不同纖維長度的混雜鋼纖維混凝土本構模型

霍琳穎，畢繼紅，2，*，趙 云，王照耀

（1.天津大學建筑工程學院，天津 300350；2.天津大學濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072）

鋼纖維混凝土（SFRC）在工程中的應用越來越普遍，鋼纖維的加入能有效改善混凝土抗拉強度低、韌性差、易開裂等缺陷［1-2］.Park 等［3］發現，在單向受拉狀態下，SFRC 中的短鋼纖維主要在微裂紋時期發揮橋接作用，長鋼纖維更多在宏觀裂紋階段起到增強作用.Zhou 等［4］通過比較不同鋼纖維配比下混雜鋼纖維混凝土（HySFRC）的強度，發現長鋼纖維對殘余強度的貢獻明顯大于短鋼纖維.Chang等［5］通過四點彎曲試驗，探究了混雜鋼纖維對HySFRC 開裂后力學性能的影響.Turk 等［6］研究了混雜鋼纖維對HySFRC 力學性能的影響，發現長鋼纖維體積分數為80%時HySFRC 具有最優的抗彎性能.

許多學者基于熱動力學理論和SFRC 的試驗研究，為SFRC 建立了一系列本構模型.李杰等［7］考慮損傷和塑性的耦合效應，建立了損傷本構模型.池寅等［8］基于塑性損傷模型，建立了鋼纖維混凝土的塑性損傷本構模型.但目前為止，尚無針對HySFRC 建立的本構模型.本文基于經典的混凝土彌散開裂本構模型，將混雜鋼纖維應力作為附加應力，從而建立了混雜鋼纖維混凝土的本構模型.通過對混雜鋼纖維混凝土試驗數據的數值模擬，驗證了所建立本構模型的正確性.

1 基體中的混雜鋼纖維

短鋼纖維的自身體積較小，在相同鋼纖維體積分數的鋼纖維混凝土中，短鋼纖維在混凝土基體中的根數要明顯多于長鋼纖維.短鋼纖維由于根數多的優勢，對混凝土開裂前期的微觀裂縫起到明顯增強作用.長鋼纖維基于長度優勢可持續為開裂后的混凝土提供增強作用，對混凝土殘余強度有明顯提高作用［9］.混雜鋼纖維的體積分數Vf由2 種長度的鋼纖維各自的體積分數構成，即：

式中：Vf-s、Vf-l分別為短、長鋼纖維的體積分數.

混雜鋼纖維混凝土中，長鋼纖維長度和直徑分別為Lf-l、df-l；短鋼纖維長度和直徑分別為Lf-s、df-s.為了便于理論推導計算混雜鋼纖維的增強作用和建立本構模型，假設基體中長鋼纖維長度為短鋼纖維長度的2 倍.另外，假設在混雜鋼纖維混凝土澆筑過程中，通過充分地攪拌振搗，鋼纖維在混凝土基體中取向三維隨機、分布完全均勻［10］.且混凝土基體中摻入不同長度鋼纖維不影響鋼纖維取向的三維隨機性［10-11］.混雜鋼纖維在混凝土基體中的取向系數如式（2）所示.

式中：ηθ為混雜鋼纖維在混凝土基體中的取向系數；θ為鋼纖維與開裂面法線方向的夾角；p(θ)為鋼纖維在基體中的概率分布密度函數.

利用混雜鋼纖維取向系數，計算出長、短鋼纖維在開裂面法線方向的投影值，即長、短鋼纖維的有效長度lf-l、lf-s：

2 混雜鋼纖維的有效根數及埋深長度

混凝土開裂后，開裂面上的鋼纖維兩側同時受力，埋深較短一側因抗拉拔力更小而首先被拔出.較短一側的埋深被定義為鋼纖維有效埋深長度.圖1 給出了混凝土單元中短鋼纖維的分布.由圖1 可見，短鋼纖維的埋深長度在0～0.5lf-s之間平均分布，短鋼纖維的有效埋深長度le-s按式（5）計算.

圖1 混凝土單元中短鋼纖維的分布Fig.1 Distribution of short steel fibers

為了計算2 種長度鋼纖維的橋接作用，假設有限元模型單元的特征長度Lc等于短鋼纖維有效埋深長度le-s.如圖1 所示，短鋼纖維一定會穿過混凝土開裂面，且僅穿過1 個開裂面.因此，混凝土開裂面上短鋼纖維的有效根數Nf-s按式（6）計算.

式中：Ac、Af-s分別為混凝土單元和短鋼纖維的橫截面面積.

圖2 給出了混凝土單元中長鋼纖維的分布.由圖2 可見，長鋼纖維在混凝土基體中均勻分布，假設長鋼纖維會同時穿過有限元模型中2 個開裂面.長鋼纖維的最小埋深長度為0，最大埋深長度為0.5lf-l，長鋼纖維的有效埋深長度le-l按式（7）計算；長鋼纖維的有效根數Nf-l按式（8）計算.

式中：Af-l為長鋼纖維的橫截面面積.

3 混雜鋼纖維的增強作用

混雜鋼纖維在混凝土開裂面上的橋接作用相互獨立，利用混凝土開裂面上單根鋼纖維軸向應力乘以鋼纖維根數，來分別計算2 種鋼纖維的增強作用，如式（9）、（10）所示.

式中：σmf-s、σmf-l分別為開裂面上短、長鋼纖維的增強應力；σf-s、σf-l分別為單根短、長鋼纖維的軸向應力.

3.1 單根鋼纖維的增強作用

采用黏結-滑移模型來模擬開裂面上單根鋼纖維的橋接作用，計算纖維黏結應力與滑移位移間的關系，其包含纖維部分脫黏階段（裂縫寬度w不大于鋼纖維臨界滑移量smax）和完全脫黏階段（w＞smax）2部分［12-14］，如式（11）中所示.

式中：τf為鋼纖維與混凝土基體之間的剪切應力；s為鋼纖維滑移量；μ、σN分別為鋼纖維與混凝土之間的摩擦系數和握裹應力，基于蘇慶田等［15］和Tai 等［16］的試驗研究，近似取值為μ=0.6，σN=12.8 MPa；τmax為鋼纖維拔出過程中的黏結強度.

由Sezen 等［17］進行的鋼纖維拔出試驗，τmax近似為基體抗拉強度ffc-tu的2 倍.

對混凝土基體中的鋼纖維取為隔離體進行受力分析，如式（13）所示.

式中：σf為鋼纖維的軸向應力；df、le分別為鋼纖維的直徑和有效埋深長度.

將式（11）、（12）代入式（13）中，建立纖維部分脫黏階段鋼纖維軸向應力σf的計算式.

式中：Ef為鋼纖維的彈性模量.

對于鋼纖維完全脫黏后的滑移階段，鋼纖維與混凝土基體之間的摩擦作用提供剪應力，用鋼纖維接觸長度ld代替鋼纖維有效埋深長度le，忽略鋼纖維在拔出過程中鋼纖維和混凝土的受拉變形，ld按式（15）計算.

建立鋼纖維完全脫黏階段（w＞smax）的鋼纖維軸向應力計算式如下.

圖3 給出了混凝土開裂后混雜鋼纖維剪切應力隨裂縫寬度的變化，其中smax-l、smax-s分別為長、短鋼纖維的臨界滑移量.由圖3 可見：2 種鋼纖維在拔出過程中具有相同的黏結強度；短鋼纖維由于具有更短的埋深長度，因而更早到達最大黏結應力.

圖3 混雜鋼纖維剪切應力隨裂縫寬度的變化Fig.3 Variation of shear stress of hybrid fibers with crack width

3.2 開裂面上混雜鋼纖維的增強作用

基于混雜鋼纖維與混凝土基體間的黏結狀態，將混雜鋼纖維增強作用分為3 個階段.

第1 階段，長、短鋼纖維均處于部分拔出階段，即w≤smax-s，混雜鋼纖維增強作用隨著裂縫擴展而增強.將式（14）代入式（9）、（10），分別計算開裂面上短、長鋼纖維增強應力.

式中：σmf-s、σmf-l分別為HySFRC 中混凝土開裂后短、長鋼纖維應力.

第2 階段，長鋼纖維仍處于部分脫黏階段，短鋼纖維完全脫黏、在混凝土孔中整體滑動，即smax-s＜w＜smax-l.將式（14）分別代入式（9）、（10），得到開裂面上短、長鋼纖維增強應力.

第3 階段，長、短鋼纖維均完全脫黏、在混凝土孔中滑動，smax-l＜w.將式（14）代入式（9）、（10），可以得到第3 階段開裂面上短、長鋼纖維的增強應力.

4 混雜鋼纖維混凝土的本構模型

混雜鋼纖維混凝土HySFRC 在單向受拉狀態下的增強應力σfc分別由混凝土基體，短、長鋼纖維增強應力組成，如式（23）所示.

式中：σc為混凝土基體的增強應力.

將式（17）、（18）代入式（23）中，得到HySFRC 軸向應力與裂縫寬度的關系，基于混雜鋼纖維增強作用的3 個階段，在混凝土經典彌散開裂本構模型的基礎上，得出了HySFRC 的本構模型.

第1 階段，HySFRC 的本構模型如下：

第2 階段，HySFRC 的本構模型如下：

第3 階段，HySFRC 的本構模型如下：

5 本構模型的試驗驗證及分析

基于Kim 等［18］進行的HySFRC 四點彎曲試驗，采用本文所建立的HySFRC 本構模型，在有限元軟件Abaqus 中建立相應的有限元模型.試件尺寸為100 mm×100 mm×400 mm，為了消除支座與試件之間應力集中現象的影響，在模型中為鋼纖維混凝土試件與支撐、加載板之間分別建立接觸，實現試件與支撐、加載板之間的滑動，如圖4所示，并在表1 中分別給出混雜鋼纖維混凝土試件中長、短鋼纖維和混凝土基體的尺寸及力學性能.

表1 鋼纖維和混凝土基體的尺寸及力學性能Table 1 Dimensions and mechanical properties of steel fibers and concrete

圖4 四點彎曲試件的尺寸和有限元模型Fig.4 Finite element model of 4-point bending specimen

圖5 給出了混雜鋼纖維混凝土試件四點彎曲試驗的荷載-位移曲線.由圖5 可見，混雜鋼纖維混凝土試件的數值模擬結果與試驗數據整體吻合良好.說明有限元模型有效地預測了混雜鋼纖維混凝土試件開裂后的力學響應，試件在開裂后仍表現出良好的承載能力.

圖5 混雜鋼纖維混凝土試件四點彎曲試驗的荷載-位移曲線Fig.5 Load-displacement curve of HySFRC specimen in four-point bending test

圖6 顯示了四點彎曲試驗峰值荷載時刻混雜鋼纖維混凝土試件的軸向應力分布.為了清晰顯示四點彎曲試驗中混雜鋼纖維混凝土試件的變形，將有限元模型的變形放大系數均設為20 倍.由圖6 可知，混雜鋼纖維混凝土試件的壓應力始終小于抗壓強度，說明受壓狀態下的混雜鋼纖維混凝土處于彈性階段.

圖6 四點彎曲試驗峰值荷載時刻混雜鋼纖維混凝土試件的軸向應力分布Fig.6 Distribution of axial stress of HySFRC specimen at the peak load in four-point bending test

在混雜鋼纖維混凝土試件初次開裂時刻，在純彎段底部軸向應力達到開裂強度，同時試件其他部分拉應力較小.隨著裂縫擴展，混雜鋼纖維混凝土試件拉應力最大值的位置從底層開始向上移動，中性軸明顯上移.當載荷達到峰值時，純彎段大部分處于受拉開裂狀態.在初裂時刻，試件塑性變形僅發生在彎曲段的底部.當達到峰值載荷時，試件純彎部分幾乎都出現了明顯的塑性變形.

6 結論

（1）在混凝土開裂后，混雜鋼纖維的橋接作用被激活，利用黏結-滑移模型計算混雜鋼纖維對混凝土的增強作用，建立了混雜鋼纖維應力與裂縫寬度的關系.由于短鋼纖維具有更短的埋深長度，其剪切應力比長鋼纖維更早到達黏結強度.考慮混雜鋼纖維與混凝土基體之間的脫黏狀態，將混雜鋼纖維對混凝土的增強作用分為3 個階段.

（2）對應鋼纖維增強作用的3 個階段，分別建立了混凝土開裂面上混雜鋼纖維增強應力與裂縫寬度的關系.基于普通混凝土經典彌散開裂本構模型，考慮開裂面上混雜鋼纖維的橋接作用，建立了適用于混雜鋼纖維混凝土的本構模型.

（3）將所建混雜鋼纖維混凝土本構模型引入有限元軟件Abaqus 中，建立混雜鋼纖維混凝土四點彎曲試驗有限元模型，并進行數值模擬分析.通過比較數值模擬結果與試驗數據，充分驗證了所提出本構模型的正確性.