鋼結構螺旋樓梯的有限元分析與優化設計

錢籽祺，沙麗榮，王秀麗

吉林建筑大學 土木工程學院,長春 130118

0 引言

鋼結構相比于混凝土結構,具有質量輕、強度高、延性好以及綠色環保等優點,而且加工制作的過程比較簡單,已經廣泛地應用于現代建筑結構和工程中,具有廣闊的發展前景.而鋼結構螺旋樓梯在工程上作為一種特殊的結構類型,因其能夠契合建筑室內功能要求和節省空間的特點而被廣泛應用到大型公共場館中[1-4].如今，隨著社會經濟的不斷發展和社會文明水平的提高,人們對居家環境和舒適度也提出了更高要求.一些高級住宅的室內也越來越多的采用鋼結構螺旋樓梯,而對于住宅內的螺旋樓梯研究較少.在高級公共建筑及工業建筑中鋼結構螺旋樓梯中板式已得到了廣泛的應用,但螺旋樓梯作為樓梯中特殊的結構,與其他類型的樓梯(例如單跑、雙跑和多跑樓梯)相比,所進行的研究分析和設計計算的相關研究尚且不多.因此,對螺旋樓梯進行有限元分析研究在理論和實際工程上具有關鍵的意義和價值.

1 ABAQUS概述

ABAQUS是當前先進且具備多種分析功能的有限元分析軟件,在工程和科研領域中被廣泛應用,它在實際工程中的模擬分析計算具有重要的作用.在結構分析中,可以進行結構的線性和非線性仿真分析和求解.用ABAQUS有限元分析方法能有效地解決復雜構件的應力、應變、位移等問題,并能精確地給出計算結果,其結果是可靠的.此外,在軟件的草圖視圖中,它不光可以采用類似CAD的方式來建模,也可以在其他三維模型軟件中先建立模型,再輸出SAT格式文件后導入至軟件中.該軟件還具有各種各樣的模塊管理功能,如模型組件管理、結構交互管理、負載管理等.對于實際工程中的不同工況,在建模和仿真的過程中提供了便利條件,可為實際施工提供理論參考.在交互功能下,針對實際工程中經常遇到的接觸問題,分別設立了連接和約束模塊.在實際工程中,可以準確地模擬不同結構間或不同部件之間所存在的多接觸問題.最后,軟件還集成了功能完善且領先的Tosca的優化軟件,Tosca在優化過程中對復雜模型具有快速高效的優化能力水平.基于以上優勢,ABAQUS有限元分析軟件被廣泛應用于工程領域以及高校等科研領域[5-7].鋼結構螺旋樓梯作為特殊的結構,其結構受力狀態較復雜,在荷載作用下,承受空間彎矩、扭矩、剪力和軸力的共同作用.因此,采用有限元方法對鋼結構螺旋樓梯進行結構計算分析,用有限元計算軟件ABAQUS分析結構在最不利工況下的應力和位移的設計計算結果來研究其受力特點，并且在不影響整體結構安全的情況下對樓梯踏步體積進行結構優化計算后，分析螺旋樓梯整體結構的應力和位移大小,其優化結果可為實際鋼結構旋轉樓梯的結構設計和施工提供參考依據.

2 工程概況

某住宅小區室內采用鋼結構螺旋樓梯,其平面簡圖如圖1所示.結構層高為4.2 m,樓梯共26階,踏步總寬為1.6 m,樓梯內徑為0.5 m,樓梯外徑為2.1 m.該鋼結構螺旋樓梯的材料選用Q235鋼,鋼結構螺旋樓梯的上下兩端均與支承梁固接,踏步板的截面尺寸為:300 mm×50 mm×10 mm,樓梯的主梁截面尺寸為:300 mm×100 mm×10 mm.

圖1 螺旋樓梯平面簡圖Fig.1 Spiral stair sketch

3 ABAQUS分析計算

3.1 選取模型單元

ABAQUS軟件具有實體單元、殼單元、線單元、點單元等多種多樣的單元類型,每種單元都有不同的應用條件和特點,因而對于不同的單元則需要根據所模擬的模型結構特點進行針對性地選用.針對螺旋形鋼結構樓梯的空間形態特點,考慮到其復雜性,采用以下單元形式:

螺旋樓梯的螺旋梯段部分由于扭曲問題而包含結構大變形的分析計算.因此對樓梯踏步和樓梯內外環梁部分采用精細網格進行劃分,網格尺寸定義為50 mm,對于樓梯結構的不同部分,將實體單元分別定義為十節點二次四面體單元和八節點六面體單元以及縮減積分的方法進行有限元模擬.對該樓梯進行有限元分析時不采用非線性計算,采用幾何線性求解.

3.2 螺旋樓梯上下兩端的支承

鋼結構螺旋樓梯上下兩端的不同支承常常會影響整體結構的內力,因此依照樓梯上下兩端的具體的支承方式的不同,分為固支、鉸支和半鉸支.當樓梯兩端的支承梁完全限制結構在x，y，z3個方向的位移和轉角時,稱此支承方式為固支;當支承梁不能完全限制住螺旋樓梯繞x，y，z軸3個方向的轉角時,稱此支承方式為鉸支;旋轉樓梯若繞其中兩個軸方向的轉動較大,此時這兩個方向不傳遞彎矩,而繞另一軸方向的轉動受到較大限制時,考慮該方向上的力矩,稱此支承方式為半鉸支[8].按照上述3種不同的支承方式,一般可劃分為下列7類[9]:

(1) 樓梯上端和樓梯下端為固定支承;

(2) 樓梯上端和樓梯下端為半鉸支承;

(3) 樓梯上端為半鉸支承,樓梯下端為固定支承;

(4) 樓梯上端為固定支承,樓梯下端為半鉸支承;

(5) 樓梯上端為鉸支承,樓梯下端為固定支承;

(6) 樓梯上端為固定支承,樓梯下端為鉸支承;

(7) 樓梯上端為半鉸支承,樓梯下端為鉸支支承.

通過力學分析計算可以看出，對樓梯整體結構最為有利安全的情況是樓梯上下兩端都是固定支承的情形;而最不利的情況是樓梯上端為半鉸支承,下端為鉸接支承,而樓梯的上下兩端不宜為半鉸支承.因此,本文以樓梯整體結構最為有利安全的情況考慮,主要研究鋼結構螺旋樓梯上下兩端為固定支承的情況.

3.3 計算的基本假定

用解析法來求解鋼結構螺旋樓梯內力,并作出下述假定:

(1) 將鋼結構螺旋樓梯的上下兩部分直線梯段簡化為單跨梁,螺旋樓梯的中部螺旋段簡化為單跨空間彎曲梁.最后均以3個部分螺旋樓梯梯段的中軸線作為計算軸線.按此方法進行結構簡化,既簡便直觀,又滿足結構的安全性要求.

(2) 假定螺旋樓梯上下梯段部分和螺旋樓梯的中部螺旋段截面都是等截面,樓梯上下兩端與支承梁為固定連接,并且樓梯上下兩部分直線梯段的坡度相同.

(3) 由于結構所受到的切向和徑向剪切對結構整體的變形的影響非常小,因此在計算結構變形時忽略結構所受到的切向和徑向剪切.

3.4 樓梯正截面及其性質

通常樓梯的正截面部分為可變截面,因此為了計算簡便,將正截面假設為是相等的,即等截面.如圖2所示.圖2中,踏板厚度以及內外環梁厚度t=10 mm，w=100 mm為內外環梁寬度，樓梯正截面寬度b=1 800 mm，踏步板截面高度h=50 mm，樓梯內外環梁高度h=300 mm.

圖2 樓梯正截面Fig.2 The cross-section of the stair

4 有限元分析

4.1 建立結構模型

運用ABAQUS建立鋼結構螺旋樓梯模型,將樓梯內外梯梁分別拆分成3部分,將每個踏步分別定義為單獨的實體單元,由于樓梯內梯梁的旋轉部分涉及大扭曲問題,在網格劃分時采用八節點六面體單元劃分時軟件會報錯,無法劃分成功,因此單獨將此部分定義為十節點二次四面體單元,即C3D10進行模擬.將除樓梯內梯梁外的所有三維實體單元定義為八節點六面體單元,即C3D8R,以及用縮減積分的方法進行模擬.其中螺旋樓梯的上下兩端約束為固定約束,約束施加在旋轉樓梯兩端主梁截面處.建立的結構模型如圖3所示.

圖3 結構模型Fig.3 Structural model

4.1.1 材料的本構關系及參數設定

該鋼結構螺旋樓梯所用材料是Q235鋼,采用各向同性線彈性材料本構關系.具體應力-應變關系如式(1)所示:

{ε11

ε22

ε33

γ12

γ13

γ23}=[1/E-v/E-v/E000

-v/E1/E-v/E000

-v/E-v/E1/E000

0001/G00

00001/G0

000001/G]{σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23}

(1)

其中,G=E/2(1+v),在ABAQUS軟件的材料屬性中輸入Q235楊氏模量E和泊松比ν.彈性模量取210 GPa,考慮到樓梯踏板與梯梁連接節點的連接強度的影響,故在設置材料屬性時將Q235鋼材密度放大1.1倍,取1.1×7 850=8 635 kg/m3,泊松比取0.3[10].

4.1.2 屈服準則

由于Q235鋼為金屬材料,因此其屈服準則可由Tresca屈服準測或Mises屈服準則判定.

Tresca屈服準則判定如式(2):

τmax=σmax-σmin2=k

(2)

{|σ1-σ3|=σs=2k

|σ1-σ2|=σs=2k

|σ2-σ3|=σs=2k

(3)

其中,若滿足式(3)中的其中一個條件,則該材料進入了塑性狀態.

Mises屈服準則判定如式(4):

(σx-σy)2+(σy-σx)2+(σz-σx)2+6(τxy2+σyz2+σzx2)=2σs2=6k2

(4)

式中，σs為材料的屈服點；k為材料的剪切屈服強度.若上式滿足,則該材料進入了塑性狀態.

4.1.3 標準荷載工況及荷載取值

樓梯自重+樓梯附加恒荷載+樓梯活荷載,基本荷載組合為1.3(自重荷載+附加恒荷載)+1.5活荷載,重力加速度放大后取1.3×9.8=12.74 m/s2,附加恒載投影值取0.8 kPa,樓梯活載考慮3.5 kPa;附加恒荷載和活荷載的荷載組合為1.3×0.8 kPa+1.5×3.5 kPa=6.29 kPa.

4.1.4 踏步與梯梁節點

鋼結構樓梯的踏步板與梯梁的連接方式為對接焊接,選取其中三段踏步的焊接剖面簡圖,如圖4所示.由于連接方式為焊接,因此對焊縫進行抗剪驗算,為了計算方便,取樓梯一節踏步和梯梁計算.軟件計算該鋼樓梯整體體積為0.422 m2,考慮實際材料用量情況,為保守計算,驗算時取0.45 m2.因此,整體樓梯所受總荷載(自重+荷載組合)為45.70 kN+78.50 kN=124.2 kN,平均分配至每一節踏步上的荷載為4.78 kN.

圖4 焊接剖面簡圖Fig.4 Welding section sketch

由《鋼結構設計標準》GB50017-2017中對接焊縫的剪應力公式可計算出該對接焊縫所受到的剪應力大小為5.96 MPa,小于規范中對接焊縫抗剪強度設計值120 MPa.但這種計算方法對于直梯段的踏步計算近似滿足,而對于螺旋梯段,用這種取平均的方式計算不準確.

由軟件模擬后的樓梯應力圖8可知,螺旋梯段部分的踏板連接節點最大應力位置在螺旋梯段踏步板內側,大小為80.19 MPa,亦小于120 MPa,故踏步與梯梁節點接縫強度滿足要求.

4.1.5 荷載施加方式及加載制度

荷載施加方式以壓強(面荷載)的形式施加在樓梯踏面上,其中恒荷載取螺旋樓梯的自重荷載,荷載加載見圖5.圖中黃色箭頭為重力荷載,紫色箭頭為附加恒荷載和活荷載的荷載組合.

為防止全部加載荷載后ABAQUS在分析計算過程中出現不收斂的情況,因此將加載過程分為8個加載等級逐級加載,因此在ABAQUS軟件中設置8個分析步,每級加載0.898 6 kPa,見表1.

表1 加載制度Table 1 Loading system

4.1.6 網格尺寸選取

有限元軟件對結構的有限元分析,就是對連續的模型結構進行分割、打斷、離散化處理,以簡化結構并得到最后的分析結果.由此可知,對模型結構離散化程度越高,最后得到的處理結果就越符合真實情況,但是也需要更多的時間來進行模擬,而且效率也會因為離散的數量而受到影響.網格劃分的質量和劃分后的單元體形狀與有限元分析能否順利進行有密切聯系,而網格數目又與計算的準確性有關,所以在劃分網格時應注意劃分的準確性.根據本文模型的尺寸和形狀,為了防止網格劃分過粗而出現計算精度不夠、不收斂的現象和網格過密而容易出現應力集中的現象,將網格布種尺寸設為50 mm,網格劃分結果如圖6所示.

4.2 有限元分析結果

在ABAQUS軟件中建立鋼結構螺旋樓梯的有限元模型并運行計算之后,查看有限元分析后處理結果,由此可獲得鋼結構螺旋樓梯的位移云圖和應力云圖,從圖中可知樓梯的位移、應力分布情況和大小.后處理分析結果如圖7和圖8所示.

圖7 結構總位移云圖(mm)Fig.7 Total displacement of the structure

圖8 結構應力云圖(MPa)Fig.8 Structural stress

通過圖7看出,由于樓梯兩端固定,在樓梯中部外側梯梁位置位移最大,樓梯兩端位移最小,樓梯上的每節踏步中也是踏步外側位置位移最大,整體最大位移為14.41 mm,發生在旋轉樓梯中部的踏步外側梯梁處.由《鋼結構設計標準》GB50017-2017規范可知,本文分析計算的鋼結構螺旋樓梯變形容許值為18 mm,滿足變形要求.由圖8可看出,結構應力最大處在樓梯兩端的梯梁固定處,最大為98.44 MPa,滿足規范要求.綜上,由最大位移數值和最大應力數值可知該結構安全.

4.3 結構優化分析

由ABAQUS分析后查看后處理結果可知,結構最大位移和最大應力值均安全,還有一定的優化空間,但由于鋼結構螺旋樓梯本身的踏板和樓梯內外兩邊梯梁部分均為受力構件,且為保證鋼結構螺旋樓梯的樓梯踏板和樓梯內外兩邊的梯梁連接的安全可靠及考慮整體結構安全,對該結構只優化螺旋樓梯直梯段的踏板部分,而不優化樓梯內外兩邊梯梁和樓梯中部的螺旋段部分.

本文對鋼結構螺旋樓梯采用ABAQUS Tosca拓撲優化的方式優化,優化設計目標為使得結構應變能最小(剛度最大);優化設計變量為單元密度在0～1之間;優化區間為螺旋樓梯的踏步段;限制條件為縮減10 %的螺旋樓梯直梯段踏步體積.模型體積優化結果見圖9.其中,為考慮樓梯實際使用過程中的整體結構安全,樓梯兩端的第八和第九級踏步的實際施工過程中應采用未優化前的踏步模型(如圖3所示).

圖9 優化結果模型(90 %)Fig.9 Optimizing the resulting model(90 %)

模型優化后單元密度分布如圖10所示.由圖10可以看出,旋轉樓梯直梯段的踏步長度1/4及3/4處縮減體積的圓孔周圍密度均小于1,說明該結構優化的踏步體積部分相較于其他踏步部分的權重占比不高.因此,由ABAQUS Tosca拓撲優化后的模型結果可為該旋轉樓梯結構的實際設計施工提供參考依據,縮減的體積部分在不影響該鋼結構旋轉樓梯的結構安全基礎上以達到節約鋼材的目的.

圖10 優化后單元密度分布Fig.10 Cell density distribution after optimization

若對整體樓梯踏板部分體積縮減至90 %,ABAQUS Tosca拓撲優化的模型結果見圖11,整體優化后位移云圖見圖12.由圖11及圖12可以看出，樓梯踏步優化后的踏步截面寬度較小,優化位置集中在樓梯位移較大處附近,最大位移為19.86 mm,不滿足規范要求,且在截面形狀突變處易產生應力集中,顯然在樓梯的實際使用過程中不滿足結構的構造及變形要求.在樓梯的實際使用過程中,踏步長時間受到反復荷載的作用下易產生疲勞破壞.因此,為了考慮鋼結構螺旋樓梯的結構安全,只在原來樓梯結構的基礎上優化螺旋樓梯直梯段踏步體積的10 %.直梯段的踏步體積縮減10 %前后的結構截面變化如圖13所示.

圖11 整體踏步優化模型(90 %)Fig.11 Overall step optimization model(90 %)

圖13 直梯段截面優化前后對比Fig.13 Comparison diagram before and after section optimization of straight ladder section

4.4 結構優化結果

鋼結構螺旋樓梯踏步體積經由Tosca拓撲優化后查看優化結果,可獲得螺旋樓梯踏步體積拓撲優化后的位移云圖和應力云圖如圖14和圖15所示.從圖中可知，樓梯踏步體積優化后的結構位移、應力分布情況和大小.

圖14 優化后總位移云圖(mm,90 %)Fig.14 Total displacement after optimization(mm,90 %)

圖15 優化后應力云圖(MPa)Fig.15 Stress after optimization

通過優化后的位移云圖14看出,優化后的結構整體最大位移為17.63 mm,滿足規范要求.最大位移亦發生在樓梯中部外側梯梁處,由優化后的應力云圖15可看出,結構的最大應力為92.45 MPa,滿足規范要求,亦發生在樓梯兩端的梯梁固定處.綜上,由最大位移數值和最大應力數值可知該結構安全.

從表2可以看出,優化后的結構整體最大位移為17.63 mm,結構的最大應力為92.45 MPa,與未優化前相比,最大位移增加3 mm左右,最大應力減小6 MPa左右.由此可知,對踏步體積縮減10 %后的優化結果均滿足規范要求,相對合理.

表2 優化前后有限元分析結果Table 2 Finite element analysis results before and after optimization

5 結論

(1) 在軟件中建立鋼結構螺旋樓梯的有限元模型之后,由軟件的處理結果可分析結構位移與應力的分布情況:在螺旋樓梯結構對踏步優化之前的最不利工況下,整體結構最大位移值為14.41 mm,發生在旋轉樓梯中部外側梯梁處.結構在優化前的最不利工況下的最大結構應力發生在樓梯兩端的梯梁固定處,最大為98.44 MPa.優化后的結構整體最大位移為17.63 mm,最大位移亦發生在樓梯中部,每級踏步的踏步中部外側梯梁處,對螺旋樓梯結構踏步體積優化之后的結構最大應力值為92.45 MPa,亦發生在樓梯兩端的梯梁固定處.綜上,由優化前后的最大位移數值和最大應力數值可知均滿足規范要求,該結構安全.

(2) 優化后的結構最大位移和最大應力與未優化前相比均有所變化,但均滿足規范.由此可知,對踏步體積優化后的結果滿足結構整體強度和變形,相對合理.由此對旋轉樓梯有限元模型進行優化設計,優化結果可為實際鋼結構旋轉樓梯的結構設計和施工提供參考依據.

(3) 本文利用有限元軟件ABAQUS對鋼結構螺旋樓梯模型分別定義了螺旋樓梯的材料屬性、截面的特性、添加分析步、施加約束條件和荷載、網格劃分；然后通過軟件得到結構位移和應力數據；最后分別以鋼結構螺旋樓梯的踏步體積作為優化條件,分析結構優化前后不同踏步體積對鋼結構螺旋樓梯的整體最大位移和應力的影響.踏步體積縮減太高會對結構不利,應選擇合理的踏步體積.在設計鋼結構螺旋樓梯的時候在保證樓梯結構強度、變形及穩定性要求的前提下，應盡量減小樓梯的體積.