氣流中變截面柔性矩形薄板的動力特性分析

韓明君，李金佩，席小峰，范就星

（蘭州理工大學理學院，甘肅 蘭州 730050）

0 引 言

柔性體-流體耦合運動是指柔性體的抗彎剛度一般很小，流體不僅會對柔性體產生作用力影響其運動，使之產生大位移和變形，而且柔性體的變形反過來又會影響流場結構，二者相互作用、相互影響.因此，柔性體與運動流體的耦合運動不僅與來流的速度和方向有關，還受到柔性體的密度和抗彎剛度等材料參數的影響.浸沒在穩定均勻流中的彈性柔性薄板的穩定性因其在許多工程實際應用的相關性而受到廣泛關注：研究自然界中魚在水中的游動［1］，植物在風中重構和伏倒［2-3］，鳥類昆蟲的飛行和小型潛水器的優化［4-5］，防止薄膜產品在加工時因氣流發生顫振因而損壞［6］，治療呼吸障礙以及分析大動脈中的動脈瘤和人工心臟瓣膜［7-8］；在實際工程中，遠距離特高壓輸電電線和海底運氣運油等管道，均要考慮柔性體與流體的耦合作用，防止發生顫振對工程產生危害［9］.

實驗方面，Watanabe等［10］在風洞實驗中得到了剛度、質量比和張力對柔性體顫振速度的影響；Zhang等［11］在流動肥皂膜中用2條柔性細絲為模型，研究了細絲之間的流體動力學耦合作用，顯示柔性體不僅可以在流體中振顫，也會有繃直靜止狀態；Jia等［12］在實驗中用不同柔性體材料，研究了柔性體在風中的運動，證實風速對顫振頻率和波數的影響，并用小擾動分析理論對其推導，實驗數據和數值模擬對理論結果得到了很好的驗證；Kim等［13］在高雷諾數開環風洞中探索了前端自由和后端夾緊柔性體的自激動力學，證實無量綱彎曲剛度、流速和長寬比對柔性體自激振蕩的影響；Liao等［14］給出不同邊界條件下矩形板與流場耦合的壓力場和速度，說明流場對流-固耦合系統動力學行為的影響；Liu和Lu［15］在實驗中用不同厚度的板測試了變截面柔性矩形薄板在空氣中的自然振動特性，并利用柱的附加質量理論分析了變截面柔性矩形薄板在靜態水中的自然振動特性；Shoele 和 Mittal［16］利用非線性特征值分析來研究通道之間柔性板的穩定性，計算了不同約束條件和放置方式下板的臨界速度隨板的質量比的變化關系；Wang等［17］和王文江［18］研究了靜止流體中不同形狀和不均勻弦向剛度分布的柔性板的顫振運動，顯示柔性體的周圍流場環境、自身構型及材料力學性質等因素對其動力推進特性的影響.

在自然界和工程領域中，為了提高材料的利用率，優化結構的重量，更符合自然界模型等需要，因此，在很多情況下要根據外部荷載和邊界條件讓板的厚度作各種相應變化.本文基于理想流體的Euler方程和 Euler-Bernoulli梁理論［12］，建立了在穩定氣流中變截面柔性矩形薄板的振動模型.考慮變截面柔性板的厚度只沿垂直于幾何中面方向呈線性分布，用線性小擾動分析法研究了氣流中變截面柔性矩形薄板的動力特性.

1 模型建立與方程處理

1.1 模型介紹

在Euler-Bernoulli梁模型的基礎上，建立兩端固定變截面柔性矩形薄板的幾何模型和穩定氣流中變截面柔性矩形薄板顫振運動模型如圖1和2所示.變截面柔性矩形薄板的兩端固定在O和A兩點（假設OA之間距離足夠長，可以減少顫振時兩端固定對于變截面柔性矩形薄板起始端和末尾端的影響），且以O點為原點，OA方向為x軸建立坐標系.h0和λ分別為該變截面柔性矩形薄板的初始厚度和截面變化系數，令λ=tanφ，則變截面柔性矩形薄板某一橫向位置處的截面厚度h(x)=h0+ λx，穩定氣流在變截面柔性矩形薄板上下表面均勻流過，其初始流動速度為U.

圖1 變截面柔性矩形薄板模型

圖2 變截面柔性矩形薄板在氣流中的運動模型

1.2 建立控制微分方程

兩端固定的變截面柔性矩形薄板服從線性化的Euler-Bernoulli梁理論，軸向氣流假設為非粘性不可壓縮的理想流體，則由動力學方程可得變截面柔性矩形薄板在穩定氣流中顫振的平衡微分方程為

式中：E為變截面柔性矩形薄板的彈性模量，I(x)為橫截面慣性矩，ρ1為變截面柔性矩形薄板的線密度，B(x)為橫截面面積，w(x ， t)為變截面柔性矩形薄板在穩定氣流中顫振的撓度，Δp為變截面柔性矩形薄板上下表面壓強的差值（上下表面壓強不一致，因而造成變截面柔性矩形薄板在氣流中顫振）.

穩定勻速氣流的流速（U）為非常低的馬赫數.因此，忽略外層的粘性應力并假設不可壓縮性，并且流場的質量和動量守恒，由歐拉方程表示為：

式中：u為變截面柔性矩形薄板上顫振時的氣流速度，?為哈密頓算子，ρ2為氣流的密度，p為顫振時氣流的壓強場.

氣流在變截面柔性矩形薄板上具有不可滑移和不可滲透性，滿足流-固耦合的速度相容條件，則變截面柔性矩形薄板上下表面的顫振速度和氣流運動的速度一致，即

式中n是變截面柔性矩形薄板在任意一點垂直于板面的法向量.

1.3 無量綱控制方程

假定兩端之間距離足夠長，則顫振時可以減少流-固耦合運動時固定端對板起始和末尾端的影響.變截面柔性矩形薄板在穩定氣流時的法向模態為正弦模態，其復頻率為Ω.因此，為了尋找線性化形式問題的解，令Ω=ω+iσ，其中實部（ω）為變截面柔性矩形薄板運動時的頻率，虛部（σ）為波擾動時間增長率.當變截面柔性矩形薄板因氣流發生顫振時，用線性小擾動分析理論給出各變量的值［19］：

式中：p為變截面柔性矩形薄板顫振運動時流場內的動壓強，p0為變截面柔性矩形薄板在未發生顫振時流場內的靜壓強，U為流場中氣流與板接觸時的流速，k為變截面柔性矩形薄板顫振時的波數，D為變截面柔性矩形薄板顫振時的振幅，κ為顫振時沿著z方向的空間衰減率，ux和uz分別為變截面柔性矩形薄板顫振運動時氣流在x和z方向上的速度.其中P′、U1和W是利用小擾動分析理論加入的小變化量，ρ2U2為壓強項中的量綱參考值，W和U1為速度項中的量綱參考值.4個參變量w、ux、uz和p的小擾動線性化都是將表達式中的值分為2種不同狀態下的和，即靜止狀態對應的零階項與顫振運動時一階項的和.

將式（5）～（8）代入到式（2）～（4）中，求解未知量得：

在式（11）中，因變截面柔性矩形薄板的顫振運動對氣流壓強的影響隨著z坐標值的增大而不斷地削弱.因此，本文設定：當z≥ 0時，k= κ；當z＜ 0時，k=- κ.式（10）和（12）中的正負號表示所在板面的z軸上下區域.

對于變截面柔性矩形薄板在氣流中顫振主要因素——Δp的值，把式（10）代入式（5）得到

將式（8）和（13）代入變截面柔性矩形薄板的平衡微分方程（1）中，得到線性小擾動分析理論變換后的控制方程為

將變截面柔性矩形薄板的截面厚度h(x)=h0+λx代入方程（14）中，并將其無量綱化，引入無量綱變量

2 計算結果及分析

2.1 無量綱求解及分析無量綱頻率和無量綱擾動時間增長率

圖3 不同截面變化系數（λ）下無量綱波數（）和無量綱橫向位置（）對無量綱頻率（）的影響（a）λ=0；（b）λ=0.001；（c）λ=0.003；（d）λ=0.005

圖4 不同無量綱橫向位置（）下無量綱波數（）和截面變化系數（λ）對無量綱頻率（）的影響（a）=10；（b）=1000

圖5 無量綱波數（）、無量綱彈性模量（）和截面變化系數（λ）對無量綱擾動時間增長率（）的影響（a）λ=0.001；（b）=1000

圖6 截面變化系數（λ）、無量綱波數（）和無量綱彈性模量（）對無量綱擾動時間增長率（）的影響（a）λ=0；（b）λ=0.001；（c）λ=0.003；（d）λ=0.005

圖7 無量綱波數（）、無量綱橫向位置（）和截面變化系數（λ）對無量綱擾動時間增長率（）的影響曲線（a）λ=0.003；（b）=1000，=1000

2.2 最不穩定波數

由于研究的材料為柔性體薄板，其抗彎剛度是一個量級特別小的值.因此，也是一個小值，令→ 0時，根據式（22）可以求得的近似值為

2.3 氣流流速對頻率和波數的影響

由式（26）可知，變截面柔性矩形薄板在穩定恒速氣流中發生顫振后，最大頻率等于動壓強項ρ2U與慣性項ρ1(h0+λx)的比值，最大頻率與氣流流速成正比，與柔性體密度和柔性體厚度均成反比.變截面柔性矩形薄板在穩定恒速氣流中發生顫振后，等于動壓強項 ρ2U與剛度項E(h0+ λx)3的比值 .與U成正比，與柔性體彈性模量和柔性體厚度均成反比 .由式（26）和（27）可以得到 ωm/km的值與氣流流速也是正比.

在本文的分析中，由于研究的是彈性彎曲，柔性體的重力顯然是次主導因素.但由于重力會使變截面柔性矩形薄板發生微小的形變從而打破流-固耦合顫振時的對稱平衡狀態.設變量速度（Ug）為重力影響的柔性體運動速度比例，由動壓強與單位表面的薄板質量，得到重力變量速度（Ug）為

由式（28）可知，Ug是一個由動壓強和單位表面的薄板質量決定的值.把 Ug代入式（26）和（27）中，可以消去由重力對最不穩定波數和頻率的影響，最終得到精確的最不穩定波數和最大頻率值.

3 結 論

本文建立了在穩定氣流中變截面柔性矩形薄板的顫振模型，考慮變截面柔性板的厚度只沿垂直于幾何中面方向呈線性分布，用線性小擾動分析法研究了氣流中變截面柔性矩形薄板的動力特性.研究了無量綱波數、薄板的橫向位置和不同變截面系數對于變截面柔性矩形薄板的無量綱角頻率、無量綱擾動時間增長率的影響，并分析了氣流速度對變截面柔性板波數和頻率的影響，得到了最不穩定顫振時的波數和頻率值，得到如下結論：

（3）變截面柔性矩形薄板在穩定恒速氣流中發生顫振后，最大頻率等于動壓強與慣性項的比值.最大頻率與氣流流速成正比，與柔性體密度和柔性體厚度均成反比；最不穩定波數等于動壓強項與剛度項的比值，最不穩定波數與氣流流速成正比，與柔性體彈性模量和柔性體厚度均成反比.