基于Markov-switching GARCH模型的上證50ETF期權定價分析

閆海波,彭鳳嬌

(新疆財經大學統計與數據科學學院,新疆 烏魯木齊 830012)

“十四五”規劃中提出構建系列期貨品種體系,豐富機構投資者種類,推動期貨市場和現貨市場更加密切聯系。在經濟快速發展時代,金融衍生品和市場監管體制顯得格外重要,金融衍生品的增加對個人、機構甚至是國家都會帶來益處,但金融衍生品中的波動率對股票市場會產生不同影響。

波動率的預測和建模有很多方法。1982年Engle[1]提出自回歸條件異方差模型(ARCH模型)以解決方差恒定所產生的問題,但在實際應用中會出現自由的滯后分布，故1986年Bollerslev[2]在ARCH模型的基礎上提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH模型),此模型的優點在于能獲取滯后信息,很大程度上解決滯后效應。從此國內外許多學者將GARCH模型與Black-Scholes期權定價模型(BS模型)結合起來開展相關研究。Black-Scholes期權定價模型[3]的提出使得金融衍生工具得到擴展,從而國際金融市場更富有效率。以期貨股票市場為研究對象,將GARCH模型運用到BS模型中的文獻有:瞿慧等[4-5]使用高頻收盤價格建立GARCH模型,同時區分連續波動和跳躍波動,多重考慮跳躍波動和高頻數據能獲得最佳期權定價;周亮[6]利用動態條件相關自回歸條件異方差模型(DCC-GARCH模型)計算各類股票行業指數,利用協方差矩陣的預測能力進行投資組合的動態變化,結果是協方差預測效果要比最小化方差風險預測好;鄭尊信等[7]將含跳躍過程的模型運用進BS模型中,最后從多個方面論證了上證50ETF杠桿效應不顯著;方艷等[8]利用蒙特卡羅模擬方式計算參數,證明方差無窮自回歸條件異方差模型(IGARCH模型)比GARCH模型能更好地擬合波動率;張啟文等[9]將中國平安股票數據應用GARCH模型預測的波動率和股票分紅去修正BS模型,得到修正的BS模型具有實用價值;Liu等[10]將GARCH模型應用到BS模型的換手率應用到上市公司的股權激勵,結果顯示的換手率優于GARCH模型的換手率。在國內，對于GARCH模型對市場風險的影響也采取了不同的研究方法。張昱城等[11]利用GARCH模型和在尾部運用極值理論探究尾部風險影響,將斜率變點理論引入傳統閾值,結果是產生的尾部風險與流動性風險呈現反比;楊驀等[12]利用連接函數(Copula函數)和誤差修正自回歸條件異方差模型(ECM-GARCH模型)對3類農產品進行了套期研究,結果顯示大豆產品更能體現該模型的優勢,從而降低了市場的價格風險。

但是波動率中有不同的趨勢,用GARCH模型提取的波動率中存在時滯效應,進而會區分不同狀態,在不同波動情形下解決方案不同。對于不同狀態,Stephen[13]提出馬爾可夫結構轉換GARCH模型(MS-GARCH模型)用概率積分消除條件方差對路徑的依賴,但是由于積分難以計算而很難推廣。Klaassen[14]改進了Gray的方法,給出預測的迭代公式,促使MS-GARCH理論得到快速發展。

國內外學者將理論應用到實證分析中,如Torre-Torres等[15]、Mozumder等[16]運用蒙特卡洛模型估計馬爾可夫轉換模型進行轉換;Yoo等[17]利用跳躍的GARCH模型進行期權定價,結果顯示含跳躍模型優于GARCH模型;魏立佳[18]利用MS-GARCH模型在T分布下,運用馬爾可夫鏈蒙特卡洛算法(MCMC法)對該模型進行估計,結果顯示MS-GARCH模型的擬合度優于單狀態GARCH模型;Xiao[19]運用MS-GARCH、極值理論(EVT)和COPULA函數對中國股市進行研究,結果表明中國股市對東南亞有一定程度的影響;Ding等[20]運用GARCH模型和MS-GARCH模型與BS模型相結合,得到在穩定狀態GARCH模型比MS-GARCH模型擬合要好,反之在波動狀態下MS-GARCH模型比GARCH模型擬合要好;黃曉芝等[21]基于改進馬爾可夫轉換的GARCH模型即動態多維的條件修正波動率進而去預測;陳靜思等[22]、華仁海等[23]等運用MS-GARCH模型研究了期權市場與現貨市場之間的影響;MS-GARCH模型還可運用到石油[24]、人民幣匯率[25-26]等中。

綜上國內外學者運用MS-GARCH模型分別在石油、人民幣匯率等方面展開研究,雖然Ding等[20]也運用MS-GARCH模型,但并沒有分成3個狀態。故在3種不同狀態下進行回測并預測未來的期權價格,判斷在不同時間狀態下MS-GARCH模型是否優于GARCH模型。

1 模型介紹

1.1 GARCH模型

GARCH模型是對ARCH模型的重要拓展,它比ARCH模型需要更小的滯后階數,并與ARCH模型有相類似的結構。GARCH模型定義為

yt=μt+εt,

(1)

εt=etσt,et～i.i.N(0,1)

(2)

(3)

其中:p≥0,q≥0,a0>0,ai≥0 (i=1,…,q),βi≥0(i=1,…,p)。

滿足上述條件的模型稱為GARCH(p,q)模型,而稱{εt}服從GARCH(p,q)過程。當p=0時,GARCH(p,q)過程就稱為ARCH(q)過程,當p=q=0時,{εt}為白噪聲過程。

GARCH(1,1)是最簡單的GARCH過程,它的條件方差函數為

(4)

其中:α0>0,α≥0,β≥0,當α+β<1時GARCH(1,1)就是平穩的。

1.2 MS-GARCH模型

(1) Markov-switching GARCH模型設定 假設GARCH模型的參數依賴于一組離散的狀態變量St(St=1,2,…,k,代表過程所處的狀態)。這一狀態變量是不可觀測的,狀態之間的轉移服從馬爾可夫鏈,{St}滿足無后效性,即

P(St=j|St-1=i,St-2=k,…)=P(St=

j|St-1=i)=pij。

(5)

對于i,j=1,2,…,k可得轉移概率矩陣

(6)

這樣,通過轉移概率pij,使過程在t時刻所處的狀態信息體現在t-1時刻的信息集It-1中。

對于過程{yt}取作

(7)

(8)

因此,模型結構變化通過誤差項εst來實現,即

(9)

(10)

其中:p≥0,q≥0,a0>0,ai≥0(i=1,…,q),βi≥0(i=1,…,p)。

(2) 似然函數的計算 MS-GARCH-L(1,1)模型的待估參數為

θ=(α0,α1,ε,β1,v,p11,p12,…,pkk,

g1,g2,…,gk)T,

(11)

要進行循環計算。

(3) 基于全樣本的平滑概率 “平滑”指在樣本內所有觀測值的基礎上,對于包括t時刻以后的觀測值的估計?；谌珮颖镜钠交怕蔖(St=st|yτ,yτ-1,…,y1)和f(yτ|yτ-1,yτ-2,…,y1)。

(12)

1.3 BS模型

在二叉樹的期權定價模型中,如果標的證券期末價格的可能性無限增多時,其價格的樹狀結構將無限延伸,從每個結點變化到下一個結點(上漲或下跌)的時間將不斷縮短。如果價格隨著時間周期的縮短,其調整的幅度也逐漸縮小的話,在極限的情況下,二叉樹模型對歐式權證的定價就演變為關于權證定價理論的經典模型——BS模型。

設金融資產價格為隨機過程{S(t),t∈[0,T]},該金融資產價格模型為

(13)

則有

(14)

該金融資產的期望與方差為

E[S(t)]=S0eut,

(15)

(16)

歐式看漲期權定價公式為

C=s0N(d1)-Ke-rtN(d2)。

(17)

同理可得,歐式看跌期權定價公式為

P=Ke-rtN(-d2)-s0N(-d1),

(18)

2 實證分析

采用BS模型與GARCH模型和MS-GARCH模型實現對上證50ETF期權定價的實證檢驗。利用不同模型下和不同狀態下的條件方差代入BS模型后觀察估計價格和期權價格之間的誤差對比。

2.1 統計檢驗

收集上證50ETF從2015年2月9日到2021年12月31號的收益價進行統計檢驗，包括正態性檢驗、平穩性檢驗、自相關偏自相關檢驗、異方差檢驗等。

(1) 描述統計圖 上證50ETF從2015—2021年整個收盤價的線性圖如圖1所示,查看整個收盤價的漲幅情況,同時計算出每日對數收盤率。

圖1 收益序列時序圖Fig.1 Revenue series sequence

圖1(a)為收盤價在不同年限的漲幅趨勢；圖1(b)為對數收益率波動情況,在[0,300]、[750,1 200]之間對數收益率波動情況較大,在[500,700]、[1 200,1 500]對數收益率波動情況較小，這種現象稱為波動現象且具有連續現象。

對數收益率的描述統計以及概率密度分布見圖2。

圖2 對數收益率序列概率密度分布Fig.2 Probability density distribution of log return series

由圖2可見，該分布有明顯的尖峰,不是正態分布;通過計算得出對數收益率序列均值為0.000 205,偏度為-0.557 1< 0,峰度為10.197 9>3,比正態分布陡峭,說明對數收益率序列具有尖峰狀態。J-B統計量為 3 618.547,P值為 0,拒絕該分布為正態分布的假設,該對數收益率序列具有尖峰厚尾的分布形態。接下來判斷數據是否平穩。

采用平穩性檢驗對對數收益率序列(R)進行ADF單位根檢驗,帶截距項而無趨勢項，結果見表1。

表1 對數收益序列單位根檢驗

由表1可知,在 1%、5%、10% 3種置信水平下,臨界值分別為-3.434 1、-2.863 1、-2.567 6,T統計檢驗值為-40.113 1,小于對應臨界值,P值為0,表明上證50ETF對數收益率序列是平穩的。

判斷數據平穩后進行對數收益率相關性檢驗,結果見表2。

表2 收益率自相關檢驗

由表2可知,收益率滯后6階就顯著相關,1階～5階的自相關和偏自相關的相關系數均落入區間范圍內,同時Q統計量的P值統計檢驗均大于置信度0.05。故序列可能存在相關性,采用ARMA建立模型。因此收益率rt的均值方程為

rt=c+art-p+εt+βθt-q。

(19)

(2) 建立ARMA模型 根據殘差滯后階數,建立ARMA模型,選取不同的P、Q值，結果見表3。

表3 不同ARMA模型下的判斷標準

由表3可知，ARMA(1,1)和ARMA(2,2)的各項系數均顯著,ARMA(2,2)的AIC系數和SC系數更優于其他模型,所以采取ARMA(2,2)作為均值方程與GARCH模型結合。

(3) 自相關檢驗、ARCH效應 對數收益率的殘差和殘差平方相關性檢驗見圖3,判斷是否有ARCH效應。

圖3 自相關圖和偏自相關圖Fig.3 Autocorrelation diagram and partial autocorrelation diagram

由圖3可知,殘差的自相關圖(見圖3(a))和偏自相關圖(見圖3(b))的函數值都在置信區間內,即在藍色的虛線區域范圍波動。殘差的偏自相關圖在6階、14階、20階超出置信水平是種偶然性結果,所以殘差序列具有自相關弱相關性,即產生模型為AR(1)。而殘差平方的自相關圖(見圖3(c))卻不在置信區間內,故殘差平方具有強烈的自相關。

檢驗對數收益率是否存在ARCH效應,對數收益率的ARCH-LM檢驗見表4。

由表4可知,F統計量不顯著,該序列存在ARCH效應,故建立ARMA-GARCH模型消除ARCH效應。

表4 對數收益率的ARCH-LM檢驗

2.2 聯立方程建模

(1) ARMA-GARCH模型建立 在消除ARCH效應后,通過選擇不同的GARCH類型來選擇最優模型。ARMA-GARCH(p,q)在不同分布下的AIC和SC值見表5。

表5 ARMA-GARCH(p,q)在不同分布下的AIC和SC值

根據表5可知，TGARCH模型和GARCH模型分別在正態分布和T分布為?=0.05置信度下系數均顯著,根據AIC和SC準則要求越小越好,其中AIC值為-5.995 3,SC值為-5.965 6,故選擇ARMA(2,2)-GARCH(1,1)-t模型。

(2) 波動率分析 根據GARCH模型的條件波動率劃分狀態圖(見圖4)，根據設定的區間范圍畫出不同的狀態。

圖4 GARCH波動率Fig.4 GARCH volatility

由圖4可知,波動率0～0.000 2設為狀態3，即平穩狀態(在圖4虛線以下);0.000 2～0.000 4設為狀態2，即震蕩狀態;0.000 4～0.003設為狀態1，即高波動狀態(在圖4實線以上)。根據波動率的不同狀態,利用馬爾可夫鏈進行概率轉移,在不同情形的波動情況下與傳統的GARCH模型做比較,再運用到BS模型中判斷擬合程度。

根據波動率的波動情形判別將其分為3個階段(見表6):S1為高波動狀態階段(2015年、2020年);S2為震蕩狀態階段(2016年、2018年、2021年);S3為平穩狀態階段(2017年、2019年)。

表6 不同階段狀態劃分

(3) GARCH-BS模型

均值模型:

rt=0.000 5-0.65AR(1)-0.94AR(2)-

0.67MA(1)0.96MA(2)+εt。

條件模型:

GARCH=2.9×10-6+0.088 2×RESID(-1)2+

0.904 0×GARCH(-1)。

根據GARCH模型計算出條件波動率代入BS模型中,假定歷史波動率代入到BS模型為真實的期權價格,最后利用MSE、MAE等進行誤差分析。

根據GARCH模型下殘差圖和殘差平方圖判斷在建立GARCH模型后是否還存在相關性、ARCH效應,結果見圖5。

圖5所示殘差的自相關圖(見圖5(a))和偏自相關圖(見圖5(b))的函數值都在置信區間內,即在藍色的虛線區域范圍波動。同理殘差平方的自相關圖(見圖5(c))和偏自相關圖(見圖5(d))都在置信區間內不具備相關性。

圖5 GARCH模型的自相關圖和偏自相關圖Fig.5 Autocorrelation diagram and partial autocorrelation diagram of GARCH

檢驗GARCH模型是否存在ARCH效應,其結果見表7。

表7 GARCH模型下的ARCH-LM檢驗

由表7可知,在置信度為0.05下,ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型能消除ARCH效應,F統計量顯著,表明GARCH模型能消除ARCH效應。

(4) 擬合圖 每個階段有不同的擬合趨勢,假定行權價為3,利率為國債5年利率3.95%,到期時間按30天計算,即t=30/252=0.119 0。BS模型與GARCH-BS模型擬合性見圖6。

圖6 BS模型與GARCH-BS模型擬合性Fig.6 Fit between BS and GARCH-BS

由圖6和圖1(b)對比可知,在高波動狀態[0，300]、[750，1 200],即2015—2016年這段時期,GARCH模型的期權價格與真實價格差距較大；在低波動狀態[500，700]、[1 200，1 500],即2016—2017年、2020—2021年這段時期GARCH模型的期權價格與真實價格差距較小。(S2)震蕩狀態和(S1)高波動狀態二者差距較大,(S3)平穩狀態下GARCH模型的理論價格和真實價格差距較小。

3 Markov-switching GARCH模型

馬爾可夫結構轉換GARCH模型(Markov-switching GARCH模型，簡稱MS-GARCH模型)是將馬爾可夫模型與GARCH模型相結合，其具有很多優點:第一，經濟波動趨勢本身就存在不同的狀態變化,相比傳統刻畫波動率其存在對稱性的特點,這與實際的經濟波動是不符的,馬爾可夫模型就可以刻畫經濟波動的非對稱信息進而提取更多的信息;第二,傳統的GARCH模型只能簡單將波動率提取出來,不能對未來產生預警作用,而馬爾可夫模型在不同狀態下有一定的轉移概率,能得到不同狀態下的個數和概率從而對未來的數據進行預測。

3.1 模型參數和狀態轉移概率

采用極大似然估計,對上證50ETF對數收益率序列運用R軟件計算MS(3)-GARCH(1,1)在不同分布下的模型。模型估計結果見表8。

表8 MS-GARCH(1,1)模型參數估計結果

由表8可以得出T分布下的上證50ETF期權對數收益率的狀態概率矩陣:

由表8亦可以得出正態分布下的上證50ETF期權對數收益率的狀態概率矩陣:

從上轉移概率可知,T分布下的p11=0.989 3說明在上期處于狀態1(高波動狀態)且在下期仍處于狀態1的概率為98.93%;p22=0.971 6說明在上期處于狀態2(平穩狀態)且在下期仍處于狀態2的概率為97.16%;p33=0.979 7說明在上期處于狀態3(高波動狀態)且在下期仍處于狀態3的概率為97.97%。說明平穩狀態和低波動狀態是常態,高波動狀態的概率小于平穩狀態和低波動狀態。由T分布下的對數轉移概率矩陣可知,期權波動具有連續性，能很好地運用MS-GARCH模型,同時AIC也最小,故選擇T分布下的MS-GARCH(1,1)模型。

3.2 GARCH模型與MS-GARCH模型比較

GARCH模型與MS-GARCH模型擬合狀態和真實理論期權價格對比見圖7。

由圖7可知,3種不同狀態下MS-GARCH模型的期權價格擬合要優于GARCH模型的期權價格。根據圖6可知在S1高波動狀態,即[0,300]時期內MS-GARCH模型要優于GARCH模型;在平穩狀態S3下[1 200，1 500],從對數收益率圖發現波動幅度越大越體現出MS-GARCH模型的優勢。

圖7 GARCH-BS模型與MS-GARCH-BS模型比較Fig.7 Comparison between GARCH-BS model andMS-GARCH-BS

根據圖7列出兩類模型的誤差分析見表9。

表9 兩類模型的誤差

由表9可知,MS-GARCH模型在擬合狀態下更優于GARCH模型。平均絕對百分比誤差(MAPE)分母越小則計算的數值越大,故用對稱平均絕對百分比誤差(SMAPE)計算更能代表誤差結果,從而避免數值過大造成的影響。MS-GARCH模型的SMAPE為0.967 7;MS-GARCH模型的均方誤差(MSE)為0.011 5;GARCH、MS-GARCH模型的平均絕對誤差(MAE)分別為0.100 9和0.095 0。

根據表6中不同狀態劃分得到各個狀態的誤差見表10。

表10 兩類模型不同狀態的誤差

由表10可知,在平穩狀態(S3)下T分布的MS-GARCH模型優于T分布下的GARCH模型;在震蕩狀態(S2)時,T分布下的MS-GARCH模型均優于GARCH模型;在高波動(S1)時,T分布下MS-GARCH模型MAE最高,表示高波動的誤差是大于震蕩波動和低波動的。當MAPE數值過大時,用SMAPE判斷誤差分析,不同狀態下SMAPE的值分別為0.787 6、0.258 3、0.800 4。綜上所述在不同狀態下,MS-GARCH模型擬合優于GARCH模型。

3.3 預測

通過移動平均法分別選取步長為7天、21天、60天預測期權價格，結果見圖8。

圖8 不同步長預測趨勢Fig.8 Prediction trend of different steps

由圖8可知,從步長分別為7天(見圖8(a))、21天(見圖8(b))、60天(見圖8(c))的趨勢來看,MS-GARCH模型在高波動趨勢時更接近真實期權價格,在轉化狀態后,MS-GARCH模型步長越長,預測越貼近真實期權價格。故通過誤差分析來判斷預測最好的條件。

根據不同步長得到兩個模型預測誤差見表11。

由表11可知,當步長為21天和60天時,MS-GARCH模型SMAPE分別為0.971 6、0.867 9;MS-GARCH模型MSE分別為0.012 4、0.010 2。由此可見MS-GARCH模型的T分布在步長為60天時為預測效果最好的模型。

表11 兩個模型的預測誤差

4 結論

以上證50ETF期權為研究對象,選取2015年2月—2021年12月收盤價數據,將GARCH模型在平穩情形下劃分為3個狀態,根據不同狀態分別進行期權價格誤差分析,并且對樣本內擬合和樣本外預測分別進行誤差分析。結果發現,在其他條件相同時,樣本內擬合MS-GARCH模型優于GARCH模型;步長越長時的樣本外預測MS-GARCH模型均優于GARCH模型;MS-GARCH模型的T分布在步長為60天時為預測效果最好的模型。將兩種波動率與BS模型結合,采取滾動時間的方式,MS-GARCH模型在處于高波動時會優于GARCH模型,同時在高波動狀態下進行更好的預測,可為金融機構和個人投資者提供參考。