含臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統解的存在性

李文敏，張家鋒

（貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴州 貴陽 550025）

考慮如下的Schr?dinger-Poisson系統

其中V,K∈C(RN, R)，f是連續函數，l(x)是有界非負連續函數，V、K是非負函數，可在無窮遠處消失，η> 0,是參數，N≥6。

近年來，有關Schr?dinger-Poisson 系統的研究很多，獲得了很多很有趣的結果[1-10]，但是很少有文獻研究具有臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統。文獻[7]在R3中通過山路定理和截斷函數的方法研究了臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統，得到了方程在兩種情況下都至少有一個非平凡解的存在性結果。

在文獻[8]中，Sun等研究了徑向位勢在無窮遠處消失的漸進線性Schr?dinger-Poisson系統：

在λ很小、非線性f最大線性增長、位勢V(x)在無窮遠處消失時得到了一個正解，并且還得到了時的非平凡正解的不存在性。

文獻[9]在R3中研究了如下廣義線性Schr?dinger-Poisson系統：

利用山路定理和集中緊性原理得到了其有一個正解的結果。

在上述工作的基礎上，本文證明了具有臨界非局部項且位勢在無窮遠處消失的系統（1）的非平凡解的存在性。由于臨界增長項的存在導致缺乏緊性，要獲得非平凡解的存在性更加困難，而且V(x)在無窮遠處是勢消失的，使得研究更加有趣，本文利用截斷函數巧妙地和無窮遠處消失的位勢聯系起來進行了求解。

如果V(x)和K(x)滿足以下情況，則稱(V,K) ∈K：

(VK1)對所有的x∈RN，有V(x)> 0,K(x)> 0，其中，K∈L∞(RN)。

(VK2) 如果{An}n?RN是一個Borel序列集，使得Lebesgue meas(An) ≤R,對n∈N和R> 0, 則

此外，V(x)和K(x)還需要滿足下列情況之一：

(VK3)∈L∞(RN)。

(VK4)存在p0∈(2 , 2*)，使得

關于函數V和K的假設(VK1)～(VK4)在文獻[10]中被首次引入，并將系統（1）定性為零質量問題，有關零質量問題的研究參考文獻[11-12]。

最后，假設連續函數f: R →R在原點和無窮遠處的增長條件為

(f1)如果(VK3)成立，有；如果(VK4)成立，有。

(f2)。。

(f3) 存在θ∈(2, 2*)，使得0 ≤θF(t) ≤tf(t)，t∈R，其中F(u) =

此外，我們還對l(x)做了以下假設：

(l1) 存在x0，使得l(x0)=。

(l2)l(x)=l(x0)+O(|x-x0|α)，α∈(N- 2,N)，x→x0。

1 預備知識

D1,2(RN)表示“絕對光滑”空間C∞(RN)的完備化空間。

現在，給出我們的工作空間為E={u∈D1,2(RN):∫RNV(x)|u|2dx<+∞},其中D1,2(RN) ={u∈L2*(RN):?u∈L2(RN)}，E對應的范數為。

利用Lax-Milgram 定理可知，對于每一個u∈E，由于系統（1）的第二個方程存在唯一解?u∈E，我們將?u帶入系統（1），則系統（1）變為

方程（2）對應的能量泛函J:E→R為

對任意φ∈E，u是方程（2）的弱解，當且僅當

定義所有可測函數u:RN→R構成的Lebesgue空間(RN)，且

對應的范數為

用Bρ(0)表示以原點為中心且半徑為ρ> 0的球，S是最佳Sobolev常數，即

Selection of drainage system based on analytic hierarchy process and fuzzy comprehensive evaluation

下面陳述文獻[10]的兩個重要結果（參考文獻[10]里的引理2.1和引理2.2）。

命題1.1 假設(V,K) ∈K，如果(VK3)成立，對所有p∈(2, 2*)，則E緊嵌入到(RN)；如果(VK4)成立,則E緊嵌入到(RN)。

命題1.2 假設f滿足(f1)～(f2)且(V,K) ∈K,設{vn}在E中使得vn?v,則

和

引理1.1[6]對每一個u∈E，存在唯一解?u在RN中滿足-Δ?=|u|2?-1，并且有以下性質：

2 主要結果與證明

定理2.1 假定(V,K) ∈K，且f滿足(f1)～(f3),l(x)滿足(l1)和(l2)。

注記2.1 很多作者研究的都是具有次臨界非局部項Schr?dinger-Poisson 系統，研究具有臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統的很少，而本文研究的Schr?dinger-Poisson系統是含臨界非局部項的。與文獻[9]相比，本文的非局部項是不一樣的，并且文獻[9]是在R3中研究的，而本文研究的Schr?dinger-Poisson 系統是在RN中進行研究的，因此，本文可以看作是文獻[9]的一個有益補充。

引理2.1 假定(V,K) ∈K，p∈[2,2*]，存在C> 0使得, ?u∈E。

證明證明分為兩部分，即首先證明在(VK3)的假設下引理2.1成立，然后再證明在(VK4)的假設下引理2.1成立。假設(VK3)成立，對于p∈(2,2*)，定義，那么p= 2m+ 2*(1 -m)，因此有

綜上所述，引理2.1得證。

引理2.2 泛函J滿足下列結論：

i) 存在ρ,α> 0，使得當‖u‖E=ρ時，有J(u) ≥α。

ii) 存在e∈Bρ(0)，使得J(e) < 0。

證明i)分兩種情況討論

情況1 假設(VK3)成立，對任意ε> 0，從(f1)和(f2)可以得到存在Cε> 0使得