數控加工中路徑規劃與速度插補綜述

馬鴻宇，申立勇，姜 鑫，鄒 強，袁春明

數控加工中路徑規劃與速度插補綜述

馬鴻宇1，申立勇1，姜 鑫2，鄒 強3，袁春明4

(1. 中國科學院大學數學科學學院，北京 100049； 2. 北京航空航天大學人工智能研究院，數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100083； 3. 浙江大學計算機科學與技術學院，CAD&CG國家重點實驗室，浙江 杭州 310027； 4. 中國科學院數學與系統科學研究院，北京 100190)

數控技術在現代制造工業中被廣泛使用，相關研究一直為學界和業界共同關注。數控技術的傳統流程主要包含刀具路徑規劃和進給速度插補。為實現高速高精加工，人們通常將路徑規劃與速度插補中的若干問題轉換成數理優化模型，針對工程應用問題的復雜性，采用分步迭代優化的思路進行求解，但所得的結果往往只是局部最優解。其次，路徑規劃與速度插補都是為了加工一個工件曲面，分兩步進行處理雖然簡化了計算，但也導致不能進行整體優化。因此，為了更好地開展路徑規劃與速度插補一體化設計與全局最優求解的研究，系統性地了解并學習已有的代表性工作是十分有必要的。所以將逐次介紹數控加工中刀具路徑規劃與速度插補的相關方法與技術進展，包括基于端銑的加工路徑規劃；刀軸方向優化；G代碼加工以及拐角過渡；參數曲線路徑的進給速度規劃等國內外相關研究以及最新提出的一些新型加工優化方法。

計算機輔助制造；數控技術；路徑規劃；速度插補；G代碼加工

數控機床(computer numerical control machine tools)是數字化控制機床的簡稱，是一種裝有程序控制系統的零件加工生產設備，可以高效生產各種復雜曲面零部件，如大型艦船螺旋槳、航空發動機葉輪、隱形戰機一體成型機翼，汽車發動機零部件，5G高精度零部件等。數控機床作為工業母機是支撐國民經濟發展的戰略性產業。數控機床加工技術具有加工精度高、自動化程度高、可靠性高、對加工對象的適應性強等優點，已經成為當前制造業中主要力量，也是未來先進制造加工領域中必不可少的核心組成。數控系統作為數控機床的控制核心，是數控機床的“大腦”，其功能、控制精度和可靠性直接影響機床的整體性能、性價比和市場競爭力。數控技術則是數控系統中技術概括，傳統意義上涵蓋數理模型、加工工藝、系統控制、軟硬件協同等，在當前智能框架下還可以延伸到前端的計算機輔助設計(computer aided design，CAD)幾何設計分析，后端的數控加工(computer numerical control，CNC)智能控制等。

隨著國際競爭日益激烈，各國對高、精、尖裝備的需求日益擴大，向現代制造加工技術提出了新的挑戰，所以數控加工技術已經是各主要國家的重要產業戰略布局點。美國先后發布了《先進制造伙伴關系計劃》、《先進制造業國家戰略計劃》、《美國先進制造業領導戰略》等多項法案計劃來大力發展先進制造加工技術；德國提出了工業4.0的發展計劃，力圖將其打造為新一輪工業革命的技術平臺；日本公布了產業結構藍圖，旨在強化國內制造業；英國、韓國、印度、中國臺灣等地區亦提出積極的戰略和政策，推動新興技術在數控機床等裝備產業領域加快融合。在2015年，由國務院印發的《中國制造 2025》中提到，要將高檔數控機床和基礎制造裝備列為“加快突破的戰略必爭領域”，錨定我國裝備制造業全球競爭地位，支撐國防和產業安全的戰略需求，特別是支撐我國從制造大國到制造強國的過渡中，核心戰略技術研發是重中之重。

數控加工的主要流程包括CAD、計算機輔助制造(computer aided manufacturing，CAM)、后處理過程以及機床加工，如圖1所示。

隨著數控機床的快速發展，人們在實際數控加工中對CAM的精度和效率提出了更高的要求。CAM一般包含加工路徑規劃和刀軸方向規劃。由于刀具必須沿著規劃好的加工軌跡行進，因此，加工路徑和刀軸方向的優劣在一定程度上決定了后繼的加工精度和加工效率。其中加工路徑規劃又可以分為基于側銑和基于端銑的刀具路徑。側銑在加工一些特定曲面(如直紋面等)具有很高的加工效率，而端銑則在加工自由曲面時具有更好的效果。本文將主要介紹針對自由曲面的相關數控加工技術，因此關于側銑的方法將不做展開。

圖1 數控加工流程圖

而機床加工過程的核心內容則是進給速度規劃。根據刀具路徑的類型可分為：G代碼加工及拐角過渡；針對參數曲線的進給速度規劃。在得到刀具路徑之后，總是希望刀具在滿足運動學約束和幾何誤差約束的前提下能夠更快地沿著刀具路徑進行切削，從而縮短加工時間。所以進給速度規劃直接決定了加工工件的質量與效率，在數控加工中起著至關重要的作用。

1 加工路徑規劃

加工路徑指工件與機床刀具的相對運動軌跡，其決定著刀具如何切削毛坯，以形成設計幾何所規定的曲面形狀。加工路徑在很大程度上決定著進給速度、切屑面積、切削力甚至是顫振(chatter)的發生與否，因此，路徑質量直接關系著實際加工的精度和效率。從CAD/CAM一體化角度來看，加工路徑是CAD模型(即設計幾何)和CNC加工代碼的中間狀態(即制造幾何)，是數字空間和物理空間之間的橋梁(圖2)。故而能否自動規劃加工路徑直接關系著產品生命周期的整體自動化程度和效率。

圖2 加工路徑是數字-物理二元空間的橋梁

廣義上，加工路徑包括刀位點位置與刀軸方向2個方面；狹義上，加工路徑僅指刀位點位置(一方面由于刀軸方向規劃一般是在刀位點規劃的基礎之上進行，另一方面是因為三軸數控機床的廣泛應用，其刀軸方向是固定不變的，不需要額外的刀軸方向規劃)。因此，本文采用后者定義。加工路徑的質量有3個主要評價標準[1]：

(1) 相鄰路徑間殘留材料的高度(簡稱殘高)不超過給定容差，以保證加工精度；

(2) 加工路徑總長度盡量小，以減少加工時間；

(3) 加工路徑的光滑程度盡量高，以防止頻繁加減速，從而提高平均進給速度，降低加工時間。

其中，標準(1)是加工精度方面的要求，標準(2)和(3)是加工效率方面的要求。對于簡單幾何，3個要求一般可以同時滿足，如對于平面，行型(direction parallel)的等殘高路徑同時也是最短且光順的(除各條路徑首尾相連處)；然而，對于復雜曲面，其之間往往是不相容的，不能同時滿足。加工路徑規劃的難點就在于如何平衡三者，尤其是全局最優的平衡。

針對上述3個要求，人們在過去的30余年里提出了一系列路徑規劃方法，其中具有基礎意義的加工路徑生成方法主要有等參數法(iso-parametric)、截平面法(iso-planar)、等殘高法(iso-scallop)等[2]，新近發展的加工路徑優化方法有向量場方法、等水平法等。

1.1 傳統加工路徑規劃方法

在三大傳統方法中，等參數法最早被學術界提出。如圖3所示，對于三維空間中的自由曲面，該方法通過固定一個參數()，變動另一參數()，在參數域生成一條直線段，并選取其所對應的三維空間曲線為加工路徑[3]。相鄰加工路徑對應的參數增量由工程師指定的容差確定，即殘高不超過給定容差值。

圖3 等參數路徑規劃方法示意圖[3]

等參數法具有路徑光滑、計算簡單、與NURBS曲面表示方法契合度高等優點，但也存在路徑質量不高的缺點，主要表現為路徑總長度過大(其原因在于路徑疏密不一致、冗余加工過多)，且該方法不適用于離散的網格和點云曲面。

針對前一缺點，常用的改進方法有：ELBER和COHEN[4]對過密區域進行路徑裁剪；HE等[5]對過密區域進行路徑間距微調。針對后一缺點，可用網格模型和點云模型進行參數化，重建參數域解決；這方面典型的工作見文獻[6-7]，其分別面向網格和點云。

通過上述改進方法，等參加工路徑的總長度雖有所降低，但問題仍然突出。為進一步降低路徑總長度，DING等[8]提出截平面法(截平面法被學術界正式提出之前，工業界已獨立應用該方法，但具體的算法步驟要么未披露，要么不夠系統)。其基本思路是將待加工自由曲面與一組平行面相交，然后以相交線為加工路徑，如圖4所示。除使用一組平面外，人們還嘗試過使用一組曲面與待加工自由曲面進行相交以生成加工路徑，如KIM和CHOI[9]提出的引導面方法中的投影操作在幾何上等價于求交。實際加工表明，截平面路徑較等參路徑具有更均勻的路徑疏密度，更小的路徑總長度。與此同時，截平面法具有可直接應用于網格和點云模型的優勢，如文獻[10-11]所提的方法。然而，截平面路徑仍未徹底解決路徑疏密不一致、冗余加工過多的問題。

圖4 截平面路徑規劃方法示意圖[8]

對上述問題，常用的改進思路有2個：曲面分割法和等殘高法。其中，曲面分割法將待加工曲面分為多個區域，然后在不同區域生成具有不同疏密度的截平面加工路徑，以此讓各自區域內的路徑疏密度盡量一致，其典型工作有HU等[12]提出的方法。顯然，該方法只能在一定程度上減輕截平面法缺點帶來的影響，不能完全解決問題，在各自區域內仍存在路徑疏密不一致、冗余加工過多的問題。然而，曲面分割的思想在加工軌跡規劃領域具有重要意義，最近這一思想又被重新挖掘出來，形成了近期基于方向場的加工軌跡規劃方法[13]。

等殘高法是一個能夠完全解決路徑疏密不一致和冗余加工問題的方法。其基本思路如圖5所示，主要包括2部分：

(1) 選定一條初始路徑(如某段邊界)并以此為基礎在待加工曲面上生成一簇偏移曲線；

(2) 在偏移時，相鄰曲線間的殘高保持恒定(即嚴格等于給定容差值，而不是像等參數法或截平面法中的不超過給定容差值)。

圖5 等殘高路徑規劃方法示意圖[19]

這一方法一經提出便受到廣泛關注，多個改進方案隨之被提出，FENG和LI[14]在提高計算精度方面做出工作，TOURNIER和DUC[15]在提高計算效率方面做了嘗試，WEN等[16]在工作應用范圍方面做了拓廣(如平底刀具，網格或點云曲面)。與此同時，針對不同的加工需求，人們還將之拓展到如圖6所示的多種拓撲形式[17]，如螺旋形加工軌跡適用于高速加工[18]。

圖6 加工路徑拓撲[7]((a)行型；(b)回型；(c)螺旋型)

等殘高法因徹底解決了冗余加工問題，具有相對其他方法較少的加工路徑總長度。然而，也存在兩方面問題：

(1) 加工路徑的總體形狀依賴于初始路徑的選取，其總長度也會有所不同，因此，還有改進空間；

(2) 等殘高加工路徑的生成依賴于偏移操作，而曲線偏移往往會在路徑上產生尖角，如圖7所示(藍色為初始路徑，黑色為偏移曲線)，因此等殘高路徑在光滑度方面還有優化空間。

圖7 曲線偏移導致尖角問題

針對這2個問題，人們提出了一系列優化方法，如最近的基于方向場的加工路徑生成方法[13]便是一種通過方向場的流線來對路徑進行優化選擇的方法。

1.2 新型加工路徑優化方法

針對初始路徑選擇的問題，其使用一種類似貪心算法的策略——所選取的初始路徑具有最優的加工條件，其他路徑仍然使用傳統偏移的方法得到。最優初始路徑的選取標準也多種多樣，經典的有最大加工帶寬(圖8)、最大/最小曲面曲率等。這類貪心策略有一個明顯的缺點，遠離初始路徑的加工路徑的最優性難以保證。

圖8 最大加工帶寬示意圖[2]((a)最大帶寬方向示意圖；(b)根據向量場生成最優初始路徑)

上述問題的一大改進策略是對曲面進行分割，然后在各個被分割區域分別選取最優初始路徑。由于被分割區域一般不大，初始路徑與區域內的其他路徑相距不遠，其最優性在一定程度上能夠被保證。傳統上曲面分割方法是直接對曲率、加工帶寬、運動學性能等加工性能指標進行自底向上的聚類或自頂向下的分類，最近的曲面分割的方法是通過將加工性能指標轉化成方向場(很多文獻中使用矢量場來描述這類方法，這是不嚴格確的，此類方法只利用了方向信息，不利用模長信息)，并利用場中的奇異點來對曲面進行分割，如圖9和圖10所示。場方法的依據在于奇異點分割出來的區域內部的流線一般具有很好的相似性[19]，這可以保持偏移路徑與初始路徑的一致性。

圖9 方向場奇異點示意圖[19]

圖10 基于方向場的曲面分割方法[13]((a)代表最優加工方向的方向場；(b)根據奇異分界對曲面進行分割)

利用方向場(或者說張量場，本質一樣)的奇異點來進行曲面分割的思想首先由文獻[13]提出。隨后，學者提出一系列改進方法[20-24]，主要沿著以下3方面展開研究：

(1) 向量場生成方法：將生成方向場的加工性能指標從最大加工帶寬推廣至最大材料去除率[20]、最大進給速度[21]、最小能量消耗[22]；

(2) 分割區域內路徑生成方法：將文獻[13]中的初始路徑人工選擇方法擴展至自動選擇方法[23]；

(3) 分割區域內路徑拓撲確定方法：文獻[24]將文獻[13]中的人工指定路徑拓撲方法擴展至根據流線形狀自動確定路徑拓撲的方法。

雖然基于方向場的加工路徑規劃方法取得了很好的效果，方向場也具有表示多種加工指標的優點，但仍有一個重要問題有待回答：按奇異點來分割曲面是否是全局最優分割，分割區域內路徑生成方法是否為全局最優？目前的方法在這兩方面均采用啟發式算法，其與全局最優路徑的關系尚未知。最近ZOU[25]提出了一種將方向場推廣至矢量場的方法，首次實現了路徑總長度的全局優化，但尚未包含其他加工指標的全局優化?？傊?，場方法未來仍有很大的改進空間。

與路徑長度優化相比，有關路徑光滑度的工作較少。初期的方法是在已有路徑基礎上對尖角部分進行局部修正[26]。這類方法具有實現簡單的優點，但也存在2個問題：①在修正處破壞了等殘高性質；②局部修正只能給出次優路徑，不是全局最優路徑。

近期提出的等水平方法[27]是一種加工路徑全局優化方法。與傳統方法不同，其采用隱式加工路徑表示方法(圖11)，并將各加工指標(如等殘高，最大帶寬)表達為能量函數，然后通過最小化這些能量函數獲得全局最優加工路徑，如全局優化殘高分布[27]、光滑度[28]、長度[25]等。這一方法與場方法的結合具有很大的發展潛力。

圖11 加工路徑隱式表示示意圖[27]

除上述方法外，基于拓撲形式的空間填充曲線、擺線等路徑生成方法[28]也得到了人們的廣泛研究。該類方法在自由曲面拋光、恒定材料去除率(material removal rate，MRR)切削等方面有較好地應用。另外，人們還將啟發式算法，如基因算法[29]、粒子群算法等，引入到加工路徑全局優化中。這部分工作雖然仍處于初期，但具有很大地發展潛力。

2 刀軸方向優化

相比于三軸數控機床，五軸聯動數控機床具有2個旋轉軸(圖12)，從而可以加工三軸機床所不能加工的工件，同時能夠以更高的效率和精度加工待加工曲面并提高表面質量。然而旋轉軸的存在導致在五軸數控加工中出現工件坐標系和機床坐標系非線性耦合的問題[30]，使得軌跡規劃比三軸加工時更為復雜。在五軸數控加工中除了需要規劃刀位點的軌跡外，還需要對刀具姿態(刀軸方向)進行規劃。

圖12 搖籃式五軸數控機床示意圖[30]

刀軸規劃一般需要實現2個目標：避免干涉和刀軸方向的光順。其中避免刀具干涉是基礎，因為刀具干涉將會產生刀具和工件或者周圍環境的碰撞，根據碰撞所產生的位置，大致可以分為全局干涉、局部干涉和尾部干涉(圖13)等情況(以下統稱為干涉)。刀具干涉會損壞機床或工件，嚴重的會影響生產安全。無論哪種干涉情況，都會對刀具和工件造成不可修復的損害，因此必須保證高速加工中的刀具與工件之間是無干涉的。另一方面，在加工曲面曲率較大的地方時，可能出現刀軸方向突變的情況(圖14)，同樣會影響加工效率和質量。因此需要對刀軸方向進行優化，保證整體刀軸方向是光順的，得到更高地加工效率和加工質量。

圖13 五軸加工中的3種干涉情況((a)局部干涉；(b)尾部干涉；(c)全局干涉)

圖14 刀軸方向變化示意圖[31]((a)光滑刀軸變化；(b)刀軸方向突變)

目前，刀軸優化的方法主要分為局部調整優化和全局優化。其中局部調整方法的思路是在設計好的刀軸附近作微小的調整，使得刀軸方向具有更好的連續性。而全局優化的方法則是在刀軸方向的無干涉區域內進行優化，主要是基于構型空間(C空間或V空間)的方法。

2.1 刀軸方向的局部優化方法

2.1.1 考慮誤差和刀軸方向的連續性

針對五軸折線段光滑過渡的工作主要考慮折線段連接處的光滑過渡處理。BI等[32]在機床坐標系中用一條三次Bézier曲線光滑移動軸路徑的拐角，再用一條Bézier曲線光滑轉動軸路徑的拐角(圖15)。2條曲線需要進行參數統一化處理，并能保證刀尖點和刀軸方向在工件坐標系中的誤差。TULSYAN和ALTINTAS[33]提出了一個解耦的方法，在刀尖點和刀軸方向路徑的拐角處分別插入五次樣條，且在工件坐標系下考慮允許加工誤差的約束，同時采用牛頓-辛普森迭代優化方法實現刀軸方向的光滑化和參數統一問題。YANGT和YUEN[34]在拐角處生成五次樣條光滑路徑，刀尖點路徑在工件坐標系中表示，而刀軸方向路徑在機床坐標系中表示，雖然實現了2條路徑參數的統一和誤差約束，但不能得到曲率極值點的解析解。HUANG等[35]提出了一個解析的拐角光滑化算法，刀尖點路徑在工件坐標系下進行規劃，刀軸方向在機床坐標系下進行光滑化，根據加工時間將2條曲線進行參數化統一。

圖15 機床坐標系移動軸和轉動軸拐角過渡曲線示意圖[32]((a)線性移動軸拐角過渡曲線圖；(b)轉動軸拐角過渡曲線圖)

2.1.2 刀軸的雙樣條表示和拐角光滑

此類方法用刀軸上2個點擬合得到的上下2條曲線來光滑化刀軸方向和刀尖點位置，以進行拐角處光滑處理。BEUDAERT等[36]提出拐角處用2條三次B樣條光滑過渡的方法，一條底部曲線定義刀尖點的位置，另一條頂部曲線定義刀軸上的第2個點(圖16)。用這2條曲線同時表示刀尖點位置和刀軸方向。并利用牛頓-辛普森迭代算法光滑刀軸方向的連接，得到較高的加工速度。SHI等[37]在工件坐標系路徑的拐角處插入一對滿足刀尖點位置和刀軸方向誤差的PH曲線，并通過優化控制點使刀軸方向的連續度更高。XU和SUN[38]在拐角處獲得更小的曲率和更高的加工速率，但在計算曲率極值點時計算耗時較大。

圖16 五軸加工拐角過渡及誤差示意圖[36]

2.2 基于C空間的全局刀軸方向優化方法

以下以搖籃式機床為例介紹基于C空間的刀軸優化方法。對于五軸數控加工，在局部坐標系中刀軸方向完全由俯仰角和傾斜角確定(圖17)。將三維空間中單位球的上半球映射到由俯仰角和傾斜角張成的二維平面，則平面上每個點都代表了空間中的一個刀軸方向。

圖17 局部坐標系與刀軸方向

在每個刀位點處，所有可行(無干涉)的刀軸方向組成的集合稱為該點處的構型空間，或稱C空間。為了在C空間內規劃刀具姿態，需要先算出每個刀位點處的C空間。但是，計算曲面上某點處的精確C空間是非常復雜和困難的。對于球頭刀，MORISHIGE等[39]將加工工件視為多面體，計算了球頭刀與多面體的碰撞邊界，進而計算出二維C空間(圖18)，最后將不可行的刀軸方向移動到C空間的邊界，從而生成無碰撞的刀軸方向。關于平底刀和環形刀的工作此處不再贅述。

求得每個刀位點的C空間后，刀位點序列的C空間就構成了一個三維的可行區域，刀軸優化問題就是在這個三維可行區域中選取一條連續的路徑，使得刀軸光順，利于高速高精加工。這方面有著豐富的研究工作。JUN等[40]提出一種搜索算法來計算C空間，并通過極小化刀軸突變來光順刀軸方向，能夠得到較好的結果。WANG和TANG[41]在限制刀軸變化角速度的情況下，通過構建可視圖(visibility map，V-map)來避免干涉問題，保證了刀軸角速度變化的一致性。LU等[42]考慮了抬刀高度，提出一種基于三維C空間的刀軸規劃方法，可同時考慮殘高和干涉情況。LIN等[43]在C空間中整體調整刀軸方向，以避免刀軸方向的奇異位置。

圖18 二維C空間示意圖[39]

在只考慮刀軸軌跡的光順性方面，HO等[44]利用四元數插值優化刀軸軌跡。CASTAGNETTI等[45]給出了可行方向域(domain of admissible orientation，DAO)的概念，將機床各軸的速度、加速度的限制融入刀具姿態的優化，進一步改善了刀具的運動性能。YE等[46]針對材料去除率和刀軸的二階運動學的連續性，將刀軸優化問題轉化為二階運動學約束下的時間最優插補的優化問題進行求解，得到了兼顧加工效率和加工質量的刀軸優化方法。文獻[31]將可行域進行離散后，利用圖論中的算法，生成比較光順的刀軸軌跡。文獻[47-48]為了得到更為光順的加工路徑，引入了差分圖的概念，得到二階光滑的刀軸路徑。這一方法適用于任意刀具，區別在于C空間的計算方法不同。該方法在求得每個刀位點的C空間后，將其離散化，得到每個刀位點處離散的可行刀軸方向。然后以可行刀軸方向為頂點，將相鄰2個可行域內的頂點進行連邊得到一個分層有向圖，每條邊以前后2個頂點的角度變化值賦予權重。利用 Dijkstra 算法，能夠找到圖中的最短路徑，并找到最短路徑上各頂點對應的刀軸方向，即為最終刀軸軌跡。這一方法的優勢在于得到全局優化的刀軸路徑的同時，通過修改C空間的結構，較容易避開機床的奇異位置。以分層圖的每個邊為頂點，以前后2個邊的角度變化的差(可以看成刀軸方向的二階微分)為權，構建一個差分圖。對其進行最短路徑求解，就可以得到最終兼顧角度的一階和二階光滑度的刀軸優化方向。ZHANG等[49]應用強化學習方法給出了一個刀軸方向的全局優化方法。

3 G代碼加工

在數控加工中，為了加工復雜曲面，通常使用小線段去逼近刀具的運動軌跡，因此小線段(G01)插補是數控加工中的核心問題之一。如果機床嚴格按照小線段所表示的路徑進行加工，為了滿足加工誤差，在線段拐角處的允許速度非常低，引起頻繁的加減速，降低加工的質量和效率。因此，目前小線段插補的方式主要分為以下幾類：

(1) 小線段拐角過渡插補，即在2個小線段處插入一段光滑曲線，達到光滑化刀具路徑的效果；

(2) 小線段擬合成光滑曲線，再對光滑曲線進行插補；

(3) 基于FIR濾波的過渡插補算法。

3.1 小線段拐角過渡方法

小線段拐角過渡方法分為2種。

第一種方式是根據加工誤差約束在拐角處插入一條曲線(圖19)，然后整體進行小線段和拐角處曲線的速度規劃。HAN等[50]在拐角處插入三次B樣條。SUN和ALTINTAS[51]在拐角處插入G3連續的雙Bézier樣條曲線，滿足加加速度有界和誤差約束。ZHANG等[52]使用G4連續的B樣條曲線在拐角處過渡，考慮了切向加速度以及加工誤差約束。以上方法所采用的這種方式雖然可以滿足加工誤差，也可以提高拐角處的加工速度，但是由于需要進行曲線的速度規劃，不能滿足實時加工的要求。

圖19 折線段拐角過渡示意圖[52]

第二種方式是根據加工誤差和拐角處局部滿足Bang-Bang最優控制為目標，確定一條以時間為參數的拐角過渡曲線。該曲線自動滿足加工誤差、機床動力性能約束且局部加工時間最短為優化目標的數學模型。該方法另外一個最大的優勢是自動生成速度規劃曲線，滿足第一種方式所不具備的高效計算，達到數控系統的實時加工要求。這種方式又分為加速度有界的速度規劃、加加速度有界、jounce有界、三角函數速度規劃方法等。DUAN和OKWUDIRE[53]在拐角處插入以時間為參數的NURBS曲線。LIN等[54]提出一種基于加加速度有界的拐角過渡方法，該方法同時考慮了機床各軸運動學性能和刀尖點的幾何誤差，不過未考慮轉動軸的幾何誤差。LI等[55]根據Sigmoid函數的特點，使用其作為拐角過渡曲線，滿足切向加速度以及幾何誤差約束。ZHANG等[56]在五軸數控加工時，在局部拐角處根據Bang-Bang最優控制目標，生成滿足加速度有界的拐角過渡曲線，根據整體前瞻算法，進行全局速度優化。該算法適用于五軸數控加工，并將加工路徑表示在五維空間中，通過將工件坐標系中拐角誤差轉化到機床坐標系，實現了誤差與機床各軸運動學性能的約束，且計算效率滿足在線加工的要求。

3.2 小線段擬合與插補方法

在三軸數控加工時，常用B樣條擬合刀具路徑，B樣條擬合一般采用最小二乘擬合方法和前進迭代逼近算法，最小二乘方法只考慮數據點間誤差，未考慮中間過程的誤差。這些方法得到的B樣條不以弧長為參數，CHEN和KHAN[57]使用最小二乘方法將B樣條轉化為以弧長為參數的曲線，但是折線與曲線間的誤差并沒有嚴格限制。在五軸數控加工時，刀位點和刀軸方向矢量需要同時進行擬合，相對于三軸數控加工，曲線擬合復雜度提高。目前已有的方法主要采用B樣條曲線、球面樣條曲線[58]和四元數曲線這3種方法。MIN等[59]在六維空間對五軸的加工數據進行B樣條擬合，滿足刀心點和刀位點以及刀軸方向的誤差約束。

然而，以上方法生成的曲線刀具路徑，在數控系統中需要進行速度規劃，轉化為以時間為參數的插補點序列，計算過程相對耗時，對于高次參數曲線較難達到實時加工的要求。為此，ZHANG等[60]將G01代碼表示的折線段利用二次樣條曲線進行擬合，然后通過分軸加速度有界的時間最優插補方式進行插補計算[61]，并給出了速度函數的顯示解，最終得到了誤差和機床運動學約束下的高效加工方式，優化了加工路徑和加工效率。

3.3 基于FIR濾波的小線段過渡插補算法

有限脈沖響應(finite impulse response，FIR)濾波器插補算法是實時的拐角過渡算法，其特點為不需要先確定拐角路徑、然后規劃拐角速度2個步驟，只需根據拐角誤差約束自動規劃拐角路徑和拐角速度。首先，規劃點到點的速度曲線時，勻速運動曲線經過2個線性濾波器卷積變成光滑的7段式速度曲線，可根據線段長度、加速度和加加速度約束等求得2個濾波器的延遲時間，從而確定具體的速度曲線，如圖20所示。然后，規劃連續路徑，為了提高運動光滑度和加工效率，將相鄰2個線段的速度曲線復合一部分，即前一段線段的運動還未完成時，提前開始下一段運動，這會導致拐角誤差，根據拐角誤差約束確定速度曲線復合段的時間，拐角速度和拐角誤差都可由相鄰2段運動的復合計算得到，從而完成連續線性路徑的插補。

圖20 基于FIR濾波器生成的點到點的速度曲線[57]

BIAGIOTTI和MELCHIORRI[62]提出用FIR濾波器規劃加加速度約束的點到點的速度。文獻[63-64]提出用FIR濾波器插補三軸連續線性路徑的實時算法。文獻[65-66]提出用FIR濾波器插補五軸連續線性路徑的實時算法。在五軸FIR濾波器插補算法中，濾波器分別用于刀位點和球形坐標表示的刀軸方向，通過統一用于刀位點和刀軸方向的濾波器的時間常數，實現各刀軸的運動統一。

除了上述幾類算法，還有其他相關的算法。如通過結合拐角過渡與擬合插補2種方式，對小線段進行分段，分為長直線段和連續的微小折線段，在連續的微小折線段處進行曲線擬合插補，在長直線段和微小折線段處進行拐角過渡處理。此外，針對特別微小的折線段，拐角過渡并不合適，YE等[67]針對這一問題，根據其幾何特征進行分段和速度標記，然后通過對分段的折線段進行加速度有界約束下的前瞻處理使得得到的速度可達，從而使得插補可以跨越多個微小折線段。

4 參數曲線的進給速度規劃方法

進給速度規劃是加工軌跡插補中最重要的過程之一，其目的在于在幾何和運動學條件約束下生成平滑的刀具運動進給率曲線，對加工過程特別是加工效率和質量方面具有重要影響。

在實際加工軌跡插補過程中，如何在滿足限制條件下，盡可能得到具有更高加工效率的進給率值，成為進給率規劃中重要的研究內容。主要的限制可以分為3類：

(1) 弓高誤差限制：相鄰插補點之間的直線與原曲線之間的偏差；

(2) 輪廓誤差限制：實際加工軌跡與理想加工軌跡之間的偏離；

(3) 加速度和加加速度限制：反映了驅動電機所能提供的最大扭矩以及提供扭矩變化的能力。

常用的進給速度規劃方法可分為加減速模型方法、優化方法和光滑進給一體化方法3類。加減速模型方法通常給定一個固定的函數類型，用來實現2個不同速度階段之間的平滑過渡，常用的函數類型包括梯形函數、S型函數、Sigmoid函數和三角函數等。對于給定的刀具軌跡，首先會選出一些間斷點和曲率極值點作為關鍵點，進而根據幾何與運動學的限制給出關鍵點處進給速度的上限值，并最終利用給定的函數類型，實現相鄰關鍵點之間的速度變化銜接。優化方法一般未給定固定的函數類型，通常使用一條或多條自由曲線來表示速度進給曲線。對于給定的刀具軌跡，通過采樣一些刀具軌跡點，以進給速度最大為目標，以幾何誤差和運動學約束為限制條件構造優化問題，并最終求解優化問題，得到刀具軌跡對應的進給速度曲線。光滑進給一體化方法則將刀具軌跡的光滑化處理和進給速度規劃合并為一步處理。經典方法包括有限濾波(FIR)方法、運動交疊方法和時間樣條方法等。

4.1 加減速模型方法

由于加速度的劇烈變化會導致加加速度過大，從而引起機床的不良振動，目前的加減速模型通?？紤]讓加加速度小于某個給定閾值，這個閾值是由機床特性決定的。ERKORKMAZ和ALTINTAS[68]首先提出使用形函數來生成加加速度受限的速度曲線，如圖21所示，在這個形曲線中，加加速度為階梯狀，且取值為最大值、零和最小值這三者之一。該形曲線由7段組成，加速階段3段，勻速階段1段，減速階段3段組成。該形曲線能實現2個不同速度之間的平滑過渡。在JAHANPOUR和ALIZADEH[69]提出的方法中，一個2連續的5次Bézier函數被用來生成加速度和加加速度均連續的速度曲線。JIA等[70]提出了速度敏感區域的概念，在速度敏感區保持勻速，在過渡區平滑過渡不同速度敏感區的進給速度，減少了進給速度的變化頻率，提升了加工質量。

為了生成更光滑的進給速度曲線，一些加加速度連續、加加速度的導數(簡稱振動)受限的模型被提出。FAN等[71]提出了由15段構成的進給速度模型，其中加速階段7段，勻速階段1段，減速階段7段。該速度模型中，振動為階梯狀，且取值為最大值、零和最小值這三者之一。ZHANG和DU[72]對上一模型進行了簡化，刪掉了加(減)速階段中加加速度恒定的2段，使得相關時間參數的計算過程得以簡化，但是總體插補時間有小幅度增加。WANG等[73]將7段的形函數簡化為5段，即不存在加速度恒定階段，并使用三角函數代替階梯函數，實現了加加速度的連續。由于該模型的分段數目大大減少，相關時間參數的計算過程被簡化。但是由于三角函數中，加加速度僅在少數幾個點達到極大值或極小值，總體插補時間也會有小幅度增加。

圖21 S形函數的運動學輪廓[68]

4.2 優化方法

SUN等[74]提出了一種考慮幾何、工藝和驅動約束的五軸加工進給速度調度方法。首先利用限制弦誤差、角速度和軸速度構建初始進給速度曲線。然后，對進給速度敏感區域進行比例調整，以同時減小角加速度、線加速度、軸加速度和急動等約束的大小(圖22)。由于涉及迭代調整，該方案無法實時實現。后SUN等[75]又提出了一種對相鄰B樣條進給速度曲線具有2連續性保證的分段線性規劃方案，以實時解決進給速度調度優化模型。然而，在上述方法中，五軸刀具軌跡曲線是用歸一化弧長參數進行參數化的，這是一個相對較強的條件，需要提前對刀具軌跡弧長參數化。此外，針對雙機器人對雕刻曲面零件的同步加工，SUN等[76]建立了雙刀具路徑上對應點之間的同步映射關系，求出保證兩刀同步運動的約束條件。然后，建立了具有加加速度和同步約束的時間最優同步進給調度模型，該模型可以充分利用機器人的運動學性能，并充分保持刀具的切削性能。為了進一步加快非線性模型的求解過程，構造約束相對于進給速度平方的線性關系，從而使用線性規劃算法來實現進給速度曲線的精確表達。

圖22 比例調整的進給速度優化方法[75]

LIU等[77]通過使用原始連續目標函數的離散格式，推導出了用于優化進給速度的線性目標函數。然后，將預設的多約束近似為線性目標函數中決策變量的線性約束條件。進給速度優化的線性模型可以通過成熟的線性規劃算法進行求解，最優解被擬合到光滑的樣條曲線上，作為最終的進給速度曲線。為了保證弗勒內-塞雷(Frenet-Serret)框架下各種約束均被滿足，YE等[78]首先將參數曲線形式的刀具軌跡弧長參數化，并分析了在Frenet-Serret框架下速度、加速度和加加速度的約束。然后引入時間最優方法在時域生成采樣點，并將時間最短為優化目標的優化模型轉換為以速度的平方和最大為優化目標的優化模型，采用線性方程求解該模型的次優解，并采用三次B樣條擬合采樣點處的速度，最終得到進給速度曲線。

YUAN等[79]提出弓高誤差、進給速度和切向加速度界下的時間最優插補算法和弓高誤差和切向加速度界下的貪心插補算法。其核心思想是將弓高誤差限制在向心加速度限制上，從而得到速度極限曲線，稱為弦誤差速度極限曲線。然后，速度規劃是在弦誤差速度極限曲線下，找到由加速度或加加速度限制的適當速度曲線，如圖23所示。

4.3 光滑進給一體化方法

LIU等[80]提出了一種在工業五軸機床中連續插補G01指令的方法。采用有限脈沖響應(finite impulse response，FIR)濾波器來生成線性段的時間最優和加加速度限制的軌跡，其中平移運動和旋轉運動分別在WCS和MCS中進行過濾。并建立了一個縮放原則使平移和旋轉運動相對于FIR濾波器的持續時間同步，同時最小化循環時間。與現有的兩步幾何方法不同，G01指令通過一步直接重疊相鄰的運動學曲線來連續插值?；谒岢龅娜菰S面積概念，通過調制相鄰2段的重疊時間，將拐角誤差限制在給定范圍內。為了確保軸向和切向運動學約束均得到很好的保持，提出了一種新的預測和校正方案來預測平移運動的最大可達切向運動學約束，同時校正最大可達到的旋轉運動的軸向運動學約束。TAJIMA和SENCER[81]提出了一種新穎的在線奇點避免的5軸機床實時軌跡生成技術。其中平移和旋轉刀具運動由進給脈沖信號表示，并經過低通濾波以產生具有受控頻譜的同步平滑運動。過渡誤差通過調節進給速度來控制，降低進給率可減少過渡錯誤。因為路徑混合控制和進給率規劃是共同實現的，這為進給速度規劃打開了新的潛力。該算法，通過直接卷積2個串聯的FIR濾波器鏈來保證進給速度曲線的全局切向平滑度。為了控制過渡誤差，分析了濾波誘導誤差的原理，該誤差可以通過進給參數和曲率半徑來計算，并在軸向運動學約束之外增加了最大誤差作為額外的約束。

圖23 速度極限及其構成的速度函數[79]((a)弦誤差速度極限曲線；(b)進給速度曲線)

ZHANG等[82]使用一步過渡軌跡生成策略，其以時間為參數的二次曲線，且在一定意義下是時間最優的。此外，該算法還考慮了合理的軸向加速度限制，并提出了一種新的拐角過渡模型，以充分利用拐角誤差，過渡路徑是由最大軸向加速度和最大誤差容限確定的時間參數化二次曲線。TAJIMA和SENCER[83]提出了考慮加加速度限制的對稱運動學轉角平滑方法，該方法直接規劃了在轉角處的加加速度限制的進給率曲線實現局部轉角光滑。并基于局部光滑方法針對連續微小線段提出了全局的光滑方法，通過對局部光滑進給率延長或合并，在滿足角度誤差的前提下實現全局的光滑。ZHANG等[84]使用對稱的加加速度限制模型進行每段直線軌跡的進給率規劃，然后對轉角過程運動交疊的幾種情況進行分析，將軌跡光滑問題轉化為運動時間優化問題，在滿足轉角誤差、各軸加速度和加加速度的限制條件下，計算每段直線上的切向加加速度，隨后將這種方法推廣到五軸的情形上。為了充分利用各軸的運動特性，WANG等[85]提出了一種局部非對稱運動角平滑方法，其中局部轉角光滑的進給速度是非對稱的，這意味著減速和加速過程的位移可以按照相鄰直線段的位移大小進行調節。

隨著人工智能技術的蓬勃發展，相關理論與方法也陸續被應用到進給速度規劃中。如粒子群優化方法[86]和遺傳算法[87]。人工智能方法在多目標和多約束優化中具有天然的優勢。即：在目標函數中增加相應的項，就可以起到對多個不同目標的約束；在模型中增加相應的條件，就可以對高階、非線性的約束起到良好的限制效果。人工智能方法在數控加工中的實時應用，將會是未來發展的一個重要方向。

5 新型加工優化

在數控機床的快速發展過程中，人們在實際加工中對各個流程的精度與效率提出了更高的要求，因而涌現出了眾多的新型加工優化算法。下面本文將從CAD，CNC的22個方面介紹目前最新的一些數控加工方法。

5.1 CAD：滿足加工約束的新型自由分片逼近

七十年代，計算機開始應用于汽車、艦船和航空、航天工業，由此催生了計算機輔助設計(CAD)這一領域。但是，早期的奠基者多是工程師和計算數學家，其設計的CAD理論和方法只考慮了拓撲簡單的局部曲面設計，未考慮復雜拓撲曲面的整體設計，以及相應的加工特性約束，從而導致在后續的流程中，加工設計好的曲面，需要手動進行多項安全測試(如刀具防碰撞檢測等)，從而間接降低加工效率。為此，有學者提出，在實際加工中，給定曲面進入到CAM環節之前，對其進行一系列的加工可行性分析。在滿足誤差約束的前提下，對曲面進行分片逼近，使得輸出的結果可以直接用來加工。

在規劃刀具路徑之前，需要先配置一個刀具加工方向，此時待加工曲面上任意一點的外法向量與刀具加工方向的內積必須大于0。所以在加工一個完整的復雜曲面時，由于數控機床加工空間受自由度的限制，幾乎不可能僅靠一個刀具方向來加工完成。且需要對這個復雜曲面進行分片處理，然后在每一片上進行路徑規劃并加工，如圖24所示。

圖24 數控加工流程示意

通常情況下，上述如規劃全局加工流程、保證刀具可達性等任務是交給富有經驗的數控工程師來手動完成。然而，隨著3D建模能力的增加以及由此產生的待加工曲面的復雜性使得手動任務愈加困難。因此，許多計算機圖形學文獻研究了如何將曲面或銑削體自動分解為適合數控加工的若干曲面片。

而基于高度域(height field)的曲面分片方法無論是在算法效果，還是發展潛力方面均最具代表性。此類方法中，輸入的自由曲面的表達形式一般為三角網格模型=(,)。表示三角網格的頂點集合以及各自的對應坐標。而網格內的三角形可表示其頂點索引。目標是將三角網格模型分割成少量的曲面片，以便每個曲面片都適合用于數控加工，且滿足約束

其中，E為給定曲面分割出來的曲面片，如果滿足以下所提的5個加工約束，則稱之為高度域。

(2) 體積約束：大多數數控加工設備對毛胚都有體積限制，即長、寬、高不能不超過機床容許最大值[88]。而這個約束同樣適用于各曲面片。

(3) 可達性(accessibility)約束：在數控加工中，需要無碰撞地加工曲面。在待加工曲面上任意一點都有一個方向集合，且包含所有在該點加工時刀具與曲面無碰撞的方向。這個集合被稱為可達性錐(accessibility cone)[89]。圖25顯示了二維平面下的錐體，而在三維空間該集合往往會形成一個圓錐體。一個三角形上所有點的可達性錐的交構成了這個三角形的可達性錐。一個曲面片E滿足可達性約束，即為E上所有點的可達性錐的交不為空集。

圖25 2個點處的可達性錐(以二維平面為例)：用黑色實線表示的方向為可達性錐的邊界((a)點A處的可達性錐；(b)點B處的可達性錐)

(4) 曲面片數量約束：在加工一個完整的復雜曲面時，由于數控機床加工空間自由度的限制，幾乎不可能僅靠一個刀具方向完成加工。因此需要對這個復雜曲面進行分片處理，然后在每一片上進行路徑規劃并加工。每加工一個分塊后的曲面片，就需要對刀具進行一次裝卡定位。這樣的操作費時費力，所以總希望裝卡定位操作的次數盡量少，也就是說，分塊的曲面片數量要盡量少。因此，應該將待加工自由表曲面分割成少量的曲面片，即為曲面片數量約束。

(5) 邊界約束：在曲面分塊后，需要在各個曲面片上生成刀具加工路徑。而現有的很多刀具路徑生成算法都會基于曲面邊界做偏置生成路徑軌跡。因此，曲面片邊界的光滑性影響著刀具路徑的質量。擁有太多拐點的邊界可能會導致這個曲面片上生成的路徑軌跡也充滿了拐點，從而降低了進給速度，影響加工效率。因此，每個曲面片的邊界必須足夠光滑，這就是邊界約束。

在給出相關約束后，高度域方法將曲面分片問題轉換成一個離散的打標簽(即對于每一個三角形，給定一個合理的方向標簽)問題，并根據相關約束定義能量函數。之后，此類方法根據三角網格的拓撲連接關系建立加權連通圖，如圖26所示，并利用求解連通圖的最小割來最小化能量函數，進而完成曲面的分片，得到各高度域。

圖26 加權圖的例子(以一維為例)：代表三角形的面片節點集合為{p,q,r,s}；p的標簽為d1；q和r的標簽為d2；s的標簽為α

遵循這一思想的第一個方法是由ALEMANNO等[90]提出的曲面分片方法。然而該方法未考慮曲面的裝卡環節，需要用戶人為指定各個曲面片的裝卡加工方向。在此基礎上，文獻[88]總結相關加工特性約束(約束1，2，4)，給出可用于減材制造加工的曲面分片方法，并通過最小化曲面片邊界長度來間接滿足約束4。之后，該方法通過局部滿足誤差的微小變形，來保證各曲面片滿足約束3。

FANNI等[91]提出了一種基于多邊形立方體映射(polycube mappings)的曲面分片方法，并分析了增材制造和減材制造分片的可加工性，同時考慮了3軸和4軸銑削。由于該方法不考慮與減材制造相關的特定約束，所以最終分片結果在實踐中證明僅對增材制造是可行的。MUNTONI等[92]提出的方法通過將曲面分片這個離散的約束優化問題重新定義為一個連續函數的無約束優化，從而計算得到一組可能重疊的高度域曲面片，并且其共同覆蓋了模型表面。之后，將無重疊的分片計算問題轉換為連通圖上的排序問題，并通過循環消除和拓撲排序的組合來求解。該組合算法計算得到了一組緊湊的高度域，在用戶給定的誤差范圍內共同描述輸入模型。YANG等[93]為了提高加工效率，采用了一種更通用的雙高度域(double height field，DHF)切片方法來取代單一高度域分片。各高度域由雙曲面片組成：首先銑削一側的曲面，然后使用適當的夾具翻轉工件，銑削剩余的第二個曲面片。該方法使用了一種高效的由粗到細的分片過程：首先將輸入曲面劃分為最優數量的滿足特定切削方向下雙高度域約束的區塊，然后將每個區塊切割成滿足體積約束的DHF切片。通過最小化DHF切片數量和最大化切片高度，該方法可以有效提升加工效率。然而，上述3種方法將待加工的模型進行了體素分解，并逐次使用3軸機床加工各個曲面塊。之后，用戶必須在加工完成后組裝部件，以獲得最終的3D模型，導致工件上存在可見的接縫，降低了加工質量，如圖27所示。

為了避免拼接過程中產生的不必要的縫隙，文獻[89]提出了基于3+2軸機床的曲面分片算法，并提出了可達性約束(約束3)，從而有效避免曲面片與刀具發成碰撞。該方法使用了3+2軸機床進行分片加工，即在加工時，2個旋轉軸先將切削刀具定位到編程位置，再由進給軸，，軸進行加工。在加工期間2個旋轉軸保持不變，之后重復上述過程，直到工件被加工完成，從而有效避免3軸機床加工后的拼接縫隙問題。該方法首先基于約束1，2，4生成高度域，其次基于約束3生成可達性區域。之后將高度域與可達性區域利用最小覆蓋集合問題(set-cover problem)相結合得到滿足加工約束的曲面片。文獻[89]的方法首次保證了在多軸減材制造領域中分片算法的可行性。類似地，NUVOLI等[94]提出了針對無邊界模型的4軸機床曲面分片算法。此類型的機床設置擴展了經典的三軸數控加工，增加了一個圍繞固定軸旋轉物體的額外自由度。該方法首先根據整體加工制造精度約束確定旋轉軸；其次，在旋轉軸的2個端點處確定相應的高度域，用于裝卡；最后，將網格的剩余部分分割成一組高度域，其加工方向與旋轉軸垂直，并且分割時考慮了約束4、約束5以及擬合逼近質量。此外，分片過程充分考慮了對象的幾何特征，以及顯著性信息。最終輸出一組網格曲面片，可由現成的軟件處理，用于生成3軸刀具路徑?；诟叨扔虻那娣制椒ㄔ谒惴ㄐ室约凹庸そY果方面都有很好的表現?，F有該類型算法的基礎框架均基于文獻[88]的思路進行開發。然而，該算法理論是不完備的，如能量函數中的雙變量項不是度量的。而根據BOYKOV等[95]的理論，這可能會導致最小割的權值(代價)不等于能量函數的最小值，從而導致算法的分片結果與能量函數的不對應。

圖27 文獻[92]方法的加工結果：可以看出，拼接后的模型存在明顯縫隙((a)加工結果的側視圖；(b)加工結果的背視圖；(c)加工結果的各個曲面片；(d)曲面分片的模擬結果)

5.2 CNC：針對加工路徑的一體化插補算法

目前針對加工路徑(離散G代碼或者參數曲線)的傳統進給速度規劃及插補算法主要分為2個流程：后端：對加工路徑進行特定指標下的最優速度規劃(當加工路徑為參數曲線時，多為離線步驟)；前端：使用后端得到的速度曲線進行實時插補，如圖28所示。傳統流程能夠很好地勝任加工任務，但是存在步驟冗余繁瑣、算法編程復雜、插補環節容易出現數值誤差(這是由于在插補環節，一般使用高階多項式展開，一般為二階泰勒展開，去逼近原速度函數，而在此過程中，如果階數太低，逼近函數與原函數之間容易產生誤差)等諸多問題。因此，相關學者分別從理論驅動和數據驅動2個方面提出了針對加工路徑的一體化插補算法，從而有效避免上述問題地產生。下面，本文將逐次介紹兩類方法。

圖28 傳統進給速度規劃及插補算法流程[96]

5.2.1 理論驅動的一體化插補算法

在數控加工中，加工路徑常用G01代碼(連續的折線段)表示，直接插補會導致加工效率低和機器振蕩。為避免這一問題，常采用以下2種方法：一是局部光滑方法，對折線路徑的每個拐角做光滑過渡處理；二是整體光滑方法，將整條路徑擬合為參數曲線，然后在參數曲線上規劃速度。上方法均需要路徑光滑和速度規劃2個步驟，計算復雜。

YANG等[97]提出一種新的理論驅動的一體化插補算法，即時間樣條擬合方法。該方法將路徑光滑化和進給速度規劃合為一步完成，得到的擬合曲線以時間為參數，既包含位置信息，滿足高精度的誤差約束，又包含速度信息，滿足運動約束，且是“bang-bang”控制的，充分利用了機床各軸的運動性能，并且可以直接用來插補。

LIN等[98]將時間樣條推廣到三維情況，并引入了機床的速度、加速度和加加速度約束。為了實現高精度的輪廓誤差控制，給出了折線與曲線間精確的Hausdorff距離計算公式。而申立勇等[99]則將時間樣條曲線方法擴展到五軸數控加工中，使用五維三次B樣條曲線去擬合機床坐標系的G代碼。曲線由控制點和節點向量確定，曲線的1～3階導數即各軸的速度、加速度和加加速度。由機床坐標系和工件坐標系的變換關系，可得到擬合曲線在工件坐標系的參數表示。因此可通過控制工件坐標系下擬合曲線與數據點的誤差和機床坐標系下擬合曲線的速度、加速度以及加加速度，以加工時間最優為目標，優化樣條曲線的控制點和節點向量，得到一條充分利用機床運動性能和高精度誤差控制的路徑。綜合上述方法，袁春明等[100]提出了時間樣條曲面的概念，即利用一個參數方向來描述加工路徑(對原有曲面進行重新參數化，使得等參數對應于等殘高)，而每條加工路徑則用時間樣條曲線來描述，從而將CAD，CAM，CNC統一起來，實現對自由曲面的一體化加工。

綜上，時間樣條方法可用于三軸和五軸聯動加工，充分考慮加工過程中的相關約束，采用整體優化方法，求解最優的擬合路徑和速度曲線，最終可由擬合曲線和插補周期直接得到插補點，是實現一體化的高精、高效加工新模式。

5.2.2 數據驅動的一體化插補算法

隨著近幾年人工智能的快速發展以及在工業領域中的廣泛應用，越來越多的學者投入到其中進行研究，從而對多個行業產生了深遠影響。因此，基于數據驅動的一系列研究快速崛起?；诖?，文獻[96]將強化學習引入到速度規劃中，提出一種基于神經網絡的插補光滑算法(neural-network numerical control，NNC)來處理G代碼加工路徑，以實現CNC的高效一體化加工。圖29展示了NNC的算法框架?？梢钥闯?，NNC直接利用訓練好的神經網絡來輸出每個周期的插補點，從而省去中間很多的計算步驟，實時性更強。所以該方法可以分為訓練過程和運行過程2個部分。而對于訓練部分，算法利用強化學習來訓練神經網絡，因為輸入的原始數據只有加工路徑，屬于無標簽數據，所以需要使用無監督學習方式。

圖29 NNC算法框架[96]

強化學習是一種試錯方法，其目標是讓智能體(agent)在特定環境中能夠采取回報最大化的行動，做出當前最優決策。其組成部分主要包括：智能體、行動(action)、環境(environment)、狀態(state)和獎勵(reward)。其中，環境是能夠將當前狀態下采取的行動轉換成下一個狀態和獎勵的函數；而智能體(一般為神經網絡)則可以將新的狀態和獎勵轉換成下一步行動?？稍O定智能體的表示形式，但是無法知悉環境的顯式表達。所以，環境是一個只能看到輸入輸出的黑盒子，而強化學習則相當于嘗試用智能體逼近環境函數，這樣就能根據其做出最優決策。

此類型算法近幾年展示出了巨大的潛力，其優勢在于可以高效實時地進行一體化加工插補，但是其未充分考慮運動學約束，導致路徑的加速度曲線發生超界，引起機床震顫，從而降低加工質量與效率，且該方法只能處理簡單的三軸加工路徑。所以此類方法未來的一個發展趨勢是，構建具有微分結構的神經網絡，使得生成的速度曲線滿足各項運動學約束，并且考慮五軸G代碼的路徑加工。

6 未來展望

目前我國處于制造業突破瓶頸的關鍵時期，針對自由曲面的高效高精數控加工理論與核心技術的突破能有效提升我國工業核心競爭力。隨著數控加工技術的快速發展，人們對其加工效率以及加工質量的要求也越來越嚴格。而當前的數控加工流程是自由曲面(CAD)—加工路徑(CAM)—插補點(CNC)，即面-線-點。隨著流程的逐步遞進，工件在CAD階段的一些重要幾何特征(如高階曲率信息)會逐漸丟失。目前對于比較復雜的自由曲面，人們往往以三角網格表示形式作為CAD的輸出。三角網格結構簡單，應用成熟，但是使用其表示的自由曲面會丟失高階幾何連續性，而這些信息正是CAM階段所需要的。然而隨著幾何特征的丟失，只能依據現有的三角網格拓撲性質，通過各種擬合手段，來近似逼近原曲面的幾何信息。因此會造成較大的工件精度誤差，并且帶來大量不必要的計算負擔，進而嚴重降低加工效率。同時，在CAD，CAM和CNC階段，均需要通過求解一系列優化問題，令求解對象滿足各項加工特性約束，從而使得整個流程結構冗余，操作繁瑣。

所以數控加工行業未來的一個重要發展趨勢是將CAD，CAM和CNC深度融合，建立自由曲面一體化加工理論與算法的思路，從而打破傳統生產模式中“設計-規劃-加工”中存在的壁壘。也就是說，在設計與優化曲面表示時，可通過加入加工特性約束以及機床性能約束，求解多目標優化問題，并得到面向CAM的可加工樣條曲面。該曲面可以生成一簇等參線，兩兩之間滿足CAM中的一系列加工特性約束，并且各等參線以加工時間為參數，在滿足運動學約束和幾何誤差約束的前提下，達到時間最優，進而可以直接輸入到機床進行插補加工。同時，相關研究可以從理論驅動和數據驅動2個方面展開，實現“數據驅動理論，理論指導數據”的完整研究鏈條。

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A survey of path planning and feedrate interpolation in computer numerical control

MA Hong-yu1, SHEN Li-yong1, JIANG Xin2, ZOU Qiang3, YUAN Chun-ming4

(1. School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 2. Key Laboratory of Mathematics, Informatics and Behavioral Semantics, Institute of Artificial intelligence, Beihang University, Beijing 100083, China; 3. State Key Lab of CAD&CG and the College of Computer Science, Zhejiang University, Hangzhuo Zhejiang 310027, China; 4. Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Numerical control technology is widely employed in the modern manufacturing industry, and related research has been emphasized by academia and industry. The traditional process of numerical control technology is mainly composed of tool path planning and feedrate interpolation. To attain the machining of high speed and precision, several problems in tool path planning and feedrate interpolation are usually transformed into mathematical optimization models. In view of the complexity of engineering application problems, stepwise iterative optimization method is used to address the problems, but the results are usually only locally optimal. Secondly, both tool path planning and feedrate interpolation are designed to process a workpiece surface. Although the calculation is simplified into two steps, the overall optimization cannot be achieved. Therefore, in order to better undertake the research on the integrated design and optimization idea of tool path planning and feedrate interpolation, it is necessary to systematically review and drawn on the existing representative works. We will introduce the relevant methods and technical progress of tool path planning and feedrate interpolation in CNC machining successively, including tool path planning based on end milling, tool orientation optimization, G-code processing and corner transition, feedrate planning of parameter curves, and some new machining optimization methods proposed recently. Among them, the tool path planning methods can be briefly classified into four categories: iso-parametric methods, iso-planar methods, iso-scallop height methods and the newly proposed methods based on vector field. The tool orientation optimization methods can be divided into local optimization methods considering error constraints and global optimization methods based on C-space. And the recent related work of G-code processing and corner transition mainly includes: micro line segments corner transition methods, spline based global fitting methods and finite impulse response-based methods. For parameter curves, the corresponding feedrate planning methods mainly include acceleration/deceleration-based methods, optimization-based approaches and the methods of integrating smoothness and feedrate. After that, we will introduce some emerging methods and techniques like surface segmentation for subtractive/additive manufacturing and the integrated interpolation methods for tool paths.

computer aided manufacturing; numerical control; tool path planning; feedrate interpolation; G-code processing

O 29；TP 391；TG 50

10.11996/JG.j.2095-302X.2022060967

A

2095-302X(2022)06-0967-20

2022-07-30；

：2022-10-18

北京市重點專項課題(Z190004)；國家重點研發計劃課題(2020YFA0713703)；國家自然科學基金項目(11688101，61872332，62102355)；浙江省自然科學基金項目(LQ22F020012)；中央高?；究蒲谢?/p>

馬鴻宇(1993-)，男，特別研究助理，博士。主要研究方向為計算機輔助設計、計算輔助制造。E-mail：mahongyu@ucas.ac.cn

申立勇(1977-)，男，教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計、數控技術等。E-mail：lyshen@ucas.ac.cn

30 July，2022；

18 October，2022

Beijing Natural Science Foundation under Grant (Z190004); National Key Research and Development Program of China under Grant (2020YFA0713703); National Natural Science Foundation of China (11688101, 61872332, 62102355); Natural Science Foundation of Zhejiang Province (LQ22F020012); Fundamental Research Funds for the Central Universities

MA Hong-yu (1993-), research assistant, Ph.D. His main research interests cover computer aided design and computer aided manufacturing. E-mail：mahongyu@ucas.ac.cn

SHEN Li-yong (1977-), professor, Ph.D. His main research interests cover computer aided geometric design and computer numerical control, etc. E-mail：lyshen@ucas.ac.cn