北師大版初中數學教材中數學建模的多維度分析

謝雨婧 韓惠麗

（寧夏師范學院數學與計算機科學學院，寧夏固原，756000）

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）中明確指出數學核心素養的構成之一是會用數學的語言表達現實世界，其最主要的表現為模型觀念，它體現了數學思想及其廣泛的應用性[1]。與《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到的模型思想相比[2]，《新課標》中的模型意識和模型觀念對學生的要求更加具體化，強調初中階段更側重于培養學生的觀念、思想和能力，明確提出模型觀念即是“學生對運用數學建模解決實際問題要有清晰的認識”[3]。模型觀念作為初中數學九大核心素養之一，其重要地位不言而喻，因此引起了越來越多的數學教育研究者的關注。

當前對中小學數學建模的研究并不少，但大多是對數學建模的教與學或數學建模教學價值的研究，關于數學建模的教材、評價研究較少，尤其初中教材中數學建模內容的研究少之甚少[4]。教材是教師教和學生學的主要依據，所以教材建設是教育改革的重中之重。北師大版初中數學教材是根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求，結合數學學習的特點和學生的認知發展規律精心編制的。教材中建模內容的設計與編排對學生建模觀念的培養、建模思想的滲透、建模能力的提高等有著直接影響，而《新課標》又對數學建模的相關內容提出新的要求，所以有必要對現有教材中數學建模相關內容進行分析與研究，以期能夠對初中數學教師的教學有所啟示與借鑒。

一、數學教材中建模內容的多維度分析

依據新課標中對建模素養和教材內容的要求，采用定性與定量相結合的方法對北師大版初中數學教材（2012年版，共六冊）的數學建模內容進行系統分析，從教材中數學建模相關內容的分布特點、素材情境的選擇、問題的設置類型以及模型觀念在教學中的呈現過程這幾個方面進行研究。

1.內容分布維度

《新課標》指出模型觀念要貫穿初中數學課程始終，分布于四大學習領域：“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”。但數學建模在教材中的呈現方式多樣，本文只選取明顯符合模型觀念定義的相關章節，從數學建模在各年級的分布和在數學課程四大領域的分布這兩個角度進行分析。

為統計方便，將“綜合與實踐”模塊中每一個活動作為一章。由此統計出六冊教材中的所有章節數共60章，其中與建模思想、建模觀念、數學建模能力等直接相關的內容共30章，占初中教材內容的50%，七年級、八年級、九年級都是10章內容，數量均等，每個年級上下冊出現數學建模內容的章節數都分別為6章和4章，說明北師大版的初中數學教材從始至終貫穿了數學建模內容，具體內容分布見表1。

表1 教材中數學建模具體內容分布

續表1

通過進一步的統計分析發現，數學建模在“數與代數”領域所占的章節數最多，約占總建模內容的36.7%；其次是“綜合與實踐”領域，約占總建模內容的33.3%；而“圖形與幾何”和“概率與統計”領域共占總建模內容的30%。這與新課標中對四大領域的建模內容的要求基本一致。

2.問題情境維度

為更好地了解數學教材中建模內容的情境，將從兩個角度對其進行分析：一是“情境類型”。由于新課標指出學科融合對義務教育的必要性，提倡把跨學科內容與歷史文化內容融入數學課程，特別指出“模型觀念有助于開展跨學科主題學習”。建模內容的情境類型分為：生活情境，包括人們的工作、學習、家庭、社交、娛樂、衣食住行等；環境科學情境，包括氣溫、氣候、自然災害、自然現象等；自然科學情境，包括物理、化學、生物、天文和醫學等；社會科學情境，包括經濟學、心理學、人類學、社會學等；人文科學情境，包括文學、歷史、哲學、藝術等[5]。二是“情境真實性”。因為教材的編寫既要考慮到數學建模真實性的特點，還要考慮學生現有的處理現實及復雜問題數據的能力，所以參考Debba三水平的情境真實性水平分析框架，分為構造式（情境涉及信息均為人為構造）、準真實（信息部分真實，部分由人為構造）、完全真實（信息完全真實，均來自現實生活）三種水平[6]。

對教材中的數學建模內容情境類型分類統計結果如圖1。從結果來看，教材中數學建模內容情境多樣，但絕大部分來自日常生活。這表明教材注重讓學生從熟悉的生活場景中體會數學的應用價值，激發學生學習數學的興趣。自然科學情境類型占21.30%，比重較大，這體現了數學與其他學科之間的聯系。特別是在學生接觸到物理知識后，教材會選用該學段所學過的物理情境作為問題背景。例如，初三時學生剛學習了導體的電流與導體電阻的關系，教材中反比例函數概念一節就以這一物理背景作為切入點，讓學生經歷運用物理知識建立數學模型的過程，體會數學模型的價值，領悟數學建模應用的廣泛性。但是，目前的教材中缺少環境情境、社會學科、人文學科的相關內容。

圖1 數學建模內容情境類型

統計發現教材中絕大部分數學建模情境都是構造式情境，占70.6%，問題的情境和數據都經過人為簡化，學生不需要篩選、處理數據，直接使用問題提供的必要數據。準真實情境占20.5%，所選擇的問題既能讓學生感受到數學在現實生活中的作用，又讓學生感覺問題不會太難。僅有8.9%為完全真實情境，問題是現實世界中真實存在的，它可以使學生的體驗更真實，但所提供的數學條件和數據不足，需要學生自己收集所需數據并分析處理，如探索出租車如何計價的函數模型等。

綜合各方面分析來看，初中數學教材中數學建模的情境雖然豐富，但真實性低，真正意義上的數學建模問題較少。因此教師需要根據新課標對數學建模的要求，編制更多有助于培養學生數學建模觀念的實際問題。

3.問題表述維度

《數學建模教育與評估指南》針對初中的數學建模，提出了五項指導原則，其中一條是“建模是開放且復雜的”[7]。問題的開放性、問題解決方法的多樣性有利于學生創新思維的培養。為充分了解教材中問題的創設為學生留有的創造余地，依據徐斌艷關于問題表述類型的分類對數學建模相關內容進行分類統計[8]，統計結果如圖2。從結果可見目前教材中開放性建模內容極少，多處看似開放性的建模內容最終也被教材設計為常規的數學應用題，限制學生的思維。比如，八年級上冊“綜合與實踐”中的“哪一款手機資費更合適”，教材為降低學生探索的難度，故提示“分別確定三種套餐下相應的資費和主要通話實踐之間的函數關系式，并解釋所得函數表達式中一次項系數k和常數項b的實際意義”[9]。但這一提示限制了學生理解問題的方向，反而使問題變成一個常規的數學應用題。

圖2 問題類型

4.數學建模過程要素呈現維度

根據新課標對建模觀念的要求，從“現實問題抽象為數學問題——構建數學模型——計算求解——結果解釋、檢驗和優化”這四個環節考察教材中數學建模內容的呈現過程。新課標還強調“教材內容要著重關注核心素養發展的階段性”[10]。因此分別對三個年級中與數學建模內容相關的章節進行分析，發現每個年級都依據課標，在平時的教學中反復地滲透模型思想，并隨著學生認知結構的不斷完善，教材逐步提高對學生建模能力的要求。

（1）七年級數學建模過程要素呈現

七年級的學生正處于具象思維向抽象思維的過渡階段，所以七年級主要培養學生具體情境符號化能力，并從簡單的實際問題中初步地感知數學建模的基本過程。例如“整式及其加減”一章，教材既設置一些具體的情境，讓學生學會從具體情境中抽象出代數式，建立符號意識；還讓學生通過賦予代數式實際背景，體會模型是數學與現實世界的聯系?！耙辉淮畏匠獭蓖ㄟ^豐富的問題情境讓學生建立方程模型解決實際問題，從而體會方程的模型思想，并初步體會數學化的過程。

（2）八年級數學建模過程要素呈現

從整體上看，八年級強調讓學生經歷完整的數學建模過程，并著重培養學生模型構建的能力，這與新課標中所提及的“讓學生學會用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”[1]的要求不謀而合?？紤]到八年級學生認知水平的提升，教材編排由淺入深、循序漸進地幫助學生體驗數學建模的過程。如“二元一次方程”選擇了三個具有代表性、現實性和綜合性的探究題，在編排順序上遵循由易到難的原則。第一個問題“雞兔同籠”是有趣的古算問題，易激發學生的學習興趣。這題涉及的等量關系比較簡單，主要是讓學生用二元一次方程組，感知數學建模的基本過程。第二個問題是“增收節支”，等量關系不再直接獲得，但考慮到學生的認知實際，教材通過設置表格，幫助學生借助表格分析，找出問題中蘊含的等量關系。這一題重在訓練學生模型建立的能力。第三個問題是“里程碑上的數”，問題中的數量關系較前兩個而言更為復雜，教材以填空的方式，一步步引導學生經歷分析數量關系、建立方程組、解決問題整個建模過程。

（3）九年級數學建模過程要素呈現

考慮到九年級學生的抽象邏輯思維處于優勢地位，想象的創造性和現實性不斷發展，所以九年級建模內容更貼近現實，抽象性明顯增強，對學生綜合應用能力的要求提高，建模的過程更加標準化，具體體現在綜合實踐模塊。如“設計遮陽篷”就是非常典型的數學建模問題，它來源于現實生活的需要，活動的設計完全符合新課標對“綜合與實踐”的學業要求，即項目式學習。首先，學生要能綜合運用數學和其他學科知識（如三角函數等數學知識和地理知識等），分析出問題情境中哪些量已知、哪些量未知，并做出合理的假設（如假設窗戶的朝向等）；然后，讓學生經歷“真實情境數學化——建立數學模型”的過程，培養學生將問題理想化，建立數學模型的思維習慣；最后，經歷“求解模型——得出結論、檢驗、反思，不斷完善模型”的過程，體會什么是數學建模以及數學建模方法。另外，此活動開放性強，需要學生查閱資料或實地測量獲得數據，小組合作，書寫調查報告，從而培養了學生的數學建模、閱讀寫作和合作交流等能力。

綜上所述，初中數學建模內容有以下特點：第一，初中階段數學建模內容以“數與代數”和“綜合與實踐”為主，“圖形與幾何”和“概率與統計”為輔，貫穿每個年級，具有層次性、連續性和螺旋上升的特點。第二，問題情境以生活情境為主，貼近學生的現實生活，并隨著學生具備其他學科的知識，自然科學情境增加，體現了跨學科特點。但是社會、環境、人文情境較少，可在教學設計時適當增加這類情境。問題情境多為構造式，準真實和完全真實情境較少，這不符合課標中要求的“學習素材應當真實可信，提供的數據可信且具有實際含義”[1]。另外問題類型大多是封閉式，開放式問題極少?？偟膩碚f，真正意義上的數學建模問題較少。第三，教材中綜合與實踐部分的數學建模內容呈現按“從現實問題抽象為數學問題、構建數學模型、計算求解、結果解釋、檢驗和優化”展開，讓學生經歷完整的數學建模過程，對運用數學模型解決實際問題有了更清晰的認識。通過“綜合與實踐”，不僅培養了學生的數學建模能力，還培養了學生數學抽象能力、數學閱讀能力等。但是教材其他主線中真正意義上的數學建模較少，學生對數學建模過程的體驗也斷斷續續。雖然每一章節都貫穿了數學建模的整個過程，每一小節都會針對數學建模中的某一子能力進行培養，但是其忽略了數學建模能力培養的整體性?？偟膩碚f，初中教材中完整的數學建模問題數量少。

二、教學建議

1.創設類型多樣的問題情境

綜合考慮學生的認知發展特點、2022年版新課標的要求和不同類型情境的功能與價值，設計出各種類型的問題情境。適當增加人文情境，關注數學學科發展前沿與數學文化，激發學生對數學的興趣，培養學生的人文底蘊；適當增加社會情境、科學情境、環境情境等，讓學生從數學的角度觀察、分析、思考、表達、解決、闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、經濟、地理、藝術等學科領域的融合，體會數學建模的廣泛應用性；增加準真實情境和完全真實情境創設，盡量保證素材和數據的真實性，這樣有利于學生理解數學建模與現實問題之間的聯系，幫助學生形成建模觀念。

2.開發新的建模素材

善于捕捉教材中的建模素材，優化、改進原有素材，開發出新的建模素材。建模是開放且復雜的，這是其與數學應用題最大的區別。開放性有利于培養學生的發散性思維和創造性，所以教師要善于關注學生發展的差異性，滿足不同學生的需求，適當地選擇教材中的封閉式問題改編為開放性問題，全面提升學生的數學建模能力。但由于開放性問題通常比較復雜，學生解決可能存在困難，所以開放題的設計要體現層次性，適當地引導學生自主探索，尋找解決辦法。開放性問題的提出有多種方法，但都要具有數學意義，并且與教學主題緊密相連，能促使學生挖掘事物本質特征，探究多種表達方式，提高數學建模方法的遷移意識和建模能力。

3.階段性培養建模能力

數學建模并不是建模步驟和程序的簡單呈現，它具有鮮明的過程性和階段性。初中生建模能力的培養和建模觀念的形成具有連續性、階段性和螺旋上升的特點。因此，數學建模內容要抓住三大主線，在教學中穿插數學建模的各個過程，分步培養學生的建模子能力，逐步滲透數學建模思想。每一章節的結尾最好選取能體現整個數學建模過程的內容，并且設計相應的數學建?；顒?，讓學生學數學的同時用數學，體會數學建模知識的形成過程和應用價值。

4.提升教師建模素養

培養學生數學建模素養的前提是教師本身具有較高的數學建模素養。教師要能夠讀懂教材設計的意圖，精準把握教材中培養學生建模素養的內容。為保證數學建模教學從平時的碎片化知識轉變為完整的數學建模知識，培養學生整體的數學建模能力，教師可以借助“綜合與實踐”，以模塊的形式，系統地向學生展示數學建模過程和相關知識。但教材中的“綜合與實踐”內容較少，所以教師要善于應用學生熟悉的情境，創造出一些建?；顒?，幫助學生多次體驗數學建模過程，培養應用能力。