基于圓的幾何性質的無人機純方位無源定位研究

巴 蕾，李欣燁，阮泳航

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引 言

無人機無源定位在環境監測、應急救援、軍事偵察與電子戰等領域的應用越來越多，如何規劃無人機路徑以提高定位精度已成為國際研究熱點問題之一[1].無源定位是一個系統的工作過程，其中定位算法是連接定位技術和算法性能分析之間的橋梁.

近年來，國內外諸多學者對于無源定位算法進行了深入的研究.其中，經典的無源定位算法主要有最小二乘算法（LS）、最大似然算法（ML）及擴展卡爾曼濾波算法（EKF）[2].這些算法中有很多都存在著缺陷，例如，ML 算法需要對測量誤差的分布進行先驗假設，但該假設僅適用于連續時間系統，對于離散時間系統而言并未得到其成立的證明[3].本文僅基于圓的幾何性質建立純方位無源定位模型，相較于上述算法，在限制條件較少的情況下仍然保持較高的定位精度.

本文的結構編排如下：第一節進行前提假設，第二節主要是純方位無源定位模型的建立過程，第三節分析了定位模型中所需發射信號無人機的最小數量，第四節構建了無人機群的調整模型，最后在第五節對上述工作進行了總結.

1 前提假設

現有10 架無人機組成圓形編隊并保持在同一高度上，其中編號FY00 位于圓心，其余9 架無人機（FY01～FY09）均勻分布在某一水平方向的圓周上（見圖1）.

作以下假設：

（1）各無人機高度保持一致，僅考慮二維情況;

（2）各無人機僅依靠方向信息（規定為接收信號的無人機與任意兩架發射信號無人機連線之間的夾角）進行定位與調整，排除其他因素的干擾；

（3）記接收信號的無人機收到FY00 與FY01 發射的夾角大小為α1，收到FY00 與FY0A（第三架發射信號的無人機）發射的夾角大小為α2，收到FY01 與FY0A 發射的夾角大小為α3（單位：（°），見圖2）；

圖2 無人機接收到的方向信息示意圖

（4）無人機圓形編隊的半徑為R.

2 定位模型

這一節在無人機FY00 和另2 架編號已知的無人機發射信號且位置皆無偏差，其余位置略有偏差的無人機接收信號的情況下，建立接收信號的無人機的定位模型.

2.1 平面直角坐標系的建立

由于發射信號的無人機編號已知，不妨設圓周上的兩架無人機中的一架編號為FY01，另一架編號為FY0A（2≤A≤9）.以FY00 作為原點，FY00－FY01作為x 軸的正方向建立平面直角坐標系.

記FY0A 的坐標為A（x1，y1），接收信號的無人機為FY0B（2≤B≤9 且B≠A），FY0B的坐標為P（x，y）.

2.2 無人機定位模型建立

過FY00，FY01，P三點作圓O1，過FY01 所在點作FY00－FY01的垂線，記垂線與圓O1的交點為P'（P'≠FY01），由圓周角定理[4]得在點P' 接收到的角度值也為α1，O1位于FY00－P'的中點，坐標為圓O1的方程如下：

同理，FY00，FY0A，P過三點作圓O2，過FY0A 所在點作FY00－FY0A 的垂線，記垂線與圓O2的交點為P"（P"≠FY0A），得在點P"接收到的角度值也為α2.設O2的坐標為（x0，y0），可以得到kOA·kAP"＝-1，即

聯立方程（2）和（3）解得：

當2≤B≤5時，

當6≤B≤9 時，

于是可以得到圓O2的方程如下：

聯立圓O1和圓O2的方程（1）和（4），解得x，y 如下：

式中的a，b，c，d 表示如下：

解得（x，y）即接收信號的無人機（圖中點P）的位置坐標，如圖3 所示（圖中取A＝2）：

圖3 接收信號的無人機位置圖

任選三架無人機發射信號，計算出α1，α2，將其代入式（5），計算可得接收信號的無人機的坐標.

3 無人機數量的最小化

這一節研究在選取無人機FY00 和FY01（位置無偏差）發射信號后，還需要幾架位于圓周上未知編號的無人機（位置無偏差）發射信號以完成對其余無人機的有效定位.通過接收到的方向信息確定第三架發射信號的無人機的編號（記為FY0A），以FY00，FY01，FY0A 為發射信號的無人機，利用定位模型，實現對接收信號的無人機的定位.

稱無人機在圓周上均無位置偏差時接收到的方向信息為標準角，此時分別記的α2，α3值為aij，bij.另外，α2，α3在實際情況下的值記為a'ij，b'ij.（其中i，j 分別為FY0A 與接收信號的無人機的編號）

接下來以FY03 為接收信號的無人機的情況為例，說明確定第三架發射信號的無人機的步驟：

Step1：FY03 接收到FY00 和FY0A（A＝1，2，4，5，…，9）發射的方向信息ai3（i＝1，2，4，5，…，9）的值如表1 所示：

表1 ai3（i＝1，2，4，5，…，9）的值

Step2：記無人機實際接收到的角度與標準角之差的絕對值為δ.例如，FY03 接收到的α2＝55，為了能在FY04，FY05 和FY02 之間確定第三架發射信號的無人機的編號，區間（50－δ，50＋δ）與（70－δ，70＋δ）不能相交，于是得到δ≤10.因此ai3'（i＝1，2，4，5，…，9），的取值范圍如表2 所示：

表2 ai3'（i＝1，2，4，5，…，9）的取值范圍

Step3：已知無人機FY03 接收到α1，α2，其中α1必位于區間（40，60），根據α2所在區間，判斷第三架發射信號的無人機的可能情況.例如，當α2＝55 時，可以確定第三架發射信號的無人機為FY05；當α2＝33 時，可以判斷出第三架發射信號的無人機為FY06 或FY09；

Step4：與Step2 同理，bi3'（i＝2，4，5，…，9）的取值范圍如表3 所示：

表3 bi3'（i＝2，4，5，…，9）的取值范圍

Step5：已知無人機FY03 接收到α3，根據α3所在區間，確定第三架發射信號的無人機的編號.例如，當α3＝75 時，則可以最終確定第三架發射信號的無人機為FY06.

至此，已確定3 架發射信號的無人機為FY00、FY01、FY0A（2≤A≤9），然后用定位模型對接收信號的無人機進行定位.

4 調整模型

這一節根據無人機的初始位置（略有偏差），建立調整模型（在每次調整過程中，無人機FY00 和圓周上最多3 架無人機發射信號，其余無人機根據收到的方位信息調整位置），使無人機群在多次調整后均勻分布于某個圓周上.

4.1 調整模型的建立

這一節給出兩種解決方法，這兩種方法的區別是在每一次調整過程中對于發射信號的無人機的選取方式不同.兩種方法的具體流程如圖4 所示：

圖4 兩種方法調整流程

4.1.1 方法一

Step1：以無人機FY00 和FY0B（2≤B≤9）作為發射信號的無人機，FY01 作為接收信號的無人機，接收到的角度值記為βi（2≤i≤9）.此外，記所有無人機均在標準位置時FY01 接收到的角度值為β'i（2≤i≤9），具體值如表4 所示：

表4 β'i（2≤i≤9）的數值

Step2：定義無人機FY0B（2≤B≤9）的角偏差率函數為：

Step3：找到角偏差率最小的作為無人機，記為FY0A. 以無人機FY00，FY01，FY0A作為發射信號的無人機，使剩余的無人機調整至新的位置，在該位置各無人機接收到的α1，α2均為標準角；

Step4：重復Step1～Step3 若干次，得到偏差較小的無人機群的位置.

4.1.2 方法二

隨機生成2～9 的一個整數i，取A＝i，以無人機FY00，FY01，FY0A 作為發射信號的無人機，使剩余的無人機調整至新的位置，在該位置各無人機接收到的α1，α2均為標準角.重復上述操作若干次，得到無人機組的位置.

相較于方法一，方法二的顯著優點是計算量小，且需要的條件少.

4.2 調整模型的求解結果

根據初始坐標計算出無人機接收到的方向信息α1，α2，接著按照上述兩種方法的步驟分別進行2 次迭代（取R＝100 m）.最終得到無人機組完成迭代前后的坐標對比如表5所示.

表5 無人機使用兩種方法完成迭代前后的坐標

由表5 可知，對同一組初始坐標，在同樣的迭代次數下，方法一的求解結果更接近標準位置的坐標.

4.3 誤差分析

這一節采用的方法為迭代法，由于每次選擇的第三架發射信號的無人機的位置都是略有偏差的，每次調整之后的無人機組的位置都會存在一定偏差.

設偏差率sn為無人機組在第n 次調整后角偏差率fi之和，即：

表6 第n 次迭代后的值

表6 第n 次迭代后的值

迭代次數方法一誤差s（1）n方法二誤差s（2）n 0 0.0280.028 1 0.0010.010 2 0.0010.011

由表6 可知，隨著迭代次數的增加，方法一的誤差逐漸減小，而方法二的誤差沒有明確的變化趨勢.方法一相較于方法二誤差較小，說明該方法的迭代效果良好，即方法一的調整效果較好，有一定的參考價值.

4.4 靈敏度分析

隨機生成多組數據作為無人機組的初始位置.表7 中顯示了其中1 組數據，此外對隨機生成的數據進行較大修改，對修改前后的數據都用方法一和方法二進行位置調整.

表7 無人機初始位置和調整結果

使用方法一分別對兩組數據進行位置調整（迭代次數均為2），調整結果如表7 所示.

分別使用方法一和方法二對兩組數據進行調整，兩組數據在n 次迭代后的誤差如表8 所示.

表8 使用方法一和方法二對兩組數據進行迭代的誤差

從表8 可見，在對初始位置進行較大修改的情況下，方法一迭代2 次后的誤差并沒有增加，可見方法一具有較高的普適性，而方法二迭代2 次后的誤差大幅增加，可見方法二適用范圍較窄，穩定性較差.

5 總結

本文所用模型在依靠方向信息的情況下仍能得到較精確的結果，且調整模型的收斂速度較快.但模型的限制條件比較嚴苛，可以嘗試將模型推廣到更復雜的情況，例如，無人機群高度不一致等.亦可以嘗試對模型進行調整，例如，調整無人機的選取方案、構造不一樣的角偏差率函數、改變發射信號的無人機的數量等.

致謝：感謝汕頭大學數學系李健老師的悉心指導.