問題與征解

問題

(i)證明：PA(m)是以m為變量的多項式；

(ii)證明：PA(m)的階數degPA(m)是A的相似不變量；

(iii)計算degPA(m)，用A的若當塊的階數表示.

問題22(供題者:吉林大學 周鳴君) 設n≥2，Ω∈n是有界區域，

p(x)=xTAx+bTx+c，

其中，A=(aij)是n×n階實矩陣，x和b是n維列向量，c是常數.若a11a22

解答

問題11(供題者: 復旦大學 嚴金海) 設f為上的非線性連續函數, 稱x0∈為f的嚴格凹支撐點, 若存在k∈,使得f(x)>f(x0)+k(x-x0), ?x∈{x0}.類似地, 稱x0∈為f的嚴格凸支撐點, 若存在k∈,使得f(x)

解本解答由張神星(合肥工業大學副研究員,E-mail: zhangshenxing@hfut.edu.cn)提供.

(i)當k1

(ii)當k1>k2時,f必有嚴格凸支撐點, 無嚴格凹支撐點；

(iii)當k1=k2時, 各種情形都有可能.

不難看出,x0是f的嚴格凹支撐點當且僅當存在k使得

f(x)-kx>f(x0)-kx0,?x≠x0.

換言之,x0是函數gk(x)=f(x)-kx的唯一最小值點.凸的情形類似.

(i)設k1

由于gk是連續函數, 因此它存在最小值.

我們斷言, 存在k1

于是k′(dk-c)f(dk)-f(c)k(dk-c),故cdk.因此ck

(ii)此時-f滿足(i)中的條件, 從而易證.

(iii)由(i)最后一段論述可知若f有嚴格凹或凸支撐點, 則對應的k只能是k1=k2.由此不難得出:

f1(x)=k1x+arctanx, 無嚴格凹和凸支撐點.

供題者點評解答正確, 其將單調性與可列性結合得到唯一性的方法非常巧妙.