基于彈性降階變換法求解一類可化為Legendre方程的微分方程初值問題

李順初,邵東鳳,范 林,劉 盼,付雪倩,桂欽民

(1.西華大學 理學院，四川 成都 610039；2.北京東潤科石油技術股份有限公司，北京 10029)

對于非線性微分方程的求解，Bisso[1]提出了一種基于非線性因子分解的新方法來求解一類非線性常微分方程；李建祥等[2]總結了一些可用變量替換簡化為易求解的一階常微分方程與高階微分方程的類型及其解法；Mohyud-Din等[3]提出了微分變換法；Ahmed等[4]介紹了一種基于積分函數的指數形式的變換求解二階常微分方程(OLDEs)通解的新方法；楊榮霞等[5]給出了一類可以使用升階法求解的二階非線性微分方程.過往研究的求解非線性微分方程的方法有很多，可以看出求解非線性微分方程的方法是不斷創新的.

在經濟學中，Marshall[6]首次提出了需求彈性的概念，肖人俊等[7]得到了供需價格彈性公式.之后，Woods等[8]給出了彈性的數學表達式.彈性變換是導數在經濟學中的一個重要應用，是微分學在經濟分析中一種有效可行的方法[9]，它廣泛應用于無標度網絡模型[10]、空中交通需求彈性評價方法的比較[11]、油藏[12-14]等領域.

目前已有作者嘗試利用彈性變換法求解微分方程，但他們只是針對Laguerre方程[15]和Chebyshev方程[16]進行了研究.本文針對通過彈性降階變換法可轉化為Legendre方程初值問題的微分方程進行求解.首先，給出了彈性的定義及其相關性質；然后，利用彈性降階變換法將一類三階非線性常微分方程初值問題轉化為Legendre方程初值問題進行求解，并總結了其求解步驟；最后，給出相應結論與進一步的認識.

1 預備知識

定義1 每一個函數y=f(x)關于其對應的自變量x均存在彈性，即當函數y=f(x)可微且f(x)≠0時，有

(1)

稱η是函數y=f(x)關于x的彈性函數，稱函數y=f(x)是彈性函數的原函數，而稱η在某一定點x0處的值ηx0為函數y=f(x)在該點處關于x的彈性系數，彈性η表示因變量y對自變量x的相對變化率.

引理1(導數的彈性表示)若η是y的彈性函數，且η二階可微，y三階可微，當x≠0，y≠0時，則有[16]

(2)

(3)

(4)

(5)

稱為彈性逆變換，其中x,y≠0.

引理3[17]Legendre方程

(1-x2)y″-2xy′+μy=0(-1

(6)

其中μ為參數.

當

μ=l(l+1)，(l=0,1,2,…)

(7)

時，Legendre方程的通解為

y=APl(x)+BQl(x)，

(8)

其中A、B為任意常數，

(9)

(10)

Pl(x)是Legendre多項式；Ql(x)是第二類Legendre函數，在|x|=1有奇性.

2 彈性降階變換法及可化為Legendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問題

2.1 主要定理及其證明

定理1對于如下一類三階非線性常微分方程的初值問題：

(11)

其中λ為參數，x,z≠0.當μ=l(l+1)時，其特解為

(12)

其中

(13)

(14)

C=z0.

(15)

證明對式(11)作微分變換,

(16)

其中y是z的彈性函數.根據引理1，有

(17)

(18)

(19)

把式(17)～(19)代入式(11)中的三階非線性常微分方程，則可將其關于z～x的三階非線性常微分方程降階為關于y～x的Legendre方程(6).

將式(17)、(18)帶入式(11)的初值條件

(20)

則有

(21)

解得

(22)

因此，我們可將一類三階非線性常微分方程初值問題轉化為Legendre方程初值問題：

(23)

由引理2可知，當對式(11)作微分變換時，原方程的解為：

(24)

當μ=l(l+1)時，將方程(6)的通解(8)代入式(24)，得方程的通解

(25)

將x=x0代入式(25)得

C=z0,

(26)

由引理3可知，當μ=l(l+1)時，Legendre方程(6)的通解為式(8)，將式(8)代入(23)的初值條件(22)，有

(27)

根據克拉默法則可求得

(28)

(29)

將A、B、C的值帶入式(25)，即可求得初值問題的特解，證畢.

微分變換(16)被稱為z～x的方程初值問題的彈性降階變換，利用導數的彈性表示(17)、(18)、(19)將其降階為低一階的y～x的常微分方程初值問題，若降階后的微分方程可解，則原微分方程初值問題可解.這種通過彈性降階變換而獲得微分方程初值問題解的方法，稱之為彈性降階變換法.

通過定理1及其證明可知，如果要求解的三階非線性微分方程不易求解，那么可以通過彈性降階變換法將其初值問題轉化為二階微分方程初值問題，若此二階微分方程可解，則原三階非線性微分方程初值問題可解.

3.2 彈性降階變換法求解可化為Legendre方程初值問題的一類三階非線性常微分方程初值問題的步驟

根據定理1的證明，易得出彈性降階變換法求解可化為Legendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問題的步驟，如表1所示.

通過以上求解步驟，給出了基于彈性降階變換法求解可化為Legendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問題的流程圖(圖1)：

圖1 基于彈性降階變換法求解可化為Legendre方程的一類三階非線性常微分方程初值問題的流程圖

3.3 舉例

例求解如下一類三階非線性常微分方程的初值問題：

(31)

其中x,z≠0.

解：

步驟1:所要求解的方程(31)是方程(11)的類型.

步驟2:對(31)作彈性降階變換(16)，則可將其關于z～x的一類三階非線性微分方程的初值問題轉化為關于y～x的Legendre方程的初值問題：

(32)

步驟3:根據引理3，則可求得(32)中Legendre方程的通解為

(33)

其中

P0(x)=1,

(34)

(35)

(36)

C3=1,

(37)

A=1,

(38)

(39)

步驟6: 將A,B,C3的值帶入原方程的通解(36)，即可求得初值問題(31)的解：

(40)

4 結論

1)彈性降階變換法可將一類三階非線性常微分方程初值問題轉化為Legendre方程初值問題，再根據Legendre方程通解對其進行求解.

2)本研究的目的主要是通過彈性降階變換法，實現微分方程快速、簡便地求解，進而求得其初值問題的解.

3)彈性降階變換法不限于求解可轉化為Legendre方程的非線性常微分方程初值問題，只要轉化后的微分方程可解，則原微分方程初值問題可解.

4)彈性降階變換法創新性地將經濟學中的彈性作為一種工具引入到微分方程求解中，不僅擴大了方程的可解類，而且對于微分方程初值問題的求解提供了新思路.