兩類亞循環群之間的同態數量

王佳俊，高百俊，2*

（1.伊犁師范大學數學與統計學院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學應用數學研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

1993年，T.Asai和T.Yoshida［1］將文獻［2］中的主要定理推廣為T.Asai和T.Yoshida猜想，開啟了有關有限群同態數量猜想研究的序幕.之后，不少群論研究者將目光投向了有限群同態數量的研究［3-6］.文獻［7］計算了擬二面體2-群之間的同態數量，糾正了文獻［4］的定理證明錯誤并驗證了擬二面體2-群是滿足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文獻［8］計算了一類由n階循環群通過2p階亞循環群擴張的2np階亞循環群Gn,2p之間的同態數量，并驗證了這類亞循環群是滿足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文獻［9］以Gn,2p［8］為研究對象之一，計算了Gn,2p［8］到二面體群、擬二面體群、四元數群以及模群之間的同態數量，得到了它們也是滿足T.Asai和T.Yo‐shida猜想的.Mp(n,m)是內交換亞循環p-群，在p-群的同構分類中有著重要的作用.本文將以內交換亞循環2-群M2(2，m)為研究對象，計算它與亞循環群Gn,2p［8］之間的同態數量，進一步驗證這兩類群是滿足T.Asai和T.Yoshida猜想的.

為了敘述方便，我們先給出這兩類群的結構：

文中φ表示Euler函數，其他記號參見文獻［11］.

1 預備知識

引理1［10］設內交換亞循環2-群m＞2 是正整數，則

引理2設M2(2，m)記號如上，則

（1）a2bj=bja2，0 ＜j＜2m；

（2）abj=bja3，a3bj=bja，0 ＜j＜2m且j為奇數；

（3）abj=bja，a3bj=bja3，0 ＜j＜2m且j為偶數.

證明：由M2(2，m)定義易得（1）（2）（3）成立.

引理3設M2(2，m)記號如上，則

（2）o(abj)=o(a2bj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=2m，0 ＜j＜2m且j為奇數；

（3）o(abj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=[4,o(bj)]，o(a2bj)=[2，o(bj)]，其中0 ＜j＜2m且j為偶數.

證明：由有限群元素階的性質和引理2易得（1）（2）（3）成立.

證明：任取aibj，asbt∈M2(2，m)，其中0 ≤i，s＜4，0 ≤j，t＜2m.下面分4種情況討論：

（1）當j為偶數且t為偶數，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=1；

（2）當j為偶數且t為奇數，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a-2i；

（3）當j為奇數且t為奇數，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2(i-s)；

（4）當j為奇數且t為偶數，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2s.

特別地，若j=p，則o(xi yj)=2，若j≠p，則o(xi yj)=2p；

引理7設Gn,2p記號如上，則

（1）xi yj=yjx-i，yjxi=x-i yj，0 ≤j＜2p且j為奇數；

（2）xi yj=yjxi，yjxi=xi yj，0 ≤j＜2p且j為偶數.

證明：由Gn,2p定義易得（1）（2）成立.

引理8設Gn,2p記號如上，當4∣n時是Gn,2p中的四階元.

證明：設o(xi yj)=4，其中0 ≤i＜n，0 ≤j＜2p.當j為奇數時，由引理7 可知，(xi yj)4=y4j=1，根據已知條件可知此j不存在；當j為偶數時，由引理7可知，(xi yj)4=x4i y4j=1，由Gn,2p的定義可得，x4i=1 且y4j=1，于是i=因此，當4∣n時是Gn,2p中的四階元.

2 主要定理及其應用

定理1n為正偶數，m是大于2的整數，p是奇素數，則

（1）當4∣n時，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=6n+2α+1，α∈Z且2 ＜α≤m；

（2）當4 ?n時，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=5n+4.

定理2設n為正奇數，m是大于2的整數，p是奇素數，則|Hom(M2(2，m),Gn,2p)|=3n+1.

證明：設θ∈Hom(M2(2，m)，Gn,2p)，因為(a4)θ=(aθ)4=1，所以o(aθ)∣4，進而o(aθ)∣(4，2np).由于n為正奇數，于是o(aθ)∣2.由引理6 可知，aθ∈{1}?{xi yp|0 ≤i＜n}.又(b2m)θ=(bθ)2m=1，所以o(bθ)∣2m，進而o(bθ)∣(2m，2np).而n為正奇數，于是o(bθ)∣2.由引理6可知，bθ∈{1}?{xj yp|0 ≤j＜n}.

首先令aθ=1，若bθ=1，此時，θ為平凡同態且只有1 種選擇；若bθ=xj yp，0 ≤j＜n，則由定理1（1）中bθ=xj yp，aθ=1可知，群同態θ有n種選擇.

最后令aθ=xi yp，且0 ≤i＜n，若bθ=1，則由定理1（1）中bθ=xu，這里0 ≤u＜n且o(xu)∣2α，α∈Z且2 ＜α≤m，aθ=xi yp可知，令u=0 時θ為群同態，此時，θ有n種選擇；若bθ=xj yp，這里0 ≤j＜n，則可斷定θ為群同態當且僅當i=j，同樣由定理1（1）的證明可知，群同態θ有n種選擇.

綜上所述，當n為正奇數時，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=3n+1.

定理3設n為正偶數，m是大于2的整數，p是奇素數，則|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=16.

綜上所述，當n為正偶數時，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=16.

定理4設n為正奇數，m是大于2 的整數，p是奇素數，則|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=4.

3 應用

T.Asai和T.Yoshida猜想［2］：設A，G是兩個有限群，A′是A的換位子群，則|Hom(A，G)|≡0(mod(|A/A′|，|G|))成立.

下面，驗證群M2(2，m)與群Gn,2p之間的同態數量滿足T.Asai和T.Yoshida猜想.

推論1設n為正整數，m是大于2 的整數，則|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)).

證明：已知|M2(2，m)|=2m+2，由引理5知，|M2(2，m)/M′2(2，m)|=2m+1.下面分兩種情況討論：當n為正偶數時，則(|M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)=(2m+1，2np)，即(2m+1，2np)=2α，α∈Z 且2 ≤α≤m+1，由定理1知，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(|M2(2,m)/M′2(2,m)|,|Gn,2p|))；當n為正奇數時，則(|M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)=(2m+1，2np)，即(2m+1，2np)=2，由定理2知，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(|M2(2,m)/M′2(2,m)|,|Gn,2p|)).綜上，推論1成立，即群M2(2，m)到群G2np的同態個數滿足T.Asai和T.Yoshida猜想.

推論2設n為正整數，m是大于2的整數，則|Hom(Gn,2p，M2(2m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)).

證明：已知|Gn,2p|=2np，由引理6 知，|Gn,2p/G′n,2p|=np.下面分兩種情況討論：當n為正偶數時，則(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)=(np，2m+2)，即(np，2m+2)=2β，β∈Z 且1 ≤β≤m+2，由定理3 可知，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|))；當n為正奇數時，則(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)=(np，2m+2)，即(np，2m+2)=1，由定理4知，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)).綜上，推論2成立，即群Gn,2p到群M2(2，m)的同態個數滿足T.Asai和T.Yoshida猜想.