從“比”的概念看高中數學概念類主題教學

【摘要】“比”的概念是高中數學中一個重要的概念，“比”的概念的研究不僅有助于學生理解數學理論，更有利于學生理解生活實際中應用“比”的知識解決問題。在高中數學教學過程中，教師應以教學大綱為指導，從課標出發，對課本內容進行適當挖掘，以“比”的概念為例看高中數學概念類主題教學。

【關鍵詞】高中數學? “比”的概念? 主題教學

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2023）04-0094-03

在新課改的背景下，教學中如何將數學概念類主題教育與新課改的理念結合起來，以實現高中數學課堂高效?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》明確指出：“概念是理解數學知識的基礎，概念的本質在于將復雜的問題簡單化?！痹诖死砟钪笇?，概念類主題教學以其獨特的魅力吸引著廣大教師及學生。在教學中，教師為了更好地引導學生進行數學學習，將概念作為學習的主線，對這些概念進行深度的挖掘并賦予其意義。[1]主題教學是在學生已經對某一具體的知識點有了一定了解和掌握基礎上進行的，旨在激發學生的學習興趣，因此文章內容從“比”的概念這一知識點出發，結合高中數學學科特點，從“比”的概念為主題展開研究，并嘗試通過其探究高中數學課堂的概念類主題教學。

1.關于“比”的相關內容

1.1“比”的概念

“比”的概念是由德國著名數學家、數學教育家萊布尼茲（Leibniz）提出的，他認為一切函數都是“比”，所有在一次函數中所表示的任何二元一次不等式都可寫成“比”?！氨取边@個概念出現在《比的基礎》中，教材從“比”這個字出現到現在已經有60多年歷史了。[1]具體說“比”是指兩個事物之間的比較關系，它可以表示兩個事物之間的大小、數量、位置等關系?！氨取痹诟咧袛祵W中主要包括了代數式中異號、同號和反式組的性質三方面內容，它們之間都存在著一定的關系，其中異號組是一種特殊的表示形式，反式組一般用來表示函數中各常數之間的數值關系，因此兩個事物間存在著一定的比例關系?！氨取痹诟咧袛祵W中具有十分重要的地位，它是學生在中學階段學習代數運算時必須掌握和學習的內容，其對于培養學生邏輯思維能力和運算能力都有重要作用。這部分內容是整個中學數學教材中一個重要的內容，在高中數學知識中占有很重要的地位，因為高中階段學生對“比”有著更深層次的認識，他們需要了解學習這些內容是為了解決一些實際問題。

1.2“比”的教學內容

在高中數學中，“比”的概念包括“弧度制、三角函數、直線的斜率、函數的變化率/導數”等?！氨取弊鳛楹瘮翟诟咧须A段中頻繁出現，但是大部分學生對“比”函數的理解還停留在直觀理解上，還沒有深入到本質意義上。

1.2.1弧度制。這里所提及的“比”的過程比較完整。π/180是確定的數值，其中l/r和x的角度的大小有著密切的關系。即使圓的半徑有所不同但是數值的比率是不會改變的。所計算的圓心角的大小實際上就是和圓弧的長度和半徑之間的比有密切的聯系。如果出現圓弧長度和半徑對應的弧的圓心角我們稱它為弧度的角?，F在所使用的π/180，使得弧度制在數學問題上可以大量的應用，尤其是涉及到微積分問題的時候，不能將它只應用到三角函數的內容里，而是要讓學生明白其中蘊涵的原理，加深學生對弧度制的理解。

1.2.2直線斜率。關于我們為什么用k來表示斜率還沒有找到正確的答案。而西方則用m作斜率的符號。k作為斜率有的猜想說可能來自俄羅斯。把k作為斜率的符號，在一定基礎上更加印證了用數量比來作為斜率的說法。但是也不能說用m作為斜率的符號不可行。這些問題值得去研究和探討。斜率是三角函數里經常使用的知識，教材里實際的應用寫成直線上兩個點的縱坐標的差值比上橫坐標點的差值。很多時候它雖然是以幾何概念出現，但是通常使用數量的比來進行定義，使得用幾何解決數學問題得到肯定和應用，應用代數來解決幾何的相關問題。事實上，兩種觀念的相互磨合，在認識斜率的時候起到了很大的作用。

1.2.3函數變化率。它的定義實際是指，以函數圖像的切線作為研究變化率的切入點。它們的變化和直線斜率之間有著密切的聯系。在教材里給出的答案是用坐標差的比來計算，把函數變化率的概念寫入教材，而不在乎“比”演化的過程。所以可以解釋坐標之間產生的差進行比值得到函數的變化，進而把導數涉入到度量比里，這里的導數內容則需要和微積分聯系在一起。

2.從“比”的概念看高中數學概念類主題教學的 要點

2.1挖掘課程資源

概念類主題教學中需要挖掘的課程資源很多，這些資源包含了學科核心素養的相關要求，也包含了其他重要概念的知識和能力要求，以及對學生學習活動的影響。例如“比”的概念的形成過程中就涉及到一些相關概念，其中比較關系是“比”的基礎知識，也是學生在初中階段就已經學習過的內容，如果教師不了解學生知識背景與已有經驗，很難有效開展概念類主題教學。如果對“比”的概念的形成過程缺乏了解，就很難把握教學目標并設計學生學習活動；而如果對“比”的概念理解不到位，就很難開展有效的教學活動。[2]在挖掘課程資源時應該遵循學生認知發展規律和學科核心素養發展要求，盡可能挖掘與課程內容相關的事實、案例等信息資源并在教學中加以運用。挖掘課程資源時還要注意問題情境是否能激發學生探究欲望與學習興趣、知識與技能能否促進學生獲得解決問題的策略、知識是否符合學生認知發展水平。

2.2通過觀察、比較，抽象概括出“比”的概念

在“比”的概念教學中，教師要引導學生經歷觀察、比較、歸納等過程，引導學生積極參與數學思考，經歷從具體到抽象，從特殊到一般的認知過程。例如，通過觀察并比較“一個比與另一個比之間的大小關系”這一問題，幫助學生感受并理解“比”的概念。在此基礎上，教師通過展示函數的試題：已知f（x）=exlnx2，如果a=f（-ln3），b=f（ln3），c=f（3e），則說出a、b、c的關系。學生在計算這個結果時經歷了從特殊到一般的認識過程，學生在計算之前回顧已經掌握的知識，幫助學生充分理解數學概念之間的聯系。

2.3從數學概念中抽象出幾何圖形，提煉其本質屬性

“比”的概念抽象主要表現在幾何圖形上。如何抽象出一個幾何圖形，其本質屬性如何體現？這是學生難以解決的問題，也是數學概念類主題教學中的一個難點。教師引導學生對“比”的幾何圖形進行分析，讓學生通過對“比”的概念的認識，體會到“比”是由兩個相比較的量組成，其本質屬性體現為兩個量之間的相等關系。在此基礎上，教師引導學生以“比”的幾何圖形為載體，用抽象和簡化的方法來認識并理解“比”。由此引導學生構建起了“比”與“比例”的概念聯系，明確了“比”與生活實際相結合是其本質屬性，并通過類比歸納等方法建立起了關于“比”的圖形表象。

2.4通過回顧、梳理，感受概念形成過程

為了幫助學生理解概念的產生過程，以便在運用概念解決實際問題時能夠做出正確判斷。通過對具體問題的分析和抽象，發現和確定兩個對象之間的數量關系，進而獲得對數學概念的理解。首先，通過對“比”的概念的回顧、梳理，讓學生感知“比”的概念的產生過程。在此基礎上，引出“比”更深層的概念。其次，通過對具體問題的分析、抽象和概括，使學生通過數學實例感受并理解數學概念產生和發展的過程，使其明確：用“比”來表示兩個事物之間的數量關系時，要注意它們之間是比較而非比例；同時也使學生感悟：“比”是數學研究中常用的一種數量關系。

3.主題設計——比的教學

在研究過程中，學生首先要確定“比”的定義、性質和表示方法，在此基礎上，通過討論、交流、歸納等過程得出定義：“比”的本質特征是兩個量的相等，同時兩個量可以用不同的符號表示。其次，學生在分析定義時要注重方法的靈活運用。最后，在掌握定義后，教師應組織學生進行歸納總結，并對“比”的概念的應用做出要求。

3.1教學目標方面

首先讓學生學會用兩種畫圖的方式學習關于“比”的相關內容，在計算數學問題時把知識點應用到其中。得到計算結果可以清楚地解釋計算的過程，讓數形結合的計算思想印到知識庫里，充分理解“比”的內容，提高學生學習數學的涵養。其次，根據教材理清“比”的內容和關于變量和函數中“比”的內涵，領悟“比”發展形成的過程。[3]把與“比”有關的問題無論是圖形方面還是動態發展方面研究透徹。最后，通過調查研究了解學生對“比”的認識的發展，提高學生邏輯思維方式。

3.2教學流程方面

通過三角函數內容的學習重新認識“比”，通過坐標和函數認識“比”的知識。根據幾何的知識，加深“比”對數和形的影響的理解。深入探究“比”的動態特點和在數學變量教學的地位。具體流程：第一步，在三角函數的學習過程中，將弧度制與三角函數由幾何量向代數量的演化過程結合起來，認識坐標法與“比”的概念在函數中的內在聯系。第二步，把解析幾何與立體圖形之間的內在聯系相融合，例如“比”的分點、斜率、面積射影定理等，加深對“比”的數和形兩個側面的認知；第三步，將函數變化率和導數的教學內容相結合，對“比”的動態特征及其對變量數學的地位進行更深入的認識。

3.3主題學習方面

用“比”作為連接者，借導數來導入學弧度制的重要性。首先是對弧度制的解剖，借用計算機，把各個點展示在坐標軸上，連成直線。其次是對sinx/x的猜想，根據x的變化使直線斜率變成1。通過這樣的方式讓學生知道應用弧度制的益處。把握好概念理論并把它應用到解決數學問題里。教學中教師應采用啟發式、討論式教學法，并通過大量的習題訓練等方式，培養學生對“比”的概念的理解。教師通過“比”的概念教學，不僅幫助學生掌握了“比”的概念及性質，更加深了學生對數學理論的理解，也培養學生運用數學知識解決生活實際問題，從而培養了學生的數學素養。但是，學生對“比”的概念的理解還存在著一定的偏差。學生有時會認為“比”就是“比大小”，有時會認為“比”就是比較。在今后教學過程中還需不斷加強對數學知識及數學思想方法的訓練?；《戎凭唧w例子如下：

（1）運用軟件描點作x-sinx°的散點圖形（x∈{0.01，

0.02，…，0.09}），根據觀察圖形得到各點散布于從原點經過一條的直線上。

（2）根據sinx°/x的意義，猜想（1）中所得直線的斜率。

（3）通過改變（1）中圖表里x軸的單位長度，使直線l的斜率變為１。根據（２）得到的答案，解釋引人弧度制對ｙ＝sinx圖像的影響。

（4）根據f（x）＝sinx，結合（2）所計算出來的計算結果，再計算出f′（0）的結果。

此題目意在幫助學生理解關于弧度制的優點，并將其應用于對導數及其相關章節的拓展研究。第一個問題考查學生運用計算機數據處理可視化技術，借助圖形尋索解答問題的思維方式。第二個問題運用圖的本質來探究數學的法則，并要求學生能把復雜的數學問題變成計算問題。第三個問題要求學生能夠充分運用數型結合的思考，從數據分析的觀點來探索功能的特性?？偟膩碚f，這三道題都是將數學計算與數據分析相結合，與學生的直覺與想象有關。第四道題目是啟發式題目，同學們能否從前面的運算中，提煉出關聯函數的極限？通過求出的導數結果，達到訓練學生抽象化思維的目的。高中數學微積分專題為弧度制的合理解釋提供了可能。[4]高中數學中的微積分教學為弧度制的學習提供合理的解釋，當學生在學習高中數學過程中遇到一樣的情況，根據自然對數的底數ｅ的由來，進行學習和對比，能夠通過“比”這一核心概念，提高學生對類似數學題的認識。

4.結語

“比”是高中數學概念類主題教育的策略研究方向?！氨取弊鳛楦咧袛祵W的重要概念之一，是學生理解和掌握數學知識、形成正確的數感、提升科學探究能力必不可少的內容，也是高中生學習數學概念，養成良好思維習慣的重要基礎。在新課改的背景下，要加強對“比”等概念類主題的教育，讓學生在日常生活中感受“比”，并能夠從自己的實際生活出發解決數學問題，幫助學生樹立終身學習理念和態度，為其將來進一步學習打下堅實基礎。

參考文獻：

[1]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[2]章建躍.核心概念最有力量[J].中小學數學（高中版），2010（10）：封底.

[3]李秋霖.高一不等式主題教學實驗研究[D].昆明：云南師范大學，2020.

[4]胡艷.基于核心素養的主題教學研究[D].重慶：重慶三峽學院，2021.

作者簡介：

徐敏（1989年—），男，仡佬族，貴州務川人，大學本科，理學學士，一級教師，研究方向：高中數學教學。