平移和純滯后環節時閉環系統的穩定性。通過教師對Nyquist判據的講授與分析，結合實際示例，使學生對判據的理解更加深刻，學習效果明顯提高，期末考試該知識點成績較16級非教改班平均提高4.2分。