基于Markov過程的衛星星座備份策略研究

駱天溯，趙靈峰，馮蘊雯，薛小鋒，路成

（1.西北工業大學 航空學院，西安 710072）

（2.中科院微小衛星創新研究院通信衛星總體研究所，上海 201203）

0 引 言

備份衛星是星座正常運行的關鍵保障，對于維持星座性能有著十分重要的作用。若衛星星座中有衛星發生故障且未能及時更換，可能致使整個衛星星座癱瘓進而降低星座可用度。因此，有必要對低軌衛星星座備份策略進行研究，以保障星座中有衛星發生故障時能夠獲得及時更換，在保證星座可用度的前提下降低備份費用。

近年來，為了解決星座備份衛星數量優化問題，避免備份衛星過多造成備份成本過高和備份數量過少導致無法滿足星座可用度指標的問題，國內外對星座備份策略進行了研究并取得了一定的成果。Wang Qinghua等研究表明，對于BDS系統增加MEO衛星的備份數量可大幅提高星座系統魯棒性；T.J.Lang等、J.L.Palmade等對各國的導航衛星星座備份策略進行了研究和建模；A.V.Sedelnikov等提出了一種可以讓備份衛星在空間備份時保持軌道高度和正確姿態的方法。但上述研究未考慮不同數量的備份衛星對星座可用度造成的影響。

J.F.Ereau等提出了基于Petri網的星座備份模型；C.Kelley等使用Markov模型來評估衛星系統的生命周期成本，提出了綜合考慮采購、補給和運營成本因素下的星座備份模型；B.R.Sumter通過有限空間Markov決策過程建立了一個衛星備份模型。上述研究在建立星座可用度計算模型時沒有考慮隨著時間的推移星座的持續運行導致性能的下降。

M.Dishon等提出了基于（，）庫存模型的衛星備份策略；P.Jakob等提出了一種基于（，）庫存模型的同時考慮三種備份模式的兩級可用度模型；趙立都等基于星座系統可靠度和備份衛星的可用性，分析了對備份衛星的軌道高度和軌道傾角的要求；胡敏等進行了基于Petri網的Walker導航星座備份策略研究，給出了在軌和地面同時備份情況下的星座可用度計算模型；王爾申等提出了基于Markov過程的GNSS星座備份策略，并評估了不同數量的備份衛星對星座可用度的影響；侯洪濤對GNSS系統進行了多層可用性分析并計算了考慮備份衛星時的星座可用性。上述研究沒有考慮星座實際運行中的降級運行情況，使得星座可用性計算結果與工程實際存在差異。

為了解決以上問題，本文提出一種基于Markov過程的低軌星座備份策略，考慮星座中的故障衛星不能及時更換時降級運行，計算星座在使用不同備份策略下的可用度，并以某真實低軌星座為例，結合其在軌運行數據提出最優的備份策略。

1 問題描述與假設

星座可用性的概念具有很強的領域性和時代特點，根據具體的工程應用場景，本文中星座可用性的定義為星座提供額定服務時間所占的百分比。星座備份策略主要包括在軌備份、停泊軌道備份以及地面備份模式，其中，在軌備份的衛星與工作衛星處于同一軌道面上，備份衛星僅需通過簡單的相位變換即可替換故障衛星；停泊軌道備份衛星處于比星座軌道更低的停泊軌道上，需通過軌道漂移以及變軌替換故障衛星；地面備份的衛星貯存在火箭發射基地或者衛星制造工廠中，通過按需發射替換故障衛星。對于衛星數量不多的星座而言，在軌備份模式替換時間短，星座可用度高，是一種最為常見的備份方式。各國均采用在軌備份方式對其全球導航星座進行備份，例如GPS、Galileo、GLONASS和北斗全球導航系統。本文在這一工程背景下開展基于Markov過程的低軌星座備份策略研究，該星座未采用備份衛星時的軌位如圖1所示。

圖1 無備份衛星的低軌星座布局示意圖（策略0）Fig.1 Constellation layout of a LEO constellation without spare satellites（Strategy 0）

該星座由7條軌道組成，每條軌道上有3顆基礎軌位衛星，由于在實際運行中沒有考慮衛星備份，該星座可用度只有0.63，遠低于指標要求，需要綜合考慮備份費用和可用性要求，提出最優的星座備份策略。

為了簡化建模過程，提高模型的工程適用性，對基于Markov過程的低軌星座備份模型合理地做出如下假設：

（1）假設衛星的壽命服從指數分布，即衛星全壽命周期故障率恒定。

（2）由于只考慮在軌備份模式，一旦基礎軌位衛星發生失效故障，該軌道上的備份衛星能夠立即替換該失效衛星，替換完成后認為星座的狀態沒有發生變化；如果失效的衛星沒有被及時替換，星座的狀態就會發生變化。

（3）衛星的任意一個部件失效都會導致整個衛星不能正常工作。

（4）所有基礎軌位衛星與所有備份衛星構造相同，單星可用性相同。

2 單星可用度模型及求解

單顆衛星的Markov狀態轉移過程如圖2所示。

圖2 衛星Markov狀態轉移關系圖Fig.2 Markov state transition process of a satellite

圖2中，0狀態表示衛星正常工作狀態；1狀態表示衛星故障狀態；為衛星失效率，表示單位時間內衛星發生故障的概率；為衛星維修率，表示單位時間內衛星由故障狀態轉移成正常運行狀態的概率。在失效衛星無備份衛星進行替換時，維修過程通過在軌服務方式實現；當有備份衛星進行替換時，維修過程通過備份衛星替換故障衛星實現。和的計算公式為

式中：為衛星的平均無故障間隔；為衛星的平均維修時間。

、與衛星運行時間、維修時間、失效次數有關，計算公式為

根據可用性理論，單星的穩態可用度計算模型為

3 星座可用度

3.1 星座可用度模型

綜上，共擁有條軌道的星座中第條軌道有T顆衛星正常工作的概率為

3.2 星座可用度模型求解方法

當初始時刻=時，基礎軌位衛星星座的故障狀態向量為

其中，

式中：A 為基礎軌位衛星的單星可用度。

同理可得初始時刻=時備份衛星星座的故障狀態向量為

其中，

式中：A 為備份衛星的單星可用度。

當為任意正整數，Δ為狀態轉移時間間隔時，=+Δ時刻基礎軌位衛星星座的故障狀態向量為

其中，

其中，

同理，在=+Δ時刻備份衛星星座構成的故障狀態向量為

4 案例分析

以構型參數Walker 21/7/1：600 km，55°星座為例，考慮星座降級運行情況，將星座等級定義（定義中的衛星包括基礎軌位衛星和備份衛星）如下：

（1）：星座中全部21顆衛星正常運行，即每條軌道上至少有3顆衛星正常工作，此時星座可用度為；

（2）：星座中至少有20顆衛星正常運行，此時星座可用度為；

（3）：7個軌道平面上均至少有2顆衛星正常運行，此時星座可用度為；

（4）：7個軌道平面上有一個軌道平面少于2顆衛星正常運行，此時認為星座不可用。

在不考慮備份衛星的情況下，該星座在運行過程中的運行時間和故障數據如表1～表2所示。星座使用方提出的運行要求為：星座運行等級要求為級，星座可用度不低于0.99。在此要求下求出使星座備份費用最低的星座備份策略。

表1 某低軌星座基礎軌位衛星運行時間表Table 1 Operating schedule of baseline satellites of a LEO constellation

表2 某低軌星座基礎軌位衛星故障數據表Table 2 Satellite failure data of baseline satellites of a LEO constellation

從表1～表2可以看出：衛星總運行時間為140 662 h，總故障時間為9 168 h，總故障次數為11次。

備份策略1中的星座由28顆衛星組成，其中01號～21號為21顆基礎軌位衛星；22號～28號為7顆備份衛星?；A軌位衛星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎軌位衛星；備份衛星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有1顆備份衛星。備份策略1示意圖如圖3所示。

圖3 星座備份策略1示意圖Fig.3 Constellation spare strategy 1

備份策略2中的星座由35顆衛星組成，其中01號～21號為21顆基礎軌位衛星；22號～35號為14顆備份衛星?；A軌位衛星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎軌位衛星；備份衛星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有2顆備份衛星。備份策略2示意圖如圖4所示。

圖4 星座備份策略2示意圖Fig.4 Constellation spare strategy 2

備份策略3中的星座由42顆衛星組成，其中01號～21號為21顆基礎軌位衛星；22號～42號為21顆備份衛星?；A軌位衛星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎軌位衛星；備份衛星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有3顆備份衛星。備份策略3示意圖如圖5所示。

圖5 星座備份策略3示意圖Fig.5 Constellation spare strategy 3

通過星座運行時間（如表1所示）和衛星失效數據（如表2所示），使用式（5）可以求出單星平均可用性為0.978 7，再根據式（8）可以求出不同備份策略下不同星座等級的星座可用度，當Δ取1 h時，算法在300Δ后趨于穩定，使用第3節提出的模型以及求解方法分別對不同星座等級、不同備份策略下的星座可用度進行仿真，仿真結果如表3所示。

表3 不同備份策略和不同星座等級下星座可用度仿真結果Table 3 Simulation results of constellation availability under different spare strategies and different constellation levels

不同備份策略及不同星座等級對星座可用度的影響如圖6所示。

圖6 不同星座等級和不同備份策略對星座可用度的影響Fig.6 Impact of different constellation levels and different spare srategies on constellation availability

從圖6可以看出：星座備份策略和星座等級對星座可用度都有很大的影響。備份衛星數量越多星座可用度越高，采用備份策略3時星座可用度幾乎為1，然而備份費用也是三種策略中最高的；星座性能要求越高星座可用度越低，當星座性能要求達到等級時星座可用度最低，星座性能達到等級時，備份策略0、備份策略1和備份策略2的星座可用度增加明顯；在星座性能為等級時，增加備份衛星數量會顯著增加星座可用度；在可用度≥0.99的要求下，備份策略0和備份策略1的可用度未達到指標要求，備份策略3的可用度大于指標要求但備份費用過高。綜合考慮可用度指標要求以及備份費用，備份策略2是最優選擇。

5 結 論

（1）在星座等級為級、可用度指標為0.99的要求下，備份策略2為最優備份策略，即在每個軌道面上備份兩顆衛星可以兼顧星座性能與經濟效益；若不考慮經濟效益則備份策略3可以達到最高的星座性能。

（2）對于備份策略0而言，星座等級從提升到帶來的星座可用度提升十分明顯；對于備份策略1、備份策略2和備份策略3而言，星座等級從提升到帶來的星座可用度提升更加明顯。