基于Duffing系統的微弱超聲導波幅值檢測方法研究

閆曉鵬，成夢菲，張偉偉，武 靜，馬宏偉

(1.太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024；2.暨南大學 力學與建筑工程學院，廣州 510632;3.東莞理工學院 機械工程學院，廣東 東莞 523808)

與傳統超聲波檢測技術相比，超聲導波檢測技術具有檢測距離遠，范圍廣等優點[1]，廣泛應用于長距離管線檢測中。然而，超聲導波在傳播過程中存在頻散、衰減、模態轉換等現象[2-4]，加之環境噪聲的影響，在進行小缺陷檢測時，因缺陷回波十分微弱極有可能被淹沒在噪聲中，造成漏檢風險。二十世紀八十年代，Brix等[5]提出了利用Duffing系統混沌相變特性進行弱信號檢測的方法。該方法充分利用了混沌系統的敏感性，將弱信號作為系統擾動輸入到混沌系統中，當系統處于相變臨界點時，即便信號十分微弱，也能引起系統的顯著變化，從而實現弱信號檢測，這為識別微弱超聲導波信號提供了思路。張淑清等[6]對Duffing系統檢測導波信號進行了數值研究，指出了Duffing系統在超聲導波檢測中的潛力。鄒珺等[7]利用Duffing系統對磁致伸縮導波信號進行了檢測，通過試驗驗證了利用混沌系統敏感性檢測超聲導波信號的可行性。張偉偉等[8]討論了利用改進型Duffing系統進行導波信號檢測時，實測信號與檢測系統的參數匹配問題，并通過數值研究分析了純噪聲、導波信號和混有噪聲的導波信號對系統相軌圖的影響規律，給出了信號識別方法。武靜等[9]利用Lyapunov指數分析了改進型Duffing系統的相變特征，確定了系統的臨界狀態，實現了對超聲導波小缺陷回波信號的檢測。

然而對于超聲導波檢測，識別缺陷的有無，只是缺陷檢測的第一步，還需要獲取缺陷回波的幅值，以便對結構損傷程度做出判斷。武靜等[10]利用改進型Duffing系統開展了以Lyapunov指數為指標的超聲導波檢測方法研究，發現在一定范圍內，Lyapunov指數與超聲導波幅值存在定性關系。溫宇立等[11-12]利用Duffing系統對雙裂紋管道的缺陷回波進行檢測，發現缺陷回波幅值與Lyapunov指數成正相關關系。但是，這些方法需要對Lyapunov指數與信號幅值之間的對應關系進行標定，然而計算Lyapunov指數的算法、求解步長等都會對結果產生影響，難以獲得統一的結果。不過，研究人員針對正余弦信號的幅值檢測研究為此提供了一些參考，如Shen等[13]通過建立混沌閾值與信號幅值之間的量化關系，給出了幅值檢測方法。Wang等[14]考慮了噪聲因素的影響，建立起噪聲影響下混沌閾值與信號幅值間的定量關系，利用數值仿真檢測了噪聲干擾下的正弦信號幅值。Jin等[15]通過研究Lyapunov指數的統計特性，建立了Lyapunov指數與輸入信號幅值之間的定量關系，給出了幅值計算方法。周玲等[16]建立了混沌閾值與驅動力幅值，信號幅值、相位之間的量化關系，檢測了高頻地波雷達海洋回波信號的幅值。這些研究均是通過建立信號幅值與混沌指標之間的量化關系來實現幅值定量檢測的。

與正余弦信號不同，超聲導波一般為調制信號，信號幅值不是常數，且具有脈沖特征，這為信號幅值識別帶來了一定的挑戰。本文擬利用Duffing系統的混沌相變特性，構建一種超聲導波信號幅值的檢測方法，重點研究并建立Duffing系統驅動力幅值與導波信號幅值之間的量化關系，在此基礎上，構造一種幅值定量檢測方法，詳細討論導波信號周期數對檢測結果的影響規律。最后，對管道內微弱缺陷回波信號進行幅值檢測，以驗證本文方法的有效性。

1 弱導波信號對Duffing系統的影響分析

考慮式(1)所示的Duffing方程

(1)

式中：k為阻尼系數；-x+x3為非線性恢復力；F為內置驅動力幅值；ω為驅動力角頻率。在超聲導波檢測中，經Hanning窗調制的單音頻正弦信號經常被用來激發導波信號，表達式為

(2)

式中：A為信號幅值；n為單音頻周期數；ω=2πfc，fc為中心頻率。圖1為中心頻率70 kHz，周期數10，幅值1的調制信號，該信號多用于在管道中激發L(0,2)模態的超聲導波。

將式(2)所示導波作為驅動力的擾動項疊加在式(1)中，則導波信號的Duffing系統檢測模型可表示為

(3)

利用積化和差將式(3)右側的超聲導波展開如下

(4)

文獻[17-18]對Duffing系統的頻率敏感范圍進行了研究，結果表明當內置驅動力幅值遠大于待測信號幅值時，Duffing系統能夠識別與其內置頻率的相對誤差最大不超過3%的信號。由此可知，式(4)中超聲導波展開的第一項頻率與系統內置頻率相同，第二、第三項與內置頻率的相對誤差為1/n?？梢?，當1/n>3%時，第二、第三項由于頻率遠離系統驅動力頻率，認為它們不對Duffing系統產生影響，只有當1/n≤3%時，第二、第三項才會對Duffing系統產生影響。為此，我們分以下兩種情況進行討論：

(1) 當1/n>3%時，超聲導波中的第二、第三項對系統無明顯影響，式(4)可簡化為

(5)

為了便于描述，稱(F+A)為等價驅動力幅值。顯然，Duffing系統疊加超聲導波后等價驅動力幅值與原內置驅動力相比，幅值增大了A。

(2) 當1/n≤3%時，超聲導波展開的三項均對系統產生影響，在式(5)的基礎上疊加第二、第三項，經三角函數變換后化簡為

(6)

綜上所述，當Duffing方程驅動力項疊加弱導波信號后，等價驅動力幅值改變與導波周期數n有關。當1/n>3%時，輸入幅值為A的導波后，等價驅動力幅值增大A；當1/n≤3%時，輸入幅值為A的導波后，等價驅動力幅值增加2A。根據這一特性構造幅值檢測方法，在輸入超聲導波信號前，先將系統調整至由周期態向混沌態轉變的臨界態，記此時的內置驅動力幅值為Fc；輸入超聲導波后，系統發生由周期態向混沌態的跳變，然后逐漸減小驅動力幅值，直至系統再一次由混沌態返回到周期態，記此時的驅動力幅值為Fc0，定義ΔF=Fc-Fc0，即為系統驅動力幅值調整量，其與待檢信號幅值A的關系為

(7)

在實際檢測中，周期數一般不超過30，滿足條件1/n>3%，可選擇A=ΔF進行識別導波幅值。

2 基于混沌相變的弱導波幅值檢測方法

2.1 Duffing檢測系統的參數設置

由第1章可知，導波幅值識別利用了混沌系統由周期態變為混沌態的敏感性，確定混沌系統處于臨界態的內置驅動力幅值Fc是本文方法的基礎。為此，首先要設置系統的頻率ω與阻尼系數k，再去求取混沌閾值。由于待檢信號中心頻率為70 kHz，為了與求解步長相匹配，變化量綱后ω=0.439 823 rad/μs。根據文獻[19]，當頻率ω一定時，激勵幅值與阻尼系數滿足F/k>c時，系統可能出現混沌狀態，其中c為一常數，為了減小計算量，在小范圍內尋找到系統關于F的混沌閾值，k的取值不宜過大，此處取k=0.4。在確定頻率ω與阻尼系數k的值后，為了獲取系統關于F的混沌閾值，對F作分岔分析，具體計算如下：

(1) 設定F的取值范圍為F∈(0,1)，增量為10-5；

(2) 采用四階龍格-庫塔法求解式(1)，時間步長設為0.02 μs，初值設為(0,0)。計算時長為500個外激勵周期，舍去前200個周期的數據以獲得穩態結果。

(3) 根據計算得到的位移結果，繪制出系統關于F的分岔圖。

圖2所示為Duffing系統在ω=0.439 823 rad/μs和k=0.4時，系統隨驅動力F變化時的位移分岔圖。從圖2中可知：當驅動力幅值變化時，系統分別經歷了周期、周期跳躍、倍周期分岔、間歇性混沌等過程，表現出了豐富的動力學特性；F=0.457 80為系統由周期態向混沌態轉變的臨界值，即混沌閾值Fc=0.457 80。為了對混沌相變做出更清晰的刻畫，分別做出系統混沌相變前與混沌相變后的相軌圖如圖3(a)和圖3(b)所示。圖3(a)表示當F=0.457 80時，系統的相軌圖為周期態，當F稍稍增大一點，驅動力幅值只在小數點后第5位發生了變化，系統相軌圖將變得“雜亂無章”，系統處于混沌狀態，見圖3(b)，這就體現了混沌系統的弱信號檢測能力。檢測信號時，首先將系統內置驅動力幅值設為F=Fc，然后添加導波信號后，由于系統的敏感性，系統將由周期態跳變為混沌態，此時，再逐漸減小內置驅動力幅值F，通過觀察相軌圖，直到系統再次返回為周期態，并記錄此時外驅動力幅值為Fc0，求得ΔF=Fc-Fc0，再依據式(7)進行導波的幅值識別。

圖2 系統關于激勵幅值F的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of the system depending on excitation amplitude F

圖3 不同幅值下的相軌圖Fig.3 Phase trajectory under different amplitudes

2.2 幅值檢測的仿真研究

考慮式(2)所示的導波檢測模型，給出六種不同幅值的超聲導波，如表1所示，其頻率與Duffing系統內置驅動頻率相同ω=0.439 823，周期數均取n=10，滿足1/n>3%。輸入導波后，系統由周期態轉變為混沌態，相軌圖由圖3(a)所示的周期態轉變為圖3(b)所示的混沌態，然后逐漸減小驅動力幅值F，當系統恰好由混沌態轉變為周期態時記錄此時的驅動力幅值為Fc0，六種工況的Fc0識別結果均列在表1中。由表1可以看出，當導波信號幅值較小時，該方法識別精度較高，當幅值逐漸增大時，誤差也隨之增加。這是因為隨著幅值A的增大，F?A這一條件難以嚴格滿足，使系統可檢測的頻率范圍增大[20]，致使式(4)中超聲導波展開的后兩項被部分檢測到，這也表明本文檢測方法適用于弱導波信號，對于幅值A≤0.001的信號檢測相對誤差小于5%，精度較高，對于A≥0.001的信號，可以先以一定比例縮小待測信號幅值，然后采用本文檢測方法進行幅值檢測，再將檢測結果等比例放大即可得到原信號幅值。

表1 基于混沌相變的弱導波幅值檢測結果Tab.1 Detection results of weak guided wave amplitude based on chaotic transition

3 試驗研究

為了進一步驗證本文方法的有效性，我們選取一段長5 m、外徑為88 mm，厚4 mm的無縫鋼管進行試驗研究，主要設備和試驗原理如圖4所示。采用PZT5材料作為傳感器，按照管道斷面尺寸加工壓電環，厚度為2.5 mm(厚度方向諧振)，利用AB膠粘貼在管道一端，產生周期數n=10的對稱L(0,2)模態導波，接收端利用一組16片均布管道一周的壓電片并聯作為接收傳感器，每片壓電片在長度方向諧振，尺寸為15 mm×2.5 mm×0.8 mm。測試信號中心頻率為70 kHz，采樣頻率設置為1 MHz。

圖4 試驗裝置及試驗原理圖Fig.4 Experimental device and principle

利用鋸弓在距離信號激勵端3.0 m處加工缺陷。第一種通槽，選擇1/8圓弧，如圖5(a)所示，深度為2 mm；第二種缺陷選擇3/16圓弧，缺陷邊緣和圓弧相切，深度為2 mm，如圖5(b)所示；第三種選擇1/4圓弧，缺陷邊緣和圓弧相切，缺陷中心距管道表面距離表示裂紋深度，加工2 mm深度裂紋，如圖5(c)所示。所有工況均在表2中列出。

圖5 三種缺陷示意圖Fig.5 Three kinds of defects diagram

表2 含缺陷管道的試驗工況Tab.2 Experimental conditions of defective pipeline

圖6所示為試驗接收到的四種工況的檢測信號。由圖6可以看到，四種工況下的入射波與端面回波信噪比較高，可以直接觀察到，而工況2～工況4中的缺陷回波信號則被淹沒在噪聲中，無法識別是否存在缺陷回波，更無法識別其幅值大小。為了驗證本文所提方法的有效性，截取工況2～工況4入射波與端面回波之間的信號，即0.65～1.65 ms的信號，利用本文檢測方法檢測待檢信號中缺陷回波幅值。由于缺陷回波的幅值無法直接觀察，我們利用反射系數和衰減系數確定缺陷回波的理論幅值。根據結構中垂直入射超聲導波的反射定律，可得反射系數R為

(8)

式中，β為結構截面損失率。另一方面，反射系數為缺陷回波幅值Ad與入射波幅值A0之比

(9)

式中，K為頻散修正系數，一般情況下，0

(10)

式中，Ae為端面回波幅值。將試驗結果代入式(10)求得超聲導波衰減系數為α=0.191 dB/m。對于含缺陷工況，缺陷位置距離激發端為3 m，則缺陷回波被接收時，導波在管道中傳播了6 m，根據式(10)可得缺陷回波幅值的理論值應為

(11)

圖6 試驗信號Fig.6 Experimental signals

利用式(11)求得缺陷回波幅值的理論值列于表3作為參考，并利用本文所提方法進行缺陷回波信號識別，檢測結果如表3所示。從表3中可知，本文方法可有效地檢測出缺陷回波信號的幅值，其相對誤差最大為-7.31%可滿足工程需求。并且在測試信號中，缺陷回波已完全淹沒在噪聲信號中，這表明本文所提檢測方法具有較強的噪聲免疫性與弱信號敏感性，能夠從強噪聲中識別弱信號幅值。

表3 缺陷回波幅值檢測結果Tab.3 Detection results of defect echo amplitude

4 結 論

利用Duffing系統的混沌相變特性，本文提出了一種基于Duffing系統的超聲導波幅值定量檢測方法。通過研究超聲導波對Duffing系統的影響，建立了系統幅值與導波幅值之間的量化關系，結合Duffing系統的混沌相變特性，提出了幅值檢測方法并通過數值算例驗證了該方法的有效性，最后，利用該方法成功識別了管道中的微弱缺陷回波幅值，并得到以下結論：

(1) 同頻率的超聲導波對Duffing系統的影響主要體現在幅值上，根據超聲導波周期數n不同可分為兩種情況：當1/n>3%時，超聲導波輸入使系統幅值增大A；當1/n≤3%時，超聲導波輸入使系統幅值最大值增大2A，其中A為導波信號幅值。

(2) 當超聲導波周期數n<30時，對于幅值A≤0.001的導波信號，本文所提幅值檢測方法具有較高檢測精度，仿真研究結果表明相對誤差最大不超過5%。

(3) 本文所提方法具有較強的噪聲免疫性與弱信號敏感性，最小可以識別截面損失率為6.4%的缺陷回波幅值，與理論值相比，最大相對誤差僅為-7.31%，這對于在復雜環境中評估缺陷大小具有工程實用價值。