基于改進型PEM和L指標的含風電場電力系統靜態電壓穩定評估

吳亞寧，羅毅，雷成，黃豫，梁宇，周生存，聶金峰

(1. 強電磁工程與新技術國家重點實驗室(華中科技大學 電氣與電子工程學院)，湖北 武漢 430074；2. 南方電網能源發展研究院有限責任公司，廣東 廣州 510530)

0 引言

為加速推進實現碳達峰、碳中和的戰略目標，大力發展新能源是必由之路。風電作為新能源發電的主力軍發展迅速，截至2021年底[1]，中國風電新增裝機容量48 GW，累計裝機已達328 GW，約占總裝機容量的13.8%，風電已逐漸成為推動中國能源轉型、促進可持續發展的重要力量[2]。但是，風電的隨機性和間歇性給電力系統安全穩定帶來嚴峻挑戰，電壓穩定問題日益凸顯，近年來，國內外已發生多起因電壓崩潰引發的大面積停電事故[3]。因此，深入開展含風電場電力系統電壓穩定性方面的研究對于保證電網安全穩定運行具有重要意義。

電壓穩定問題作為電力系統穩定性研究的重要組成部分一直備受關注。目前關于電壓穩定的研究在理論上已取得一定的進展，并形成了較為完善的評估指標體系，主要有電壓靈敏度指標、潮流雅克比矩陣指標、崩潰點指標、負荷裕度、局部電壓穩定指標(L指標)等[4-8]。其中L指標憑借物理意義清晰、計算速度快、不涉及崩潰點處雅克比矩陣病態化難于求逆等優點，在電壓穩定分析中獲得了廣泛應用。文獻[9]利用L指標識別系統電壓穩定薄弱節點進而完成在線電壓穩定局部的監控；文獻[10-11]分別將L指標與動態經濟壓差法和復雜網絡理論相結合以識別系統的電壓薄弱節點，指導系統無功分區優化調節；文獻[12]基于L指標推導了負荷節點電壓穩定裕度；文獻[13]給出了簡化L指標的全微分方程，從而分析系統參數變化對電壓穩定的影響。

風電大規模并網后使得系統電壓穩定評估過程中的不確定性增加，須研究相應的概率化分析方法[14]。文獻[15-16]采用Monte Carlo法模擬抽樣，雖然能較為真實地反映系統狀態，但反復抽樣計算消耗的大量時間成本限制了其應用范圍；文獻[17]詳細推導了L指標對節點注入功率的靈敏度，進而利用解析法完成快速評估，但是當風電功率波動較大時，線性化靈敏度矩陣產生的誤差不容小覷；文獻[18]基于可信性模糊理論模擬風速變化，提出了可信性意義下的靜態電壓穩定指標，但是其隸屬度函數的選取較為繁瑣，實用性仍有待驗證；文獻[19]利用隨機響應面法將風電概率問題轉化為確定性的非線性規劃問題來實現電壓穩定的概率評估，但涉及復雜的數學推導和計算，實際運用效果欠佳。相比于上述方法，點估計法(point estimate method，PEM)則是處理不確定因素的有效工具[20-21]，通過少量的計算成本便可獲得較高的計算精度，因而被廣泛用于含不確定性的電力系統分析計算中[22-28]?，F有PEM中應用最多的是兩點估計和三點估計法，其中后者更具優勢，但是在處理含風速等典型非正態分布的多隨機變量時存在一定偏差，將其用于含風電場電力系統電壓穩定分析時，如何減小評估誤差是個迫切需要解決的問題。另外，風電并網給電力系統靜態電壓穩定帶來的影響具有不確定性，如何實現其量化分析對于指導電力系統規劃運行具有重要意義，目前尚缺乏相關的評價指標，因而難以實現并網風電場對電力系統靜態電壓穩定影響的量化評估。

綜上，本文提出一種基于改進型PEM和局部電壓穩定L指標的含風電場電力系統靜態電壓穩定評估方法。首先，基于傳統2n+1法提出一種改進型PEM來計算L指標各階矩和半不變量，并結合Cornish-Fisher級數展開獲得其概率分布；然后，結合效用函數理論定義并計算各節點電壓失穩風險度從而完成系統靜態電壓穩定評估；最后，引入風電并網電壓穩定因子分析風電并網對系統靜態電壓穩定的影響。通過算例驗證本文所提方法的有效性。

1 處理不確定性因素的PEM

1.1 點估計理論

理論上取的點位置越多，點估計的精度越高，但隨著m的增大，變量和方程的數量增加需引入泰勒級數中更高階項，此時會引入多元函數泰勒級數高階項中的交叉項和變量的更高階中心矩，使方程類型更為復雜，可能會使得位置與權重系數出現無意義的非實數解，同時計算效率也會降低，因此m一般不超過3。

1.2 基于2n+1方案的改進型PEM

1.2.1 傳統PEM

當m=2時稱為兩點估計法即2n方案，各估計點的位置和權重系數[23]為

2n方案僅在每個隨機變量處取2點計算效率較高，但隨著變量維數n的增加，由式（6）可知估計點位置可能會偏離定義域。

當m=3時稱為三點估計法，即在每個變量處取3個估計點，但若控制每個變量均在其均值處取點，則存在n個位置相同的估計點，故又稱2n+1方案，相應的各估計點的位置和權重系數[23]為

由式（7）可知，相比于兩點估計，2n+1方案的位置系數不受變量規模影響，且同時用到了隨機變量的偏度和峰度信息，而僅須增加一次計算量，因此相比2n方案具有更高的精度和計算效率。

1.2.2 改進型PEM

2n+1方案中位置系數用到了變量峰度信息，峰度越大說明變量存在極端值，相應的位置系數絕對值增大以考慮變量分布的尾部效應。但是在處理多隨機變量時，當n≥3后均值處點的權重會顯著減小，甚至出現負值，與其物理意義不符，這可能會降低點估計的精度。因此，當n≥3時可在原有的2n+1方案的基礎上增加一組均值附近估計點，相應的位置系數和權重為

結合式（7）（8）計算待求變量Y的各階原點矩的統計信息為

式中：p1、p2為待求變量各階原點矩的結果權重系數。

由式（8）（9）可知，改進型PEM在處理多變量時，增加的估計點位置不僅靠近均值處，且所得結果占有一定的權重，從而有效提取了變量均值附近處的信息，彌補了2n+1法在處理多隨機變量時存在均值處權重負效應的缺陷。特別地當n=2時，p1=1，p2=0，此時改進型PEM即為2n+1方案，這是考慮到2n+1法在處理雙隨機變量時一般不存在均值處權重為負的情形，已具有較高精度。此外，由式（10）可知，p1和p2分別具有一定的下限和上限，這是為了保留2n+1法具有可根據變量峰度來有效提取變量尾部信息的優點，避免均值附近信息的過度彌補導致尾部信息丟失。

究其本質，所提的改進型PEM試圖通過增加估計點的數量來提升估計精度，雖然需額外增加計算量，但由于增加的估計點無須進行位置系數和權重系數的復雜計算，不涉及輸入變量的更高階矩，也不存在估計點位置溢出變量定義域的弊端，因此實際運用起來簡便可行。

1.3 半不變量與Cornish-Fisher級數

半不變量[22]作為隨機變量的一種數字特征卻很難直接計算，需要涉及隨機變量的特征函數和矩母函數。而實際運用中若已知隨機變量的有限階原點矩，則可以利用半不變量與原點矩的對應關系計算出隨機變量的有限階半不變量[23]，即

2 局部電壓穩定L指標

若系統電壓穩定，則對應L＜1；若系統電壓失穩，則對應L＞1；L=1對應系統臨界穩定。L指標與PV曲線的變化關系趨勢[12]如圖1所示。

圖1 L指標與PV曲線關系變化趨勢Fig. 1 Change trend of relationship betweenLindex and PV curve

3 含風電場電力系統靜態電壓穩定評估

3.1 風電與負荷功率的不確定性模型

3.1.1 風電場出力模型

3.1.2 負荷模型

3.2 風險偏好型評估指標

效用函數理論[29]源于經濟學領域，它反映投資者對風險的持有態度，主要分為3類：偏好型、中立型和厭惡型。本文采取風險偏好型，此類函數邊際效用遞增，從而可定義各節點L指標嚴重度函數Si(Li)為

式中：Lc為L指標的警戒值；hi(Li)為i節點L指標越警限量；Li為i節點L指標。

該定義下的嚴重度函數如圖2所示。

圖2 嚴重度函數S(L)曲線Fig. 2 Severity functionS(L) curve

進一步可定義系統靜態電壓失穩風險度Rs為

以Ri為指標，可以完成對各節點的靜態電壓穩定評估，有效辨識系統中存在電壓失穩潛在風險的薄弱節點，以便于采取一定的控制措施；以Rs為指標，可以分析風電對系統的靜態電壓穩定的影響，為電力系統規劃運行等提供參考。

3.3 風電并網影響分析指標

為進一步分析風電對系統靜態電壓穩定的影響，本文基于風電容量可信度[30-31]的計算方法定義風電并網電壓穩定因子(簡稱穩定因子)。風電容量可信度的計算分析過程可理解為：根據所選取的系統某一參考指標，將出力隨機波動的風電等效為確定的常規機組來簡化風電對系統該指標水平的影響研究。因此從這個思路出發，若選取3.2節中系統靜態電壓失穩風險度Rs作為參考指標，則可以定義一種風電并網電壓穩定因子λ來簡化風電場對系統靜態電壓穩定的影響分析，λ的計算公式為

式中：PWG為風電場裝機容量；PG為維持系統相同靜態電壓失穩風險度水平下的常規機組替換容量，特別地若PG為負值時，則PG等價于負荷。

一般來說，在負荷節點附近增加常規機組(或負荷)對于系統靜態電壓穩定性是有提升(或降低)作用的，因此λ的大小可直觀反映風電對系統靜態電壓穩定的影響程度。若λ＞0，意味著風電并入后對系統靜態電壓穩定性有提升效果，反之λ＜0則是降低效果，且絕對值越大效果越明顯。

3.4 評估流程

本文提出的基于改進型PEM和L指標的含風電場電力系統靜態電壓穩定評估方法，將復雜的不確定性問題轉化為確定性計算，基本步驟如下。

（1）統計風電場風速歷史數據，擬合風速概率分布，結合風機參數確定風電場出力的概率模型，同時確定系統負荷的典型概率模型；

（2）計算風電場出力與系統負荷的均值、標準差、偏度和峰度等統計量，利用改進型PEM由式（7）～（10）確定各估計點的位置和權重大??；

（3）針對每個估計點進行確定性潮流計算，根據式（18）（19）計算獲得L指標的各階矩信息，由式（11）（12）計算L指標的各階半不變量，并采用Cornish-Fisher級數展開求得各節點L指標的概率密度與分布函數；

（4）結合風險偏好型效用函數由式（25）～（28）計算各節點靜態電壓失穩風險度，完成含風電場電力系統靜態電壓穩定的快速評估，有效識別系統中存在的電壓薄弱節點；

（5）基于系統靜態電壓失穩風險度，由式（29）計算風電并網電壓穩定因子，進一步分析風電并網對系統靜態電壓穩定的影響。

4 算例分析

4.1 算例簡介

分別以改進的IEEE-14和39節點系統進行算例分析。（1）將IEEE-14節點標準系統中節點6改為PQ節點，同時分別在節點4和6安裝額定容量為120 MW和100 MW的風電場，為便于模擬靜態電壓失穩風險，將其負荷在原有基礎上等功率因數增長0.4倍，且服從方差為的正態分布即；（2）在IEEE-39節點標準系統中的節點4和16處分別安裝額定容量為600 MW和500 MW的風電場，負荷服從方差為的正態分布。假設上述風電場均配備充足的無功補償裝置使其并網功率因數為1，風速概率模型采用兩參數Weibull分布，具體相關參數如表1所示，功率基準值均取為100 MV·A，其余參數不變。

表1 風電場相關參數Table 1 Wind farm related parameters

4.2 L指標的概率分布計算

采用改進型PEM計算節點L指標的概率分布，其中Cornish-Fisher級數取前5項和。圖3給出了IEEE-14節點系統中負荷節點的L指標累積分布函數的計算結果?？梢钥闯?，與系統平衡/PV節點電氣距離較近的節點4和5的L指標水平偏低，靜態電壓穩定水平較高；而電氣距離較遠的節點13和14的L指標水平偏高，靜態電壓穩定水平較低。這與文獻[10]的研究結果基本一致，初步說明了所提方法的合理性。

圖3 IEEE-14節點系統中L指標概率分布函數Fig. 3 Probability distribution function of Lindex in IEEE-14 node system

為進一步驗證所提方法有效性，采用傳統2n+1法進行計算，并以Monte Carlo抽樣10 000次的計算結果為參考。隨機選取14節點系統中的節點10和39節點系統中的節點18為例，其相應的L指標的概率密度和分布函數擬合結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 IEEE-14節點系統L指標計算結果Fig. 4 Calculation results of Lindex in IEEE-14 node system

圖5 IEEE-39節點系統L指標計算結果Fig. 5 Calculation results ofLindex in IEEE-39 node system

將圖4和圖5結果與Monte Carlo抽樣分布對比，不難發現改進型PEM的擬合效果更令人滿意。2n+1法擬合的密度函數集中度較低，改進型PEM通過增加估計點有效提取了均值附近處的信息，所得結果更符合Monte Carlo抽樣分布。

為衡量改進型PEM提升L指標估計精度的性能，定義各負荷節點L指標的均值與標準差的相對誤差指標 εi,μ和 εi,σ分別為

式中：μi,MCS、μi,PEM分別為Monte-Carlo法 和PEM法計算出的i節點L指標均值；σi,MCS、σi,PEM分別為Monte-Carlo法和PEM法計算出的i節點L指標標準差。

圖6給出了不同系統中負荷節點L指標的均值與標準差相對誤差，不難看出改進型PEM可以有效降低二者的擬合誤差，且對于標準差誤差的改善作用更為明顯。這與圖4和5結果一致，說明改進型PEM主要是提升了變量分布的集中程度，有效彌補了2n+1法在處理含非正態分布的多變量時由于尾部信息的過度提取導致均值附近信息丟失的不足，使得變量分布更接近于實際的Monte Carlo抽樣分布，從而驗證了所提方法的有效性。

圖6 L指標計算的相對誤差Fig. 6 Relative error ofLindex calculation

但需要注意的是，所提改進型PEM是在原有2n+1法基礎上加以改進的，為了保留2n+1法可根據變量峰度大小有效提取變量尾部信息的固有優點，增加的估計點的結果權重系數不應太大，否則可能會導致圖4和5中擬合的密度函數集中度過高從而導致尾部信息缺失，造成擬合精度不升反降的現象。由于本文所提方法設定了結果權重系數的上、下限，因此可以預計當n＞3時改進型PEM將會有類似的提升效果，限于篇幅本文不做詳細研究。

4.3 靜態電壓失穩風險評估

在上述改進的IEEE-14和39節點系統中分別設定L=0.3和0.2為警戒值，當L超過警戒值后，嚴重度函數隨之增大，由此利用3.2節中的電壓失穩風險度和4.2節L指標分布結果計算節點靜態電壓失穩風險度，結果如表2和3所示，按其大小進行排序，其中排序靠前的部分結果如表4所示。

表2 改進IEEE-14節點系統中負荷節點電壓失穩風險度Table 2 Risk of voltage instability of each load node in the improved IEEE-14 node system

表3 改進IEEE-39節點系統中負荷節點電壓失穩風險度Table 3 Risk of voltage instability of each load node in the improved IEEE-39 node system

表4 負荷節點靜態電壓失穩風險度排序結果Table 4 Ranking results of the risk of steady-state voltage instability of load nodes

由表4可知，在IEEE-14和39節點系統中，由改進型PEM計算得到的靜態電壓失穩風險度排序結果與Monte Carlo法均是一致的；2n+1法雖然能識別系統中電壓穩定風險度較為突出的部分節點，但具體排序結果與Monte Carlo法存在偏差。結合表2和3不難發現，2n+1法計算的風險度水平相比于Monte Carlo法普遍偏高，究其原因是其擬合L指標分布存在較大誤差。顯然，若L指標分布的擬合效果越優，電壓失穩風險度的計算結果和薄弱節點的識別也就越準確。

4.4 風電并網對系統靜態電壓穩定性的影響

本節以上述改進的IEEE-14節點系統為例，結合3.3節中所提穩定因子λ研究風電并網后對系統靜態電壓穩定的影響。

根據式（28）和4.2節分析結果，系統的靜態電壓失穩風險度可取為節點14，即Rs=R14。以風電場1為例，將其用常規機組(cosφ=0.9)替換后，計算不同容量替換下的系統靜態電壓失穩風險度，結果如圖7所示。

圖7 不同常規機組替換容量下的RsFig. 7Rsunder different conventional unit replacement capacity

在上述風電場以cosφ=1并網條件下，由圖7可知，當N=0時，系統靜態電壓失穩風險度高于風電并網后的水平，說明上述風電場1的并入對系統靜態電壓穩定性有一定的提升作用，這是由于此時風電作為純有功電源接入后改善了潮流分布；當N=1時，風險度低于風電并網后的水平，說明這種改善效果達不到等容量常規機組的貢獻水平，這主要是因為風速的隨機波動性使得風電場實際有功出力難以達到其裝機容量水平。由圖7知該定義下的穩定因子λ為0.244左右。

此外，考慮到系統電壓穩定通常與無功關系密切，上述研究中均認為并網功率因數為1，下面將改變風電場1的并網功率因數來計算其穩定因子變化情況。

圖8給出了不同并網功率因數下穩定因子λ的變化情況，可以看出隨著并網功率因數的減小，λ逐漸降低。當功率因數達到0.84左右時λ變為0，這意味著此時風電并網對系統靜態電壓穩定幾乎不產生影響，說明了此時風電作為有功電源對系統靜態電壓穩定性的提升效果與作為無功負荷對系統靜態電壓穩定性的降低作用相抵消。若并網功率因數繼續降低，則風電場向系統吸收的無功顯著增加，穩定因子λ將出現負值，說明此時風電的并入將對系統靜態電壓穩定產生不利影響。由此可推斷對于并網型風電場，存在某個臨界水平的cosφ，使得其并網后對系統靜態電壓穩定的影響為零，而本文研究算例中的風電場臨界cosφ即為0.84左右。

圖8 不同并網功率因數下的λFig. 8λunder different grid-connected power factors

從上述分析可以看出，風電的有功電源特性對系統靜態電壓穩定性的提升作用非常有限且隨著并網功率因數的降低這種作用被迅速抵消，而若能控制并網功率因數在相應的臨界水平以上就可保證其穩定因子λ≥0，即不會對系統靜態電壓穩定造成負面影響，這也就要求大規模并網型風電場須配備充足的無功補償裝置。

5 結論

本文提出了一種基于改進型PEM和L指標的含風電場電力系統靜態電壓穩定評估方法，主要完成工作和所得結論如下。

（1）提出了一種用于系統靜態電壓穩定評估的改進型PEM，與Monte Carlo法的結果對比驗證了該方法可以提升L指標分布的擬合精度；

（2）結合效用函數理論計算電壓失穩風險度，完成了含風電場電力系統靜態電壓穩定評估，準確有效地識別了系統中存在的電壓薄弱節點；

（3）引入風電并網電壓穩定因子，實現了風電并網對系統靜態電壓穩定影響的量化分析，簡潔直觀地說明了風電場配備充足無功補償裝置的必要性，可為電力系統規劃與運行提供一定的參考。

最后需要指出的是，本文研究中認為風電場配備了一定無功補償裝置，將風電場簡化為PQ節點來處理，而實際中并網風電場無功電壓有多種控制模式，不同控制模式可能會對本文計算結果產生一定影響，后續將圍繞此開展進一步研究。