雨、潮聯合作用下防洪設計的不確定性分析

裴昊川,倪 倩,甘富萬,3

(1.廣西大學 土木建筑工程學院,南寧 530004;2.廣西珠江委員會南寧勘測設計院,南寧 530007;3.廣西防災減災與工程安全重點實驗室,南寧 530004)

近些年來,Copula函數在解決洪水、降雨、干旱等多變量水文聯合分布問題上應用廣泛。潘國勇等[1]采用Copula函數構建了武澄錫虞區的雨、潮聯合風險模型,并分析該地區雨、潮組合風險率,為武澄錫虞區的防洪治澇提供了新的科學依據;許翰卿等[2]應用二元Copula函數構建沿海地區極端降水和風暴增水兩變量聯合風險模型,為防汛工程抵御復合洪澇災害的設計標準提供了新的設計方法;藺文慧等[3]采用混合Copula函數構建馬達瓦斯克流域洪水歷時、洪量及洪峰流量混合模型,對比單一Copula函數擬合效果更優,能更加全面表征變量間相關關系。本文以北海市鐵山港區入海明渠為研究對象,采用北海站雨量資料和石頭埠潮位站潮位資料進行兩變量分析,首先分析雨、潮聯合概率分布特征,其次引用了一種考慮雨、潮與調洪耦合的防洪重現期,并將其與常見的OR、AND重現期進行對比分析,最后基于蒙特卡羅法分析抽樣不確定性對于雨、潮共同作用下明渠設計水深的影響,此研究為雨、潮作用下的入海明渠的設計水深確定提供了一條新的設計思路。

1 研究方法

1.1 Copula函數

Copula函數可以將多個具有不同形式邊緣分布的隨機變量聯結起來構造聯合分布。令雨量X的概率分布為FX(x),潮位Y的概率分布為FY(y)。依據Sklar定理,X和Y的聯合分布函數可以用Copula函數C表示成f(x,y)=C(u,v)[4],其中u=FX(x),v=FY(y)。

f(x,y)相應的聯合概率密度函數可表示為

f(x,y)=C(u,v)fX(x)fY(y)

(1)

式中：C(u,v)=?C(u,c)/?u?v為Copula函數的密度函數;fX、fY分別為X和Y的概率密度函數。

在現階段水文氣象領域中,通常采用Archimedean Copula函數族函數構建多變量水文聯合分布模型[5-6]。4種常用的Archimedean Copula函數見表1。

表1 4種常用的Archimedean Copula函數Tab.1 Four commonly used Archimedean Copula functions

1.2 OR、AND重現期和防洪重現期

AND重現期指所研究區域降雨量和潮位同時超過某一特定閾值。

OR重現期指所研究區域降雨量或潮位其中一個超過某一特定閾值。

定義如下

TOR=1/P(X>x∪Y>y)=1/[1-C(u,v)]

(2)

TAND=1/P(X>x∩Y>y)=1/{1-u-v+C(u,v)}

(3)

根據OR和AND重現期定義,在同一重現期水平下,有無數種設計雨、潮組合;這表明設計雨、潮重現期和設計雨、潮組合之間并沒有一一對應的關系,這將給水利工程的運行帶來了巨大風險。因此,針對類似雨、潮組合等二變量水文事件的設計重現期問題,甘富萬等[7]在研究干、支流洪水二變量共同作用下的防洪設計時,提出了防洪重現期的概念,即由洪水(雨、潮)等作用所確定的防洪參數F超過工程防洪(防潮)設計的給定值f的平均間隔時間,在本文中可以表示為

Tf=1/[F>f設=f(x,y)]

(4)

式中：F為雨、潮設計的防洪參數;x和y分別為雨量和潮位。

黃強等[8]認為最可能組合模式可以有效節省工程費用,在同時滿足工程防洪標準的條件下,其模式代表雨量、潮位聯合設計值取最大值的情況,其表達式如下

(um,vm)=argmaxf(u,v)

(5)

f(u,v)=C(u,v)f(x)f(y)

(6)

式中：C(u,v)為雨量、潮位聯合分布的概率密度函數;f(x)和f(y)為邊緣分布的概率密度函數。

1.3 不確定性度量指標

本文利用尹家波等[9]提出的平均橫向偏移程度DX、平均縱向偏移程度DY、置信區域面積S和平均歐氏距離d作為兩變量估計不確定性的度量指標。DX、DY分別用于度量雨量、潮位與實測樣本系列推求的設計值在一維空間的估計偏差;S和d用于度量模擬設計值點據與實測樣本系列設計值的空間距離。計算式如下

(7)

(8)

(9)

1.4 基于防洪重現期的設計水深計算

(1)分別建立雨、潮組合的邊緣分布函數u=F(x)和v=F(y),并依此構建并選取雨、潮組合的最優Copula函數模型C(u,v);

(2)產生樣本容量為n的范圍在(0,1)的隨機數n1和n2,設n1=u,由條件概率公式求解出每一個與u相關的v,即令C(v|u)=?C(u,v)/?v=n2;

(3)根據雨、潮最優邊緣分布函數,反推每個隨機組合(u,v)所對應的雨、潮組合的設計值(x,y),帶入調洪模型計算出每個設計斷面的設計水深;

(4)對每個斷面的n個水深值進行排序,根據水文計算方法計算出不同設計重現期水平年的設計水深h設。

1.5 基于Monte Carlo Method的抽樣不確定性分析

(1)與上述(1)和(2)步驟相同,獲得樣本容量為n的二元雨、潮組合樣本;

(2)重復上述步驟N次,便可得到N組與樣本容量n相同的二元雨、潮組合樣本。對N組二元雨、潮組合樣本使用實測樣本序列的估參方法即可得到N組參數值;

(3)在每一組參數下,給定OR重現期TOR,利用式(5)和式(6)得到特定重現期下N組參數對應的N組最可能組合聯合設計值。對于N組最可能聯合設計值,采用核密度估計方法得到給定某一顯著性水平α的(1-α)置信區域,置信區域越大,表明聯合設計值不確定性越大;

(4)在每一組參數下,給定防洪標準T,計算OR重現期標準下的設計水深。在OR重現期標準下,將步驟(3)中得到的N組最可能設計組合值代入調洪演算模型可得到N個水深設計值zOR。從而可求得重現期標準的單變量z點估計和置信區間。置信區間寬度越小,設計水深不確定性越小。

2 案例研究

鐵山港區是廣西地區面向東南亞的重要出海港口,該區在夏季易受臺風的侵襲,臺風帶來強降雨以及洪暴潮,且該區域降雨主要集中5月至9月,故通過規劃入海明渠實現區域內洪澇積水自流入海,以應對洪潮災害。北海鐵山港工業區排水明渠起點在北海至鐵山港一級公路和規劃的鐵山港鐵路支線的交叉口附近,終點至鐵山港港口,全程自流排放,最后注入大海。線路全長約7 996.602 m,干渠設計雨水排泄流量為166.09 m3/s。本文以北海市鐵山港區入海明渠為研究對象,降雨量資料采用北海站實測連續42 a年最大降雨量序列,潮位資料采用降雨量對應石頭埠潮位站實測年最大潮位序列。

2.1 邊緣分布及聯合分布的確定

降雨量X代表北海站實測連續42 a年最大降雨量序列,潮位Y代表降雨量對應石頭埠潮位站實測年最大潮位序列。采用AIC和RMSE準則[10]對皮爾遜III型(PE3)、Weibull分布、廣義Logistic分布(GLO)和廣義極值分布(GEV)4種雨量、潮位邊緣分布函數進行評估,AIC和RMSE準則評估數值越小,則雨、潮邊緣分布模型效果越優,由表2可知皮爾遜III型(PE3)函數構建雨量和潮位序列邊緣分布模型效果最優。

表2 雨、潮邊緣分布計算結果Tab.2 Calculated results of rainfall and tidal level margin distribution

根據皮爾遜III型(PE3)函數所構建雨量和潮位序列邊緣分布模型可以得到不同設計頻率下的雨量和潮位計算結果,表3為設計頻率為 1%、2%、5%、10%及20%所對應的雨量和潮位設計值。

表3 雨量、潮位資料PE3分布擬合計算結果Tab.3 Rainfall and tide level data PE3 distribution fitting calculation

采用Archimedean Copula函數族中的G-H、Clayton、Frank和AMH函數構建降雨量X和潮位Y聯合分布模型,Copula函數參數θ由Kendall秩相關性系數法求得,采用BIC準則、RMSE準則和AIC準則可以有效篩選出擬合結果最優的Copula函數。BIC準則、RMSE準則和AIC準則數值越小,則雨、潮聯合分布模型效果越優,從表4可以看出,擬合結果最優Copula函數為G-H Copula函數。

表4 4種候選Copula函數參數估計與擬合檢驗結果Tab.4 Parameter estimation and fitting test results of four candidate Copula functions

因此,G-H Copula函數構建北海站降雨量對應石頭埠潮位聯合分布模型如下

CGH=exp{-[(-lnu)1.277 5+(-lnv)1.277 5]1/1.277 5}

(10)

綜上所述,雨、潮組合的聯合分布模型如圖1。

圖1 雨、潮聯合概率分布模型Fig.1 Joint probability distribution model of rainfall and tidal level

2.2 不同重現期特征分析

如圖2中T分別為100 a、50 a、20 a、10 a和5 a的OR和AND重現期等值線所示,重現期等值線與45°線呈對稱分布;這表明雨量和潮位可能對工程的設計水平計算具有相同的影響。然而,在實際工程中,雨量和潮位對工程的設計水平計算影響卻不盡相同。因此,雖然圖2在一定程度上顯示了雨量與潮位的相關性,但未能考慮雨、潮組合與工程調洪的耦合關系。

2-a AND重現期等值線圖 2-b OR重現期等值線圖圖2 重現期等值線圖Fig.2 Contour calculation results of design periods

如圖3的防洪重現期等值線所示,防洪重現期等值線上尾部分的斜率絕對值小于1,說明當雨量較大,潮位較低時,此時對明渠而言雨量起主要作用;隨著雨量逐漸減小,潮位不斷升高,防洪重現期等值線斜率絕對值逐漸大于1,說明此時潮位對調洪起主要作用,雨量的影響相對較小。

圖3 防洪重現期等值線圖Fig.3 Contour calculation results of flood control return period

圖4描述了OR、AND和防洪重現期為20 a一遇的設計情況。圖4中防洪重現期選取的是斷面K7+340,按照防洪重現期計算其設計水深為4.02 m。通過對比發現,防洪重現期等值線處于OR、AND重現期等值線之間。常用的明渠水面線計算方法有均勻流法[11]、非均勻流法[12]和數值模擬方法[13-14]等,本文采用明渠非均勻流法,圖5將防洪重現期20 a一遇水面線與OR、AND重現期20 a一遇水面線進行對比發現,防洪重現期20 a一遇設計水面線也處于OR、AND重現期之間,其中OR重現期對應的水面線比防洪重現期對應的水面線高約0.20 m,而AND重現期對應的水面線則要低約0.22 m,這表明防洪重現期可以避免出現OR、AND重現期設計結果偏高或偏低的問題,能有效提高工程防洪、防潮設計水平。

圖4 三種設計重現期20 a一遇等值線圖Fig.4 Contour calculation results of the recurrence period of 20 years of three designs

圖5 三種設計重現期20 a一遇設計水面線計算成果圖Fig.5 Calculation results of the design water surface line with the recurrence period of 20 years of three designs

2.3 雨、潮不確定性分析

SERINALDIF[15]采用小于樣本容量長度的OR重現期分析兩變量設計值不確定性問題。因此本文以小于實測樣本序列(42 a)的10 a、20 a OR重現期作為分析對象,基于實測數據建立的聯合分布模型為總體,分別設置樣本容量n=42、n=100、n=200分析不同重現期下序列長度對聯合設計值的影響。

聯合分布的不確定性是由于參數的不確定性引起的。表5給出基于蒙特卡羅法不同樣本容量條件下重現期為20 a,聯合分布參數在95%水平下的置信區間?？梢钥闯?參數的變幅隨著樣本容量的增加而不斷減小。

表5 不同樣本容量聯合分布參數95%置信區間Tab.5 95% Confidence interval of joint distribution parameters of different sample size

如圖6所示,同一OR重現期水平條件下,樣本容量的增加導致最可能組合聯合設計值95%置信區間逐漸減小。在同一樣本容量n下,聯合設計值二元置信區間隨著OR重現期水平的增加而增大。此外,在T=20和n=42時,聯合設計值最可能組合主要分布在T=5到T=100曲線之間。相反,在T=10和n=200時,聯合設計值最可能組合主要集中在T=5和T=20曲線之間。這些結果表明,當樣本容量n較小且設計重現期水平較大時,雨、潮聯合設計值的不確定性也更大。

6-a n=42,TOR=10 6-b n=42,TOR=20 6-c n=100,TOR=10

采用本文1.3節所介紹的4個不確定性評價指標(DX、DY、S、d)對雨、潮組合不確定性進行了評估,由表6可知,DX、DY隨著樣本數量n增加而減小;當T=10 a時,d和95%置信區間的面積S分別減小38.9%、29.1%、38.3%和27.1%,在T=20 a時,分別減少59.9%、49.0%、54.5%和52.8%。

表6 OR重現期設計值不確定性評價指標計算結果Tab.6 Calculating results of uncertainty evaluation index of OR design period

2.4 設計水深不確定性分析

對于明渠的防洪安全而言,最主要的因素是設計水深,因此聯合設計雨、潮組合的不確定性問題就轉化為單變量的不確定性問題,即設計水深的不確定性,根據調洪規則可分別得到每一組參數下OR重現期最可能組合對應的N個設計水深以及防洪重現期標準下的設計水深。表7給出了不同重現期標準下明渠K7+340處設計水深的計算結果,可以看出在不同樣本容量下,以防洪重現期為設計標準推求得到的20 a一遇設計水深的95%置信區間寬度和標準差均小于OR重現期,例如在雨、潮組合序列長度為實測序列長度(42 a)時,防洪重現期比OR重現期標準差偏小14.3%,區間寬度偏小21.4%,這說明了以防洪重現期為設計標準可減少設計水深的不確定性。

表7 不同重現期標準下明渠設計水深估計結果Tab.7 Estimation results of open channel design water depth under different return period standards

從表7還可以看出,當樣本容量小于100時,兩種重現期標準下的設計水深95%置信區間寬度均超過了10 mm,標準差均超過了0.01,也就是說當雨、潮樣本序列長度較短時,設計水深估計結果在數值上波動性較大,會給明渠的設計水深帶來較大的不確定性。因此,在實際工程中,有必要延長雨、潮序列使得設計結果更加可靠。

3 結論

以雨、潮聯合作用下的鐵山港入海明渠為研究對象,采用Copula函數構建兩種重現期風險模型分析雨、潮遭遇及組合規律,并針對實際工程所采用的設計方法對雨、潮變量間的相關性考慮不足情況,提出了一種考慮雨、潮與工程調洪耦合關系的防洪重現期,并將該重現期與較為常見的兩種二變量重現期進行對比分析,最后基于蒙特卡羅法分析抽樣不確定性對于雨、潮共同作用下明渠設計水深的影響,得出以下結論：(1)與OR、AND重現期相比,防洪重現期可以有效避免最可能設計組合值設計標準偏高或偏低的情況;(2)在雨、潮聯合作用下,最可能組合聯合設計值95%置信區間隨著重現期水平的遞增而逐漸增加,隨著樣本容量的增加而逐漸減小;(3)明渠水深的不確定性和重現期的選取有關,防洪重現期與傳統的OR重現期相比更能有效減少明渠設計水深的不確定性。