Banach空間中非擴張映射和m-增生算子零點的廣義隱黏性迭代方法

潘靈榮, 王元恒

(1.浙江廣播電視大學 溫嶺學院,浙江 溫嶺 317500; 2.浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

變分不等式理論和不動點理論已經成為解決基礎科學和應用科學中許多問題的重要工具,其在信號處理、均衡問題和優化問題中都有廣泛的應用,把這些問題轉化為不動點問題是很多學者關注的焦點(文獻[1-7]).隱中點規則是求解微分代數方程和普通微分方程的重要數值計算方法之一,許多學者運用該方法進行了黏性迭代算法的收斂性分析,詳見文獻[8-14].

2009年,Chang[15]給出了關于m-增生算子和非擴張映射的黏性迭代算法:

并證明了關于m-增生算子和非擴張映射的序列{xn}強收斂于公共不動點p,這也是下列變分不等式問題的解:

〈(I-f)p,j(x-p)〉≥0,?x∈F(S)∩N(A).

(1)

2017年,Luo[16]在一致光滑Banach空間中研究了關于非擴張映射的黏性隱式中點法則,迭代算法生成如下:

在適當條件下,證明了該序列強收斂于p∈F(T),這也是下列變分不等式問題的解:

〈(I-f)p,j(x-p)〉≥0,?x∈F(T).

2018年,Zhang[17]在自反的一致凸Banach空間中研究關于m-增生算子和非擴張映射的黏性隱式中點法則:

證明了該序列強收斂于p∈F(S)∩N(A),也是變分不等式(1)的解.

受以上文獻啟發,我們在Banach空間中給出關于m-增生算子和非擴張映射的廣義隱黏性迭代方法:

(2)

在適當的條件下,證明了該方法生成序列{xn}的強收斂定理,推廣和改進了Luo[16]和Zhang[17]的主要結果.

1 預備知識

設E是Banach空間,E*是E的對偶空間,對偶映射J:E→2E*定義為

J(x)=

其中〈·,·〉表示對偶配對.

映射T:C→C稱為非擴張映射,若

設F(T)是映射T的不動點集.

映射f:C→C稱為壓縮映射,若存在k∈[0,1),滿足

映射A:C→E稱為增生算子,若存在j(x-y)∈J(x-y),滿足

〈Ax-Ay,j(x-y)〉≥0,?x,y∈C.

若對于所有的r>0,R(I+rA)=E,則稱A是m-增生算子.我們記Jr=(I+rA)-1(r>0)為A的預解式,N(A)={x∈E:0∈Ax},F(Jr)為Jr的不動點集.眾所周知,Jr是非擴張映射且N(A)=F(Jr).

引理1[17]Banach空間E是一致凸的,當且僅當存在一個連續嚴格遞增凸函數g:[0,+∞)→[0,+∞),g(0)=0,使得

(3)

引理2[19]若λ,μ>0,則對x∈E,有

xn+1=Vnxn+(1-Vn)en,

則有

引理4[21]設E是自反的一致凸Banach空間,具有一致G-微分范數,C?E是非空閉凸集,具有正規結構.設T:C→C是非擴張映射且F(T)≠?,f:C→C是壓縮映射,定義xv=vf(xv)+(1-v)Txv,v∈(0,1),則序列{xv}在F(T)上強收斂于一點.

引理5[22]設{Cn}是一非負實數列,使得Cn+1≤(1-δn)Cn+δnθn,?n≥0,其中{δn},{θn}滿足:

2 主要結論

定理1設E是自反的一致凸Banach空間,具有一致G-微分范數.C?E是非空閉凸集且具有正規結構.f:C→C是壓縮映射,壓縮系數k∈[0,1).A是E中的m-增生算子.T:C→C是非擴張映射且F(S)∩N(A)≠?.對于任一x0∈C,?n∈N,序列{xn}由(2)式生成,其中{αn},{βn},{γn},{vn},{μn}和{rn}為(0,1)中的序列,且滿足下列條件:

則序列{xn}強收斂于一點p∈F(S)∩N(A),這也是變分不等式問題(1)的解.

證明證明過程分為以下幾個步驟.

第一步,證明序列{xn}有界.取p∈F(T)∩N(A),則

由序列{xn}的定義知

移項整理得

所以{xn}是有界的,從而{yn},{un},{Jrnyn},{Jrnxn},{Txn}和{Tyn}是有界的.

從而

(4)

由(2)式可知

(5)

(1-βn)(Jrnun-Jrn-1un-1)+

(6)

(7)

由引理2可知

(8)

由(5)～(8)式可得

移項整理得

(9)

其中

|vn-vn-1|+|μn-μn-1|+2μn|γn-γn-1|+

因此

結合(6)～(8)式,得到

由(9)式得到

其中

由條件(ⅰ)、(ⅲ)、(ⅳ)、(ⅴ)和(4)式可知

(10)

移項整理得

若

則

我們得到

(11)

觀察

結合(10)式和(11)式,我們得到

(12)

另外有

(13)

(14)

(15)

由{xn}的定義可知

xn+1-Tyn=αnf(xn)+vnxn+μnTyn-Tyn=

αn(f(xn)-Tyn)+vn(xn-xn+1+xn+1-Tyn),

移項整理得

(16)

而且

結合(10)式、(15)式和(16)式,有

(17)

我們知道T和Jrn是非擴張映射,所以

由(11)式、(13)式、(15)式和(17)式得到

(18)

(19)

根據引理2可知

結合(18)式,有

(20)

由Jr是非擴張映射得到

結合(15)式和(20)式,有

第四步,證明

設xt=tf(xt)+(1-t)Txt,由引理4知,{xt}強收斂到p∈PF(T)∩N(A)f(p),且是變分不等式〈p-f(p),j(p-q)〉≤0,?q∈F(T)∩N(A)的唯一解.

(1-t)〈Txt-Txn+Txn-xn,j(xt-xn)〉+

t〈f(xt)-xt+xt-xn,j(xt-xn)〉≤

t〈f(xt)-xt,j(xt-xn)〉,

移項整理得

〈xt-f(xt),j(xt-xn)〉≤

由(19)式可知

(21)

第五步,觀察

〈αnf(xn)+vnxn+μnTyn-p,j(xn+1-p)〉=

αn〈f(xn)-f(p)+f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

vn〈xn-p,j(xn+1-p)〉+

μn〈Tyn-p,j(xn+1-p)〉≤

αnk〈xn-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉,

移項合并整理得到

令

由(21)式可得

綜上,根據引理5得xn→p.