空間三角形重心的判定條件和算法

張 輝, 方曉峰, 鄭麗娜

(火箭軍工程大學 基礎部,陜西 西安 710025)

0 引言

空間三角形的五心重心、內心、垂心、外心和旁心,是空間解析幾何中重要的知識點。如何判定某點是空間三角形的五心是一個較為復雜的問題,而能否通過空間三角形3個頂點的坐標確定五心坐標的解析表達式也是值得關注的問題。本文主要針對空間三角形的重心問題,利用向量代數相關知識研究重心判定的充分必要條件,進而得到空間三角形重心坐標的表達式和相關性質。

1 兩個引理

為了研究空間三角形[1-2]的重心問題,首先給出以下兩個重要的關于空間三角形內點的引理。

因為

和

則有

利用引理1的結論,可以得到引理2。

引理2設點O為空間ΔABC的任意一個內點,則有

sin∠BOC=sin∠QOR,sin∠COA=sin∠ROP,sin∠AOB=sin∠POQ,

2 重心的判定條件和計算

由三角形面積的性質,可得命題1。

命題1若點O為空間ΔABC的重心(圖1),即點O為3條中線AD、BE和CF的交點,則有

圖1 空間三角形的重心

和

利用引理2和命題1,下面研究并給出判定空間一點是空間三角形重心的充分必要條件。

事實上,利用定理1也可以得到判定重心的另一個充分必要條件。

事實上,在定理2中若取點P恰好為重心O即為定理1。因此,定理1是定理2的特殊情形。同時定理1和定理2不僅分別給出了一個判斷空間一點是空間三角形重心的充分必要條件,而且分別提供了一種求重心坐標便捷有效的方法。

設空間三角形ΔABC3個頂點的坐標分別為A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3),記重心為O(x,y,z),若取點P為空間直角坐標系的原點,由定理2可得

特別地,在定理2中若取點P分別為頂點A、B和C,則有以下定理3。

值得注意的是,借助于重心O的坐標,可以計算

即OA=2OD。同理可得OB=2OE和OC=2OF。也就是說,空間三角形的重心到某頂點的距離是到該頂點對應邊的中點的距離的2倍。事實上,這個結論和定理3的結論是一致的。

3 結語

本文研究了空間三角形重心的判定條件和計算問題,得到了判定重心的3個充分必要條件,并利用判定條件給出了空間三角形重心坐標的計算公式,旨在讓學生對空間三角形的重心有更深入的理解和掌握,為空間三角形在工程技術領域[4-7]中的應用提供技術支撐。值得注意的是,平面三角形關于五心的研究已經有了許多優美的結論[8-10],而空間三角形與五心有關的計算結果會與之不同,進而豐富了空間解析幾何[11-14]的內容體系。