培養高中生數學“四能”的探索與思考*

陳思源 湯建鋼 ，2，T

（1.伊犁師范大學數學與統計學院，新疆伊寧，835000；2.伊犁師范大學應用數學研究所，新疆伊寧，835000）

21世紀是需要大量人才的時代，全球絕大多數的國家都非常重視初等教育，并強調要對初等教育進行普及化。我國教育部在2022年初發布了最新的工作實施方案，提出要保障優先發展教育的戰略地位，保持國家財政性教育經費支出占國內生產總值比例“不低于4%”[1]，說明我國對教育的重視程度正在直線上升，正在從教育普及化逐漸邁向教育高質量發展階段。

伴隨著我國當前教育的發展，越來越多的學生邁入了高中，繼續完成自己的學業，提高自我競爭力。雖然高中教育正在大力發展，但教育逐步轉向高質量發展仍有一段路要走，提高當前高中生的數學能力已迫在眉睫。高中階段的數學課程是三大課程（語文、數學、外語）之一，屬于基礎課程，在學好基礎學科的體系之上，才能向其他學科，即物理、化學等學科方向發展。所以，學好數學對學生的未來發展顯得尤為重要，當前國家也出臺了相關政策，針對高中的數學課程進行改革。

一、研究現狀分析

根據教育部在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《普通高中課標2020》）文件中，提到了數學學科的核心素養是在數學應用與學習的過程中循序漸進地形成、發展起來的；通過對高中數學課程的學習，培養學生從不同的數學角度看待問題，獲得發現與提出問題的能力、分析與解決數學的能力[2]。高中數學課程目標詮釋了經過對數學的學習之后，能充分地培養學生的數學“四能”，并順利地對數學知識進行合理應用解決問題，在此基礎上逐步發展數學核心素養。要提高高中階段學生的數學能力，應該考慮前后兩個學段之間的銜接，因為數學能力的培養是一個承上啟下、逐漸深化的過程。在2022年教育部最新頒發的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《義務教育課標2022》）文件中也提到了以核心素養為導向，引導學生通過對數學知識與方法的運用，培養發現與提出問題、分析與解決問題的能力[3]?！读x務教育課標2022》與《普通高中課標2020》都提到了通過對數學的學習，教師能間接地、循序漸進地培養學生的數學“四能”，最終達到在應用數學知識進行問題解決的過程之中，逐步發展數學學科的核心素養。問題解決是數學核心素養發展的焦點問題[4]，并通過培養學生數學“四能”將問題解決，又在問題解決的過程中提高學生的數學“四能”。

但在當前高中數學課堂教學中發現，高中生由于學習壓力大，部分教師教學觀念落后，使用陳舊的教學方式等各類因素的影響[5]，導致學生對數學的態度是傾向于分析問題與解決問題，發現問題和提出問題這兩個方面的能力有著明顯的不足[6]，并且對問題的分析和解決也存在一定的固化，在問題解決中始終處于被動狀態，不主動運用數學知識解答，最終導致在數學的解題思路、方法和步驟等的創新性上有所不足，需要進一步提高數學教學中“問題解決”的地位[7]，從而提高學生的數學“四能”。

二、培養高中生數學“四能”的策略

數學學科的核心素養是指學生在本學科的學習和實際應用的過程中循序漸進地形成與發展起來，并且具備一定的數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的一種綜合體現，是課程目標的精華。數學學科核心素養包含以下幾個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。數學學科核心素養與數學能力有著密不可分的關系，整體看來培養高中生的數學“四能”是提高學生數學核心素養的必要條件，所以想要達到高中數學的課程目標，引導學生掌握數學“四能”是一個必不可少的環節。但無論是教師的教，還是學生的學，都要做出適當地變化與調整，最終學生才能掌握數學“四能”的精髓，提高其數學能力。對教師角度而言，數學教師在高中數學的教育教學中需要適當地優化與改進原有的教學方式，提倡以問題為導向，活動為載體，采用問題驅動式的教學方式[7]，引導學生在問題解決時，能從發現、提出、分析、解決這四個方面進行，并創設適當的情境循序漸進地引導學生對數學進行深入思考，同時優化學生的解題思路，并能運用不同知識內容從多種維度對問題進行解答；對學生角度而言，學生應熱愛數學，從生活中發現數學，由被動轉化為主動，不僅能發現數學之美，還能更有效地培養學生的數學“四能”。以下將對數學“四能”進行單獨分析，探究如何培養學生的“四能”。

1.培養發現問題能力的策略

20世紀80年代，美國數學教師協會（以下簡稱NCTM）曾以問題解決為討論的核心內容，在世界范圍內針對數學的教育改革掀起過一場波瀾，最終在反思其后的十年教學實踐中發現“不關注問題的產生會制約學生的數學思維發展”[8]，沒有發現問題的能力，將墮化學生的數學思維。當前高中生受學習科目多、學習壓力大、教師教學方式等客觀因素的影響，導致學生在發現問題的能力上有著明顯的不足，缺乏自主探究性，所以如何有效、便捷地培養高中生發現問題的能力已經成為教師的重點研究內容。

教師在培養學生發現問題的能力時，應該考慮學生已有的直接經驗，并通過激發好奇心帶動求知欲，引導學生在生活情境中自主獲得發現問題的能力，這樣有助于學生的數學能力由內而外得到升華，并能從多角度的數學眼光發現問題。

以數列章節為例，課堂教學首先會講到數列，然后從數列的定義展開學習等差數列與等比數列。在傳授等差數列相關內容時，教師可以從生活中常見的例子出發:第一天存1元，第二天存2元，長此以往，第100天存100元，有發現什么規律嗎？通過實例引導學生進行歸納推理，體會從特殊到一般的思想，并發現在生活中有數不勝數的內容與等差數列有所聯系，從側面激發學生的好奇心，通過好奇心驅使求知欲，歸納出等差數列的通項公式。在布置課后作業時，將原本練習課本習題的方式更改為在生活中找出有關實例并解答，不僅能復習新知，還能培養學生發現問題的能力。學習等比數列也是如此，可以借助生物學科中分裂的知識進行導入：例如一個細胞，在沒有外部限制的情況下，每小時分裂由一到二，24小時后會有多少細胞？教師可以引導學生自己發現問題并進行歸納推理，從特殊歸納到一般規律，得到等比數列的通項公式，并且教師在布置課后作業時候，應傾向于從生活出發，尋找生活中有關等比數列的例子，引導學生從生活中發現數學的存在，提高從數學角度發現問題的能力。

通過對該課程的學習，學生可以掌握等比數列與等差數列二者的定義，并在生活中找尋數學的身影，有利于學生明白數學一直在其生活之中，打消數學“無用論”的想法，提高學習數學的積極性，對數學的情感抱有積極狀態有助于減少認知負荷[9]，能更有效地培養學生發現問題的能力。

2.培養提出問題能力的策略

問題的提出對數學學科發展的重要性不言而喻，培養高中生提出問題的能力是當前社會對教育發展、創新的迫切需要[10]。偉大的科學家愛因斯坦曾說過，提出一個問題通常情況下比解決一個問題更加重要，因為提出問題往往需要想象力與創造力[11]。NCTM指出教師在教育教學中應注重學生提出問題的活動[12]，在我國的教育改革中，也著手于探究培養學生提出問題的能力[13]。伴隨著問題提出走進當前的課堂教學研究，問題提出逐漸成為廣大研究數學的教育者與一線數學教師共同關注的研究內容[14]，并發現對提出問題能力的培養，除了能加強對數學的推理能力之外，還對激發學生在數學方面的學習動機、學習興趣，以及對提高合作、溝通能力都有巨大的裨益[15]。

美國教育家Silver重新定義了曾被全球數學教育家所普遍接受的有關問題提出的理論，認為問題提出是探索情境后提出新問題[16]；研究者Zaenab嘗試放棄講授法的授課模式，而引入了更加有趣新奇的“問題提出”的學習模式，并對學生的數學能力進行研究發現，“問題提出”的教學模式有助于培養學習者提出問題的意識[17]；研究者English針對小學階段的學生進行研究，探究數感在數學問題的提出上所存在的特性，發現學生的數感強，提出的數學問題無論是運算量上還是結構復雜程度上，其表現出相對均衡的態勢[18]；Winihati等人以問題提出為基本，通過縱向對比傳統教學、問題提出、合作學習三種教學模式對學生數學的影響，發現合作學習的模式對培養學生提出問題的能力極具影響力[19]，能形成適當的競爭，提高自我內驅力?？偨Y以上研究發現，問題提出的能力可能不是一種自然技能，教師可以進行適當的教學干預以提升學生提出問題的能力[20]。目前較好的教學干預是由Brown與Walter提出的一種教學方法“否定假設”法（what-if-not）[21]，但教師始終只是一個引導的作用，最終需要學生通過自我努力，提升問題提出的能力。要想培養高中生提出問題的能力，教師應當摒棄老舊的教學方式，開展合作學習模式，增強對數字的敏感度，并創設適當的情境，通過學生之間的良性競爭實現提出問題能力的培養。

以排列與組合的教學為例，教師可以組織學生以小組為單位開展教學活動，從生活中“涂色問題”入手（如圖1），一共有五種顏料，每部分只涂畫一種顏色，相鄰部分涂不同色。隨后教師提出若進行全排列得出答案是否正確，引導小組成員之間進行討論，小組與小組之間進行競爭，學生能提出問題：先進行排列再運用組合、先進行組合再運用排列以及進行全排列之后減去重復的部分，以哪個序號為中心進行排列等，最終通過一系列的合作與競爭，計算出結果，共計240種，達到培養高中生提出問題的能力，提高數學核心素養的目的。

圖1 涂色問題

3.培養分析問題能力的策略

分析問題能力是通過一個或若干個已知條件去判斷未知的一種能力?！镀胀ǜ咧姓n標2020》中提到要鍛煉學生的數學思維，離不開對問題進行分析的能力，所以分析問題對鍛煉高中生思維模式、推理能力有著不可撼動的地位。學者Cheng通過對問題解決后提出數學問題的研究，發現分析問題對培養學生提出問題的能力有著積極作用，在解決問題時又需要分析問題作用鋪墊[22]；Lavigne等研究者經研究發現，統計分析對培養提出問題的能力起到不可或缺的積極作用[23]。研究表明分析問題在整個問題解決的過程中是一種承上啟下的作用，在數學“四能”中扮演著銜接的角色。

在分析問題時，一般有兩種途徑:一種是分析現有的條件提取出有用的結論，另一種是對未知問題進行分析，觀察需要多少條件才能推理出來，假設現有的已知條件不足以對應未知的缺口，那是否可以通過已知條件與自身已有的經驗推導分析出其他條件來解決未知問題？通過層層遞推，最終找到解題思路。教師在課堂實際教學過程中，引導學生結合自己已有的經驗進行獨立的思考，并嘗試分析問題，有助于培養學生分析問題的能力，最終即便學生不能獲取解決問題的思路，也能發現自己學習的不足之處[24]。

以立體幾何初步的內容為例，在此章節中會學習到空間中直線、平面的平行和垂直，當教師在課堂教學中講解到這兩者關系時，可以逐步引導學生聯系在小學、初中階段已有的間接經驗,以及生活情境中原有的直接經驗，幫助學生有效地綜合分析空間中線、面問題。這不僅能鍛煉學生的空間思維觀念，還能分析如何證明線與線之間、面與面之間、線與面之間以及線面綜合問題的平行和垂直關系，達到培養學生分析問題能力的效果。

4.培養解決問題能力的策略

國外研究者McLeod在針對解決數學問題的研究過程中，提出了情感因素的理論框架，情感由情緒、信念、態度構成，三者既能表現為積極因素也可以呈現出消極因素，其中反應最激烈的是情緒[25]。我國研究者發現，對數學情感抱有積極的態度有助于減輕數學焦慮[26]；對數學情感抱有消極的情緒與學生的數學成績呈反比關系，數學成績與積極情緒呈正比關系，情緒等環境因素可預測學生的數學學業成就[27]；高中生的數學學業成就與數學厭倦情緒呈正相關[28]。通過對國內外學者研究發現總結得出，是否能順利解決數學問題，提高數學能力會對學生的情緒造成影響，學生情緒又與學習動機掛鉤，表明學生解決數學問題的能力與學習動機呈正相關，培養學生解決問題的能力能有效提高學生的學習動機。

解決問題是數學活動的核心內容，也是它的存在目的[29]，但如何培養學生解決問題的能力是許多研究員和一線教師研究的重點內容。經調查發現，重視解題方法而忽視解題思維是解決數學問題的一大陷阱，解決問題的過程應該有足夠的思維活動過程[30]，想要激發學生的思維活動，需要教師進行適當的言語調控。大量教育家對教師語言進行研究發現，教師在學生解決問題的過程中運用啟發式提示語，有助于學生對關系、意義有更加深入的思考與探究，特別是探究是否能與其他的意義與關系之間的轉化，同時指出所有的問題之中都貫穿思考是解決數學問題最常見、最基本的思考方法[31]。教師在情境創設的教學過程中可以借助啟發式提示語，幫助學生提高解決問題的能力。

在實際的課堂教學中，教師在向學生傳達如何運用啟發性提示語解決問題時，無論是課堂互動上還是情境創設上都會有所欠缺，所以教師可以通過示范教學來培養學生解決問題的能力，這樣不僅能充分調動學生的聽覺、視覺形成表現與聯系，還能引導學生在觀察、思維、模仿、操作中掌握要領，領悟精髓[31]。教師可以通過使用適當的材料，親臨課堂進行演繹，經過一系列的動態展示，引導高中生對啟發式提示語有更加生動、直觀的認識，從而培養學生解決問題的能力。

三、培養高中生數學“四能”的思考

1.加強問題解決過程的完備性

數學“四能”是不可或缺的一個整體，它們之間相輔相成，發現問題的能力、提出問題的能力，分析問題的能力、解決問題的能力是問題解決所需完備的四種能力。當學生擁有這四種能力時，教師可以在課堂教學中引導學生經歷發現、提出、分析、解題問題的全過程，這樣的過程能促進學生數學邏輯的完整性，對未來的數學發展具有實質性的價值。當前的高中數學教學現狀是，教師對問題解決的重視程度依舊很高，但更加注重的是對學生解題方法、技能的訓練，不愿花費時間引導學生去探究問題是如何被發現、提出的。事實上，發現問題才是探究科學的基礎，提出問題在數學中占有創新地位，但在高中階段卻本末倒置，所以引導學生在問題解決中經歷發現、提出、分析、解題問題的全過程具有現實的意義。

基于此，教師應當增加對數學“四能”的重視，才能培養好學生的數學“四能”。在課堂教學中，教師可以結合生活情境，有意識地引導學生用數學的眼光去觀察、發現問題，并運用恰當的數學語言對發現的問題進行渲染，在特定的邏輯線索和數學關系中提出問題，并運用啟發式提示語，引導學生對問題進行深入思考探索，最終用數學的思維、方法去分析、解決問題。通過對問題進行發現、提出、分析、解決的全過程有利于學生對數學技能、知識的運用，產生多種策略及方法來解決問題，還能強化學生主動對數學進行表達、交流，提高學生的自我效能感。更重要的是，通過加強問題解決過程的完備性，不僅能有效地培養學生的數學“四能”，而且能將數學核心素養自然而然地融入其過程之中。

2.應用項目式學習模式

項目式學習是一種動態的學習方式，以學生為中心，在特定的環境下，通過數學的理論知識和現實相關領域進行耦合，為學生創設具體的、有價值的任務情境[32]，最終由學生創建團隊解決一個開放式的問題，在解決問題的過程中積累數學經驗，對知識進行同化和順應，這種學習模式能有效地激發學生的自我內驅力。結合《普通高中課標2020》，發現項目式學習的主要過程是依托于教學目標，結合本章節教學內容的特色，由教師設計出具有情景化的主題內容，引導學生在情境中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，這與培養高中生數學“四能”的過程極度吻合。所以教師在教學活動的展開中可以利用項目式學習的方式培養學生的“四能”，而項目式教學的核心在于情境的創設和學生之間的合作學習。

（1）重視問題與生活情境的結合

高中階段的數學內容難度大，抽象系數高，學生不易掌握到其精髓，成為眾多教師的煩惱。但多年來經過對高中階段課程優化的實踐發現，開展項目式的學習模式，根據本章節涉及的數學內容創設出適合的情境，將問題與生活情境進行聯系，有助于問題解決，從而培養高中生的數學能力。將二者進行聯立，教師不僅能引導學生體會直接經驗，使學生運用到教師所傳授的間接經驗，還能通過揭示數學發展的脈絡以及數學背景，進一步幫助學生解決生活中的實際問題，最終能激發學生對數學學習的興趣，培養學生的數學“四能”。雖然生活情境的創設的確有助于推動教學質量的提高，以及教學方式的進一步優化，但在實際的課堂教學中也存在著一些問題，如創設的情境與現實生活脫軌，數學內容與創設的生活情境二者之間的關系處理不當，情境對數學本質的理解產生了過度的干擾等。

創設的情境是否合適并不單單取決于其本身，而在于能否通過在所創設的情境中解決的問題能夠揭示數學的本質[33]，由此可見，如何把握好問題解決與生活情境之間聯系很考驗教師的能力。不同的情境，蘊含的學習效果對應著不同的內容，教師應當把不同的教學情境及教學活動應用于培養學生不同方面的數學“四能”，通過對數學的應用能發展哪方面的數學核心素養作為未來高中課程教學設計的著重思考點。教師在高中課堂教學中要突出問題導向，通過適配的生活情境的展開，有效地驅動教學過程，啟發學生的數學思維，引導學生在問題解決的過程中培養其數學“四能”。

（2）提高問題解決的合作性

項目式學習模式的另一個核心內容是學生創建學習小組，每位學生各自擁有自己的角色，并且相互切換，進行合作學習。而合作學習從課堂教育的角度來說是指組織學生學習的一種形式，學生通過在小組中完成共有的作業或任務，從而進行的一種互助式學習方式，并且這種學習方式在當前世界各國的數學教師學習或工作時也常常運用到[34]。合作學習有利于提高問題解決的效率，還能衍生出不同的問題解決的方向，對培養學生的數學“四能”也會產生積極的影響。

教師在課堂教學中可以將四位學生為一個小組，1～4號分別代表學生的數學能力從高到低，教師在進行情境設問時，小組各成員之間可以進行討論。當小組內部討論出結果后，可以與其他小組進行競爭，激起其他小組內部緊迫感；若小組內部討論無果，可以由數學能力較高的1號與2號同學嘗試與其他組成員進行探討，在得出結論后返回本小組內部討論、學習。這樣的合作學習方式有利于在課堂上高效地對問題進行解答，并且不同數學能力的學生對問題各抒己見，對此其他同學與自己的見解有何不同，以此彌補不同學生在不同數學“四能”維度的不足，升華學生的數學“四能”，最終進行全方位提高。

3.引入翻轉課堂教學模式

翻轉課堂是近年來由于信息技術的快速發展而火熱的一種教學模式。從數學學科的角度看，教師不占用課堂上的時間傳授數學知識，而是利用信息技術提前錄制好視頻，學生在課前或者課外的時間觀看視頻，將課堂上的時間歸還學生，用于教師與學生、學生與學生之間互動學習。翻轉課堂的教學模式十分契合高中生數學“四能”的培養，高中的數學課程難度大、內容多，教師一味地運用傳統的教學模式，容易導致學生在課堂上自主思考的時間減少，不易培養高中生的數學“四能”，絕大多數的學生只能將教師所講的內容記住，并不會深挖其數學知識點或公式的來龍去脈。但運用翻轉課堂教學模式，引導學生利用課外或者課前的時間通過信息技術的方式對數學的知識進行學習，能給予學生充足的時間發現和提出問題，在課堂上通過師生互動或者生生互動，加上教師點撥，引導學生分析和解決數學問題，并從中繼續發現和分析問題，這樣能夠有效地培養高中生的數學“四能”，發展高中生的數學核心素養。

數學問題的解決，需要一定的數學能力作為基礎條件，但培養高中生的數學能力不是一朝一夕能夠完成的，需要教師、學生、教學方式等多方面的配合，即教師應當結合所能利用的全部資源條件循序漸進地培養高中生的數學能力。在教育改革的今天，培養高中生的數學“四能”應當作為教師課堂教學中的重要任務，并在不同的教學環節有所滲透，才能更好地對問題進行解決，發展高中生的數學核心素養。