基于D形鈍體樹式能量采集器建模與實驗研究

彭偉杰,韓 東,何緯峰

(南京航空航天大學 能源與動力學院,江蘇 南京 210016)

0 引言

監控傳感器網絡是長距離管道運輸的安全保障,為保障監控設備可靠工作,穩定不間斷的電能供應是必要條件之一[1]。壓電能量采集器利用流致振動原理,可將定向流體的動能轉化為電能,為低功耗的用電器供電,打破了傳統化學電池供電在使用壽命和工作范圍方面的限制,并且管道運輸的環境為壓電能量采集器提供了合適的工作條件,通過收集管道內流體動能轉化為電能,為管道監控傳感器持續穩定的自供電提供了一種可行的新型解決方案[2]。

壓電能量采集器通?；跍u激振動和馳振兩種不同的振動模式來捕獲流體的動能。不同的振動模式取決于能量采集器所采用的鈍體形狀及表面參數[3]。在這兩種模式中,渦激振動由于存在自限制的特征[4],使得能量采集器工作時適宜的流速范圍小,不利于更高的能量轉換。而在馳振模式下,能量采集器的振幅隨著風速的增大而增大,有利于壓電能量采集器輸出更高的電功率[5],是一種更適合能量采集器捕能的方式。學者們對馳振模式下的壓電能量采集器開展了多方面的研究。在壓電能量采集器數學建模與數值仿真方面,學者們采取的主要方法有拉格朗日-歐拉法、沉浸邊界法和加速度參考系法等。Chawdhury等[6]采用沉浸邊界法和自適應求解策略的二維渦旋粒子法對可變形體周圍流體繞流情況進行數值分析,研究了T型懸臂梁自由端帶有質量塊時系統的振動模式以及對能量采集性能的影響。Abdelkefi等[7]提出一種基于歐拉-伯努利梁假設理論的分布參數模型,研究了鈍體截面形狀,不同風速及外界負載對壓電能量采集器的性能影響。為了進一步探究與準確預測壓電能量采集器的性能,學者們還通過物理模型實驗研究以彌補建模與仿真的局限性,Sun等[8]在循環水通道中對圓柱、三棱柱和半圓柱三種振子進行了實驗,對比了馳振模式下三種采能系統的發電功率。Liu等[9]設計了一種類似楊桃形狀的帶“Y”型鈍體的能量采集器,在低風速下更易處于馳振模式,有利于能量的采集。此外,外接負載電路[10]、伺服控制[11-12]和梁體形式對能量采集器性能的影響也為學者們所研究。其中壓電能量采集器梁體形式由彈性梁連接方式不同可分為懸臂梁式和樹式兩種,樹式壓電能量采集器由于有更大的轉動慣量而更適合采集流體能量[13]。在流致振動領域,關于壓電梁的研究大多集中于純彎曲的模式,對于偏心布置壓電梁彎扭耦合模式的研究甚少。在振動應用場景,Abdelkefi等[14]對彎扭耦合壓電梁能量采集器進行了實驗探究,結果表明隨著兩端質量塊不對稱性增加(質量差)增加,能量采集器的發電性能更佳,可在多頻率激勵中集中收集能量。

綜上所述,基于馳振原理的壓電能量采集器在小尺度下對振動能量的轉化利用具有一定優勢。提高鈍體所受的馳振力,從能量輸入端增大輸入是提高壓電能量轉換器性能的一種可行方式。同時,在振動應用領域已證明彎扭耦合梁比純彎曲梁更利于振動能量的捕獲收集。因此本文提出一種新型“D”形鈍體結構,提高其所受馳振力,同時對樹式彈性梁進行偏心布置,研究其對壓電能量采集器性能的影響。在現有壓電能量采集器分布參數模型基礎上進行樹式彎扭耦合梁壓電能量采集器數學模型的推導與建立,并進行相應的數值仿真分析與實驗研究。

1 數學模型

本文所研究的新型D形鈍體樹式能量采集器由尖端鈍體、彈性梁、壓電纖維片(Macro Fiber Composite,簡稱MFC)及固定底座組成,彈性梁自由端與尖端鈍體固連,彈性梁固定端固連于固定底座上,壓電纖維片緊貼于彈性梁一側的表面。圖1為樹式壓電能量采集器的結構示意圖,圖2展示了樹式壓電能量采集器的結構尺寸參數,其中e為偏心距,定義為尖端鈍體重心與彈性梁重心在相互接觸截面上投影之間的距離。彈性梁的長度方向為x方向,厚度方向為y方向,寬度方向為z方向。來流方向沿著z向經過尖端鈍體時,尖端鈍體在流體力的作用下沿正負y方向產生周期性的擺動,使壓電纖維片產生壓電效應從而把流體能量轉換為電能。

圖1 樹式壓電能量采集器結構示意圖

圖2 壓電能量采集器結構參數圖

此壓電能量采集器數學模型的建立基于以下三種假設:假設彈性梁為歐拉-伯努利梁;忽略膠粘劑的厚度作用;假設基板層與壓電層貼合緊密。

如圖3所示,采用兩種不同的坐標系描述壓電能量采集器的彎扭耦合振動模式:固定坐標系和參考坐標系。梁的彎曲運動采用固定在彈性梁固定端側的固定坐標系o-xyz來描述,梁的扭轉運動采用彈性梁自由端參考坐標系I-ijk來描述。坐標軸I-i,I-j和I-k與正交坐標系中梁截面的中軸線重合。

圖3 能量采集器壓電梁模型示意圖

T=Tb+Tc

為了建立壓電能量采集器的數學模型,首先推導出壓電能量采集器的總動能、總勢能和虛功的表達式。其中壓電能量采集器的總動能T由彈性梁的動能Tb、以及流體附加質量所引起的流體附加動能Tc組成。即

(1)

其中,彈性梁動能Tb表示為

(2)

式(2)中ρp為壓電纖維片的密度/kg·m-3;ρs為彈性梁的密度/kg·m-3。

流體附加質量所引起的附加動能Tc由尖端鈍體的平動動能和轉動動能兩部分組成,表示為

(3)

式(3)中Mt為鈍體質量;Mf為流體繞流所引起的附加質量;柱體結構轉動慣量Jti及柱體振動引起繞流附加轉動慣量Jfi可分別表示為

(4)

系統的總勢能U由內勢能、電勢能和重力勢能三部分組成,可表示為

(5)

系統非保守力所做的虛功Wn共由三部分組成,可表示為

Wn=We+Wd+Wa

(6)

式中We為電磁力所做的虛功,可表示為

(7)

式(7)中Me為電磁力矩,可表示為

(H(x-L3)-H(x-L2-L3))=

?pV(t)(H(x-L3)-H(x-L2-L3))

(8)

式(8)中,E3為壓電纖維片極化電量,可根據公式-V(t)/hp計算;e31為壓電纖維片的應力系數,可根據公式Epd31計算,其中d31為壓電纖維片的應變系數。H(x)為階躍函數;?p為壓電耦合項,可根據公式?p=-e31bp(y1+y2)/2計算;V(t)是壓電纖維片形變產生的電壓。

Wd為阻尼力所做虛功,可表示為

(9)

式(9)中,Fd為壓電梁結構產生的阻尼力,根據式-ca·?u(x,t)/?x-csI·?5u(x,t)/?x4?t可計算得出,其中cs為壓電梁結構粘滯應變,ca為氣動阻尼系數。

第三部分Wa為氣動力所做的虛功,可表示為

(10)

式(10)中,Ftip為鈍體所受氣動力;Mtip為相對于彈性梁固定端的結構氣動力力矩。由Abdelkefi等[7]提出的基于歐拉-伯努利梁假設理論的分布參數模型以及廣義哈密而頓原理,可得到上述壓電能量采集器的機械控制方程為

(11)

式(11)中,GI為彈性梁的扭轉剛度,EI為彈性梁的彎曲剛度,m為單位長度彈性梁的質量。當0

進一步地,通過高斯定理[15]建立壓電能量采集器的機電控制方程如下式所示

(12)

鈍體所受馳振氣動力Ftip與力矩Mtip由下式給出

(13)

式(13)中,ρa為空氣密度,U為空氣流速,d為鈍體的迎風面寬度,如圖4所示,Cy為y軸向馳振系數,由Barrero-Gil[16]的研究可知

圖4 D形鈍體截面示意圖

Cy=a1tanα+a3(tanα)3

(14)

因此尖端鈍體所受馳振氣動力及氣動力矩可由下式表示

(15)

通過降階處理[17],得到壓電能量采集器的機電控制方程為

(16)

(17)

其中,系數k1和k3由下式給出

(18)

對降階處理的機電控制方程式(16)進行求解,即可得到上述壓電能量采集器的電壓V(t)以及功率P(t)等電學參數。

2 風洞實驗研究

2.1 實驗臺簡介

為了驗證上述數學模型的準確性,利用圖5與圖6所示實驗臺對樹式壓電能量采集器進行了風洞實驗。實驗臺主體由風機和實驗流道組成,其中配重水箱和配重砂袋用于穩定實驗臺,熱線風速儀用于測定來流風速,示波器(DSO5102P,Hantek)用于采集壓電信號,數據采集器及位移傳感系統用于采集振動位移信號。

圖5 實驗臺整體視圖

圖6 實驗臺后視圖

實驗中,壓電能量采集器所用壓電纖維片型號為M-2814-P2,彈性梁材質為65錳鋼。壓電纖維片用環氧樹脂膠使其緊貼在彈性梁一側的表面上,并通過導線連接外部負載,負載阻值為106Ω。彈性梁自由端與D形鈍體固連,鈍體平端作為迎風面垂直于風道來流方向以捕獲流體動能。實驗測試風速為0～9 m/s,風速間隔為0.5 m/s,每個風速測試時間不小于1 min。實驗所用壓電能量采集器的物性參數及幾何尺寸由表1給出。

表1 壓電能量采集器幾何尺寸與物性參數

2.2 數學模型驗證

圖7是實驗測得的壓電能量采集器電輸出功率實驗值和解析解的對比曲線,能量采集器數學模型中D形鈍體的氣動力經驗系數a1和a3通過實驗方法[18]測得分別為2.046和-96.355。實驗結果發現,壓電能量采集器發生明顯振動時的風速為1.5 m/s,之后隨著風速增大,輸出功率也逐漸增大,當風速達到9 m/s的測試上限時,所采集的輸出功率達到最大值4.18 MW。數學模型方面,在風速為9 m/s時,計算得到的輸出功率為4.496 mW。對比實驗結果與數學模型解析解發現,輸出功率實驗值與解析解吻合較好,最大誤差僅為7%。

圖7 能量采集器輸出功率解析解與實驗值對比

3 系統性能預測

根據上述建立的壓電能量采集器數學模型,分析了風速、負載電阻值、鈍體高度、鈍體質量及偏心距對壓電能量采集器起振風速和輸出功率的影響。圖8所示為壓電能量采集器在不同風速下輸出功率隨負載阻電阻值的變化,風速分別為3 m/s、5 m/s、8 m/s?？梢钥闯?隨著負載電阻的增大,壓電能量采集器的輸出功率先增大后減小。當負載電阻值增加至大于104Ω后,輸出功率開始明顯上升,在負載電阻值大于106Ω之后,輸出功率開始急劇下降并在負載電阻值達到108Ω之后趨于平穩,且維持較小輸出量。在三種不同風速下,壓電能量采集器均在負載電阻值為106Ω附近時輸出功率最大,即壓電能量采集器的最佳負載阻值約為106Ω。且在相同負載電阻值的情況下,風速越大,壓電能量采集器的輸出功率也越大。

圖8 不同風速下能量采集器輸出功率隨負載阻電阻值的變化

圖9所示為壓電能量采集器在不同尖端鈍體長度下的輸出功率隨負載電阻值的變化,尖端鈍體長度分別為60 mm、80 mm、100 mm和120 mm。圖中可以看出,輸出功率隨著尖端鈍體長度的增加先增大后減小,即在所考慮的尖端鈍體長度范圍內,存在Ltip=80 mm使得輸出功率達到最大值3.58 MW。尖端鈍體長度對輸出功率的影響在負載電阻值達到3×106Ω后減小,不同尖端鈍體長度下壓電能量采集器輸出功率基本趨于相同。

圖9 不同尖端鈍體長度下能量采集器輸出功率隨負載電阻值變化

圖10為壓電能量采集器在不同風速下輸出功率隨偏心距的變化。風速設置為3 m/s、5 m/s和8 m/s,偏心距范圍為0～12 mm?？梢钥闯鲈谙嗤L速情況下,壓電能量采集器輸出功率隨著偏心距的增大而增大,而曲線的斜率卻在減小,這說明偏心距越大時,它的變化對于輸出功率的影響減小。且在相同偏心距下,風速越大,壓電能量采集器輸出功率越高,這也和圖中得出的結論一致。

圖10 不同風速下能量采集器輸出功率隨偏心距的變化

圖11為不同尖端鈍體質量下壓電能量采集器起振速度隨偏心距的變化,尖端鈍體質量分別為45 g、65 g、85 g和105 g。圖中可以看到,隨著偏心距的增大,壓電能量采集器的起振風速減小,說明偏心距對整個系統的總阻尼會產生影響,且偏心距越大,系統總阻尼越小,因此只需要更小的馳振氣動力來克服阻尼,使得起振風速減小?？v向對比來看,在相同偏心距下,尖端鈍體的質量越大,壓電能量采集器的起振風速越大,即系統的總阻尼也越大,說明大質量鈍體在一定程度上不利于流體動能的采集。

圖11 不同尖端鈍體質量下壓電能量采集器起振速度隨偏心距的變化

4 模型結構改進

根據上述性能分析,可以發現尖端鈍體的質量會對壓電能量采集器輸出功率產生負面影響,而偏心距則對其輸出功率有利。若繼續采用常規D形鈍體,在增加偏心距的同時鈍體的質量必然會同時增加。因此,為了得到更大的偏心距而不增加柱體的質量,設計了一種新型的尖端鈍體結構(在其一側增加了凸臺),其結構示意圖如圖12(a)所示,圖12(b)為尖端鈍體實物圖。

圖12 新型尖端鈍體結構圖

對原型鈍體和新型鈍體(兩者保持相同的長寬比和偏心距)在實驗風洞中進行壓電能量采集器的發電實驗,實驗結果如圖13所示?？梢钥吹?無論是對新型鈍體還是原型鈍體而言,壓電能量采集器的輸出功率都隨著偏心距的增大而增大。且在相同偏心距下,結構優化后的新型鈍體與新型鈍體相比壓電能量采集器輸出功率更高,最大輸出功率達2.01 MW,與原型鈍體最大輸出功率相比提高39.8%。

圖13 新型與原型鈍體不同偏心距下能量采集器輸出功率對比

5 結論

本文對一種D形鈍體樹式壓電能量采集器進行了研究,基于Euler-Bernoulli梁假設和分布參數法建立了其數學模型,并通過風洞實驗驗證了數學模型的準確性。利用模型對壓電能量采集器進行性能預測,結果表明能量采集器輸出功率隨風速和偏心距的增大而增大;起振風速隨著偏心距的增大而減小,與系統總阻尼有關;存在最佳負載電阻值與最佳鈍體長度使得壓電能量采集器的輸出功率達到最大。通過對結果的進一步分析,對模型結構進行了改進,改進后的新型鈍體壓電能量采集器最大輸出功率與原型鈍體相比提高39.8%。