關于分裂四元數及其矩陣的共軛相似性探討

謝克萊·熱不哈提，鄧 勇，b

（喀什大學a.數學與統計學院；b.現代數學及應用研究中心，新疆喀什 844000）

0 引言

眾所周知，Hamilton 于1843 年引入了實四元數，它可表示為H={q=q0+q1i+q2j+q3k:ql∈R,l=0,1,2,3}，其中：i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j.由上述乘法規則可知，實四元數環是一個乘法非交換環，這將導致交換環中的許多良好性質喪失.基于此，研究實四元數矩陣的障礙之一歸結為實四元數乘法的非交換性[1].目前，已有很多關于實四元數矩陣的研究.例如，文獻[2]討論了實四元數矩陣的右特征值；黃禮平[3，4]給出了實四元數矩陣的左特征值、共軛相似性和基于共軛相似的Jordan 標準形；姜同松等[5]研究了基于共軛相似的實四元數矩陣的對角化問題和兩種計算方法.

繼Hamilton 之后，在1849 年，James Cocker 利用實四元數又定義了分裂四元數.同樣，分裂四元數環的乘法也非交換，而且包含零因子、冪零元和非平凡的冪等元[6].由于Lorentz 關系可用分裂四元數表示，所以其應用非常廣泛，包括幾何和物理意義[7].此外，Erdo?du 和?zdemir 利用分裂四元數矩陣的復表示，得到了其特征值的計算方法，并推廣了Gerschgorin定理[8，9].

1 分裂四元數的共軛相似性

設R 是實數域，C=R⊕Ri是復數域，HS=R⊕Ri⊕Rj⊕Rk表示實分裂四元數環，其中

令q=q0+q1i+q2j+q3k∈HS，其共軛和范數分別定義為q=q0-q1i-q2j-q3k和定義q∈HS的左、右表示Rq和Lq分別為Lq：HS→HS，Lq(x)=qx和Rq：HS→HS,Rq(x)=xq.對分裂四元數q=q0+q1i+q2j+q3k∈HS，映射

是HS到矩陣代數M4(R)上的同構[10]，稱L(q)為q∈HS的左矩陣表示.同樣，q∈HS的右矩陣表示可定義為

定理1.1[10]設p,q∈HS，λ∈R，則有

定義1.1分裂四元數a,b稱為相似，如果存在可逆的p∈HS，使得a=pbp-1，記作a ～b.

顯然，相似的兩個分裂四元數有相同的范數.此外，分裂四元數的相似關系～是等價關系.一般地，對?a,b∈HS，因不是HS上的等價關系.為此，需重新定義分裂四元數的共軛相似性.

定義1.2設a=a0+a1i+a2j+a3k∈HS，稱=jaj=a0-a1i+a2j-a3k為a的j-共軛.

容易驗證：對?a,b∈HS，有

定義1.3分裂四元數a，b稱為共軛相似，如果存在可逆的p∈HS，使得，記作a～cb.

定理1.2對?a,b,c∈HS，共軛相似關系～c滿足:

（1）a～ca(自反性)；（2）若a～cb，則b～ca(對稱性)；（3）若a～cb且b～cc,則a～cc(傳遞性).

因此，共軛相似關系～c是HS上的等價關系.

證明：（1）自反性.對?a∈HS，因故～c自反.

定理1.3[11]設a=a0+a1i+a2j+a3k∈HS，b=b0+b1i+b2j+b3k∈HS，且Ia,Ib>0 (或Ia,Ib<0).方程ax=xb有非零范數解x=x0+x1i+x2j+x3k∈HS?‖a‖=‖b‖.在方程有解時，若a+b ≠0，則其 有解x=λ(a+b) (λ∈R)；若a+b=0，則其解x滿足a0x0-a1x1+a2x2+a3x3=0.

定理1.4[11]設a∈HS且‖a‖≠0.若a ?R，則二次方程x2=a有兩個分裂四元數解：

2 分裂四元數矩陣的共軛相似性

我們知道，對A,B∈Cn×n，若存在復可逆矩陣P，使得，則稱它們復共軛相似.容易驗證，復共軛相似關系是Cn×n上的等價關系.分裂四元數在Lorentz 空間的微分幾何和結構理論中占有重要地位，而對A,B∈，根據定理2.1，由于AB ≠BA，(AB)T ≠BT AT，所以映射A→PAP-1不是上的等價關系.因此，有必要給出分裂四元數矩陣共軛相似的新定義.

故定理得證.

（1）A～c A(自反性)；（2）若A～cB，則B～c A(對稱性)；（3）若A～cB，B～cC，則A～cC(傳遞性).因此，～c是上的等價關系.

顯然，若A∈Cn×n，因，故分裂四元數的共軛相似是復共軛相似的自然擴展.

定理2.4設A,B∈，A～cB?jA～jB?Aj～Bj?jA～Bj.

證明A～cB?存在可逆的P∈，使得AP-1=jPjAP-1=B.因此，A～cB?PjAP-1=jB?jA～jB.此 外，由j-1jAj=Aj，可 知jA～Aj，同 理，jB ～Bj.綜上可得，jA ～jB?Aj ～Bj?jA～Bj.

眾所周知，若x∈(x ≠0)，λ∈HS滿足Ax=xλ(Ax=λx)，則稱x是A的一個特征向量，λ稱為A的右(左)特征值.或者，稱x是對應于右(左)特征值λ的特征向量.由定義2.2同樣有

定理2.6設A∈，λ0∈HS.λ0是A的共軛右特征值?jλ0是jA的右特征值?λ0j是Aj的右特征值.

證明設λ0是A的共軛右特征值，即?0 ≠x∈，使得

是Aj的右特征值；

同樣，

是jA的右特征值.

定義2.4[11]設稱2n× 2n階矩陣為A的復伴隨矩陣，用χA表示.

利用定義2.4 容易證明：A∈可由復矩陣A∈C2n×n唯一確定.

引入符號?，于是

因此，A,B∈的乘法可以借助普通矩陣的乘法AB?(χB)T A來表示.

定理2.7[11]設A,B∈H n×nS，則有：

（1）χA+B=χA+χB；（2）χAB=χA χB；（3）若A可逆，則(χA)-1=χA-1；（4）一般地≠(χA)*成立.

是χA的共軛特征值集合.

證明設若λ∈C是A的共軛右特征值，故，使得，即

這兩個方程可寫成矩陣形式

因此，A的復共軛右特征值等價于其伴隨矩陣χA的共軛特征值，即

3 分裂四元數矩陣的實表示

因此，A∈的實矩陣可表示為

即它可由實矩陣A∈R4m×n唯一確定.

引入符號?，于是

定理4.1在分裂四元數矩陣環中，下列恒等式成立：

其中

證明（1）—（5）恒等式很容易證明，這里只證明（6）.

（6）設A∈，λ∈C 是A的共軛右特征值.于是，?0≠x∈，使得=xλ，將其寫成φA x=xλ.因此，A∈的復共軛右特征值等價于φA的特征值[12]，即(A) ?C=σ(φA).