正多面體型電阻網絡問題的解法探討①

鄭通和

(寧夏育才中學,寧夏 銀川 750021)

通過對歷屆全國中學生物理競賽試題的歸類研究,探討正多面體型電阻網絡的解法,以供借鑒。

1 將正四面體型電阻網絡在合適方向投影成平面電阻網絡

例1(第39屆全國中學生物理競賽預賽):如圖1所示,用6條相同的均勻電阻絲搭建一個正四面體框架OABC,D是BC邊的中點,從O、D兩點分別引出導線(忽略導線電阻和接觸電阻),并通以電流I。已知每條電阻絲的電阻為r。在正四面體框架OABC中,AB段電阻絲上的電流為I,O、D之間的電阻為r。

圖1

解析：根據電阻網絡的對稱性,將壓扁后的平面電阻網絡進行等效轉換,具體解法如下。

方法1：運用基爾霍夫方程組

對于填空1,如圖1所示,將A點投影至OBC所在平面,將正四面體壓扁變成平面電阻網絡(圖2),且R1=R2=R3=r。

圖2

如圖3所示,假設回路方向為順時針方向,電源電動勢為E,內阻不計。

圖3

方法2：運用Y-Δ電路的等效代換

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

2 根據正多面體邊長相等的特點建模

例2(第13屆全國中學生物理競賽復賽試題):有7個外形完全一樣的電阻,已知其中6個的阻值相同,另一個的阻值不同。請按照下面提供的器材和操作限制,將那個阻值不同的電阻找出,并指出它的阻值是偏大還是偏小,同時要求畫出所用電路圖,并對每步判斷的根據予以論證。提供的器材有:(1) 電池;(2) 一個僅能用來判斷電流方向的電流表(量程足夠),它的零刻度在刻度盤的中央,并且已知當指針向右偏轉時電流是由哪個接線柱流入電流表的;(3) 導線若干。操作限制:全部過程中電流表的使用不得超過三次。

圖9

第一次使用電流表時將其中4個電阻①②③④,即R1、R2、R3、R4分別接到橋臂對應的AB、AC、BD、DC中。(1) 如電流表指針不偏轉,電橋平衡,則異常電阻在⑤⑥⑦中;(2) 如電流表指針發生偏轉(圖10、圖11),電橋不平衡,則異常電阻在①②③④中。

圖10

圖11

第二次使用電流表是在第一次排查的基礎上進行的。(1) 如電流表指針不偏轉,將電阻⑤⑥⑦依次替換接入平衡電橋的一個橋臂,使電流表指針發生偏轉的電阻為異常電阻;(2) 如電流表指針發生偏轉,將①②位置互換,當電流表指針反向偏轉時,說明異常電阻是①②中之一,其他5個是正常電阻。用排查出的正常電阻重新組裝成平衡電橋,再將①②中之一替換接入平衡電橋的一個橋臂,使電流表指針發生偏轉的電阻為異常電阻。

第三次使用電流表,是為了判斷異常電阻的阻值是偏大還是偏小,由電橋的電流方向和電橋平衡條件可以做出判斷。

3 將立方體空間電阻網絡在合適方向投影成平面電阻網絡

圖12

解析：根據電路的對稱性,采用Y-Δ電路的等效代換和等效電壓源法(又叫戴維寧定理),[1]將壓扁后的平面電阻網絡進行等效轉換為簡單的混聯電路,結合串、并聯電路的電壓和電流特點、疊加原理、電橋平衡條件、基爾霍夫方程組等選擇解決問題的方法。

對于填空1,每邊導線電阻相等,設所有電阻阻值均為R。根據電路結構的對稱性,e、f兩點電位相等,g、h兩點電位相等,均可合為一點。將空間立體的正方體電路網絡壓扁成平面電路網絡,等效電路簡化為圖13。

圖13

由于電路中含有兩個電源,根據電流疊加原理,將圖13拆分為圖14和圖15。

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

4 結語

利用戴維寧定理、疊加定理、Y-Δ電路的等效代換等方法,應用基爾霍夫方程組、串聯和并聯電路的特點、電橋平衡條件等知識,引導學生對電阻網絡進行分解與組合,將多面體與平面進行相互轉換,提供了關于復雜的正多面體電阻網絡問題的巧妙解法。[2]