培養量感意識 感悟度量本質
——以“面積和面積單位”教學為例

■ 劉曉紅 盧文萍

華羅庚說過：“數起源于數，量起源于量”。作為《義務教育數學課程標準（2022 年版）》新增的核心素養，量感是對量的感悟和直覺。建立量感有助于學生養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎，它對學生空間觀念的形成、幾何思維的發展、數學素養的提升有著非常重要的作用。那么學生的量感意識如何培養？度量的本質又是怎么感悟的呢？帶著這兩個問題，我們對“面積和面積單位”這一課展開了實踐研究。

“面積和面積單位”屬于“圖形與幾何”領域，是學生在初步掌握長度和長度單位、長方形和正方形的特征及其周長計算的基礎上進行教學的，在空間形式上經歷了“從線到面”的飛躍，是從一維空間向二維空間轉化的開始。教材在編寫上非常重視展現面積概念的形成過程，注重常用面積單位表象的建立，注重在直觀操作及形式多樣的活動中體驗、積累感知。因此，在教學中，教師應幫助學生建立面積概念，在理解度量意義中體會量感，體會面積單位產生的必要性，充分經歷確定面積單位的過程。

一、操作是建立量感的客觀基礎

量感的建立和形成的一個重要標志是學生會針對實際情境選擇合適的度量單位進行度量，這就需要大量的直觀操作提供客觀基礎。學生經歷操作的過程才能對實際情境進行比較、分析與綜合，抽象出事物本質，獲得對概念、法則及關系的理解。為了讓學生體會面積單位產生的意義，感受統一面積單位的必要性，體現度量方法多樣化和優化的思想，學生必須充分經歷用不同圖形作單位度量面積的操作過程，感受用正方形作面積單位的便捷性和合理性，豐富度量經驗，培養度量意識。

【教學片段一】

師：同學們，如圖1，比一比這4個圖形中哪一個的面積最大？

圖1

生：④號圖形的面積最大。

師：眼力真好！像剛才這樣一眼就能夠看出圖形面積的大小的比較方法，稱為觀察法。

師：哪個圖形面積最小呢？生：③號圖形的面積最小。

師：是嗎？我怎么感覺①號圖形的面積最小呢？你們有沒有什么好方法能比較③號和①號圖形的面積大小呢？

生：可以將這兩個圖形重疊起來比較。

師：我們一起來試一試。（課件演示）果然是③號圖形面積小，像剛才這樣把兩個圖形重疊放在一起比較的方法，稱為重疊法。（板書：重疊法）

師：老師再考考你們的眼力，老師的手掌面和數學書的封面相比，誰的面積大？你們能目測數學書封面的面積相當于幾個老師手掌面的面積？

生：數學書封面的面積大，大約相當于老師2個手掌面的面積。

生：也可能是3個。

師：意見不同怎么辦？

生：比一比不就知道了。

（教師用手掌做測量示范，學生進行觀察，發現數學書封面的面積大約是教師3個手掌面那么大）

師：剛才我們以什么為標準度量數學書封面的面積？除了用手掌面度量課本封面的面積還可以用什么來度量課本封面的面積？

（學生自由量一量，上臺匯報交流）

生：我以練習本的封面為標準測量，數學書封面的面積相當于1本練習本封面的面積。

生：我以文具盒為標準測量，數學書封面的面積相當于4個文具盒的面積。

生：我以直尺為標準測量，數學書封面的面積相當于10根直尺的面積。

師：為什么剛剛估測數學書封面的面積，怎么有的測出來是1 個的，有的測出來是4 個的，甚至還有10個的？是數學書封面的面積發生變化了嗎？

生：沒有，因為我們用來測量比較的標準面不一樣，所以測量出來的數量也不一樣。

師（小結）：原來測量標準面不同，測量的結果也就不一樣。為了避免數據的改變，最好固定一個測量標準面。

師：剛才咱們用觀察法看出大屏幕上④號圖形的面積最大，用重疊法知道③號圖形的面積最小，剩下的①號圖形和②號圖形相比，誰的面積大？誰的面積小呢？你們有什么好方法？

生：看不出來，我們找一個標準面測量就可以了。

師：老師給你們提供了一個學具袋，里面有三角形、圓形、長方形、正方形這四種“標準面”，4人為一組，任選一種作單位來測量，比一比哪個面積大？

（教師利用課件出示操作要求，請小組長負責記錄小組中得出的結論。學生活動，教師巡視，組織交流與分享?；顒咏Y束后，小組匯報展示、交流）

師(小結)：大家借助這四種圖形，都比較出了兩個圖形面積的大小。如果要準確地測量圖形面積的大小，你們覺得用哪種圖形做面積單位最方便、合理？為什么？

生：三角形、圓形都有空隙，有空隙測量就會不準確，正方形沒有空隙，測量最準確。

師：長方形也沒有空隙，為什么你們不選用長方形呢？

生：長方形的長和寬不相等，我們組在擺的時候要考慮擺的方向和位置，而正方形不受這些限制，擺起來就方便多了。

師：你們的想法和數學家們的想法是一樣的，正方形確實是最合適的圖形。所以咱們測量面積一般統一用正方形做測量單位。

【思考】面積和面積單位，不是概念術語的記憶過程，也不是單純的直觀形象的積累過程，面積的本質是一個數，是用“數”刻畫“一個區域的大小”，是用“數”描述“形”。這是度量的本質，也是面積與長度、體積相通的地方。因此，就要先確定一個標準做單位，然后數出有幾個這樣的單位。故此教學環節設計了三個層次，層次1 和層次2 體現了量的初步認識，層次3 體現了量的間接比較，這樣分化了難點，目的是逐步培養度量意識，豐富度量經驗，體現出方法多樣化和優化的思想。

層次1：面積相差比較大的兩個物體。通過展示四個不同圖形，選擇面積最大的圖形。第四個圖形明顯比其他圖形大得多，呈現度量方法：觀察法。

層次2：面積接近的兩個圖形。接下來選擇面積最小的圖形。通過比較面積很接近的兩個圖形，當觀察法比較不出結果時，自然而然引出第二種度量方法：重疊法。

層次3：面積相差比較小的兩個圖形。面積的度量工具為什么是小正方形、小圓形、小三角形呢？面積為什么不能用直尺來度量？面積的度量為什么要讓學生去“擺”呢？帶著對這些問題的思考，教師設計了面積相差比較小且不同的兩個長方形的面積大小比較環節，可以進行這樣的處理：教師沒有直接把小正方形、小圓形、小三角形等學具直接提供給學生，而是引導學生借助已有的度量經驗，“小長度可以度量大長度”，教師啟發學生用“小面積去度量大面積”，讓學生經歷面積單位的產生過程。學生在擺的過程中會慢慢體會到，度量工具應該與所要度量的物體具有相同的特征。然后，學生進行優化選擇，才得出了結論——用小正方形做測量面積的面積單位最合適，實現了操作經驗和數學知識的有效對接。

一系列的操作活動使學生進一步明晰思考過程，主動參與建構，感受統一面積單位的必要性，豐富了學生建立面積單位的表象，從而促進空間觀念的發展。

二、想象是理解度量本質的有力支撐

想象就是把研究對象通過分析位置、度量等關系產生相應的思考。想象需要實實在在的支撐，建立在表象的基礎上。想象能幫助學生從操作實物向操作表象邁進，發展抽象思維；想象能幫助學生快速地對幾何圖形做出判斷分析，以便深入認識空間結構。教學中教師要經常引導學生展開想象，調動學生思維的積極性，從而開拓思維的廣度和深度，發展數學思維能力，讓表象更豐厚，想象是理解度量本質的有力支撐。

【教學片段二】

1.學生自學課本63頁面積單位

（1）自學提示

①常用的面積單位有哪些？

②教材是如何描述這些面積單位的？

③在學具袋中找到這個單位。

④在生活中找一找和這個單位大小差不多的物體。

（2）學生自學后全班交流

生：面積單位有平方厘米、平方分米、平方米。邊長是1厘米的正方形的面積是1平方厘米。

（教師把1平方厘米的小正方形貼在黑板上）

師：你們能在學具袋中找到1 平方厘米的小正方形嗎？請摸一摸這個小正方形的面積，想一想生活中哪些物體表面的面積大約是1平方厘米？

生：我們大拇指指甲蓋的面積大約是1平方厘米。

師：用手中的1 平方厘米的小正方形去比一比你們的大拇指指甲的面積，看一看它比1 平方厘米大還是??？

師：閉上眼睛想一想1平方厘米有多大，然后估一估學具袋中的會員卡表面的面積大約有多少平方厘米？再動手量一量。

師：量完了會員卡，我們用手中的1平方厘米再來量一量課桌面的面積，說一說量后感受。

生：這樣量起來太慢了，桌面太大了。

師（小結）：看來平方厘米適合量比較小的物體。量課桌面的面積我們還需要大一些的面積單位。

2.認識平方分米

師：回顧一下剛才我們是怎樣學習平方厘米這個面積單位的？下面我們就按照平方厘米的學習方法來學習平方分米和平方米。

生：邊長為1 分米的正方形的面積是1 平方分米，我在學具袋中找到了1 平方分米的小正方形。它的大小大約是我的手掌的面積大小，用它來測量桌面比較合適。

（教師把1平方分米的小正方形貼在黑板上）

師：閉上眼睛想一想1 平方分米有多大？然后再動手量一量桌面。

（學生匯報）

3.認識平方米

師：誰來介紹一下1平方米？

生：邊長是1 米的正方形的面積是1 平方米，學具袋中沒有1平方米的學具。

師：1 平方米有點大，無法放進咱們的學具袋。不過老師做了一個1 平方米的框架，老師也把它請上黑板，讓大家具體感知一下1平方米有多大，再估一估1平方米的地方能站多少個同學？

（教師請這節課表現最好的學生上臺嘗試站入1平方米框架內，一共站了10人）

師：大家閉上眼睛把1 平方米的大小牢牢印在腦海里，再估一估黑板的面積。

（學生匯報）

【思考】在教學面積單位中，教師先讓學生自學課本，再讓學生找學具袋中的1 平方厘米、1 平方分米兩個面積單位，初步形成表象。在認識平方厘米、平方分米和平方米的三個活動中，雖說都是活動，但是教師的引導卻有所不同。在教學平方厘米時，為了更好地發展學生空間觀念，教師一系列的追問活動都是步步為營。教學平方分米時，教師讓學生自主研究，教學平方米時完全由學生感悟，改變了傳統教學中教師一講到底、不分層次的現象。最后讓學生用三個面積單位估測一些物體表面的大小，借助聯系生活、想象估測等手段，有效地幫助學生發展了面積單位的空間觀念，增強了面積單位的量感。

上述教學實踐與思考，從根本上來說，都是基于如何培養量感意識進行的。整節課，教學環節環環相扣，教學主線清晰明確，學生在開始認識面積的過程中積累了大量的感性經驗，全面理解了面積的概念，為面積大小的比較奠定了基礎。而不同層次的比較面積大小的經歷，培養了學生的度量意識。最后面積單位的學習，有效地幫助學生發展了面積單位的空間觀念，增強了面積單位的量感。正是這些體驗，加深了學生的度量意識，從而不斷地感悟度量的本質。