冪等算子核空間上的投影

劉 妮,任謹慎,馮軍慶，鄭 芳

(空軍工程大學 基礎部,西安 710051)

1 冪等算子概述

設H與K為無限(可分)復 Hilbert 空間,B(H,K)為H到K上全體有界線性算子之集，H=K時記作B(H).若F∈B(H)且滿足F2=F,則稱F是冪等的，用Θ(H)表示H中冪等算子的集合.冪等算子F若滿足F=F*，則F為正交投影.對H的閉子空間M，用PM表示M上的正交投影.特別地,若F∈Θ(H),注意到R(F)=ker(I-F)，因此R(F)為H的閉子空間，用PF,PN(F)分別表示F的值域R(F)及核空間N(F)上的正交投影.B(H)中滿足V*V=VV*=I的算子V稱為酉算子，F*為F的伴隨,σ(F)為F的譜.

冪等算子在統計學、量子信息及經濟學領域都有著較為廣泛的應用，是算子論中最基本也較為特殊的一類算子.近年來關于冪等算子的可逆性、幾何結構等都吸引了國內外學者的研究[1-2]，文獻[3-5]研究了冪等算子的J-正(負,壓縮,擴張)的存在性、性質以及冪等算子的表示.文獻[6]中作者借助矩陣分塊技巧討論了Hilbert空間上特殊的冪等算子類.文獻[7-8]利用冪等算子F值域及空間上的正交投影PF,PN(F)對冪等算子進行了刻畫，即F=PF(PF+PN(F))-1，并進一步給出了F的范數的表示.本文在此基礎上借助算子分塊技巧，對冪等算子核空間及值域上的投影的范數進行研究.

若F∈Θ(H)，則R(F)閉,且F可以寫作如下2×2矩陣形式

(1)

其中F1∈B(R(F)⊥,R(F)),I為R(F)上的單位算子.

2 主要結果

引理1[6]設E∈Θ(H)具有式(1)的形式，I1和I2分別表示子空間R(F)與R(F)⊥上的單位算子,則有

下面的定理1借助算子分塊技巧，給出這一結論的等價形式.

定理2 設非零算子F∈Θ(H)，且I-F非零，則：

(1)sup{‖PQPN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1同時

inf{‖PQPN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=0.

(2)sup{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1.

(3)若dimR(F)<∞或dim(R(I-F))<∞，則

inf{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1

(4)若dimR(F)=∞且dimR(I-F)=∞，則

inf{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=0

1≥sup{‖PQPN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}

這里選取一秩算子Q1=nx?y(n=1,2,3,…)，其中x∈R(F),y∈R(F)⊥都是單位向量,這樣就有sup{‖PQPN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1.

若取Q=PF，則‖PQPN(Q)‖=‖PF(I-PF)‖=0，也就有

inf{‖PQPN(Q)‖:Q∈H且R(Q)=R(F)}=0.

(2)特別地令Q=PF，則有‖PQ-PN(Q)‖=‖PF-(I-PF)‖=1，因此sup{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1.

(3)不失一般性，假設dimR(F)=∞,dimR(I-F)<∞，由引理1可知

(2)

因此

inf{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=1.

故inf{‖PQ-PN(Q)‖:Q∈Θ(H)且R(Q)=R(F)}=0.