新型對偶猶豫模糊集距離測度及其多屬性決策方法

袁偉斌，王惠文

（云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500）

為了處理不確定、模糊的決策信息，模糊決策理論已發展成為一個研究熱點。自Zadeh[1]首次提出模糊集理論以來，各種不同拓展形式的模糊集相繼被提出。Atanassov[2]加入了非隸屬度的特征，定義了直覺模糊集。Torra[3]引入了猶豫模糊集的概念，允許隸屬度有多個可能值，更客觀地反映人的猶豫程度。在此基礎上，Zhu等[4]提出了對偶猶豫模糊集理論，既加入了非隸屬度的特征，又考慮了決策者的猶豫程度，是對直覺模糊集和猶豫模糊集的拓展，從而也是目前研究的熱點之一。對偶猶豫模糊集在實際決策問題中應用也很廣泛，如模式識別[5]、投資選擇[6-7]、教學質量評價[8]、網絡信息安全[9]和分配問題[10]等。

在多屬性決策問題中，距離測度是一重要指標。Su等[5]提出了基于擴展原則的對偶猶豫模糊集的距離公式，需要人為擴展元素，從而無法還原真實信息。Chen[11]和Zhang[12]引入了不同的距離公式，避免了人為擴展。但上述這些距離度量在實際問題中仍有可能出現無法識別的情況。因此，本文提出了新的對偶猶豫模糊距離的公理性質，并給出基于改進猶豫度的新型對偶猶豫模糊距離公式，最后通過一個數值算例證明其合理性。

1 預備知識

為便于分析，記A(xi) ={hA(xi),gA(xi)}為對偶猶豫模糊元。

定義2[5]設A、B是集合X={x1,x2,…,xn}上的兩個對偶猶豫模糊集，則A、B間的距離d(A,B)滿足以下條件：

1）0 ≤d(A,B) ≤1；

2）d(A,B) =d(B,A)；

3）d(A,B) = 0當且僅當A=B。

基于上述距離的定義，Su等[5]提出對偶猶豫歸一化Hamming距離：

定義3[5]設A、B是集合X={x1,x2,…,xn}上的兩個對偶猶豫模糊集，則A、B間的對偶猶豫Hamming 距離為

從公式（1）可知，計算時需要人為添加元素達到元素個數相同，從而會導致信息失真。因此，Chen等[11]提出了不同的對偶猶豫Hamming距離如下：

公式（2）避免了人為擴展的問題，但在實際問題中，仍可能出現無法識別的情況。

例1設X={x},A,B,C∈DHFS(X)，其中

則由公式（1）可得d1(A,C) =d1(B,C) = 0.066 7，由公式（2）可得d2(A,C) =d2(B,C) = 0.041 7，可知上述兩個公式都無法識別出C距離A更近還是距離B更近，因此有必要重新考慮其距離測度問題。本文將提出基于隸屬度與非隸屬度完全偏差及猶豫度偏差的對偶猶豫模糊距離測度。

2 新型對偶猶豫模糊集距離測度

定義4設X={x1,x2,…,xn},A,B,C∈DHFS(X)，定義d為對偶猶豫模糊集距離測度，其應滿足如下條件：

1）0 ≤d(A,B) ≤1；

2）d(A,B) =d(B,A)；

3）d(A,B) = 0當且僅當hA(xi)=hB(xi),gA(xi)=gB(xi),l(hA(xi))=l(hB(xi)) =l(gA(xi))=l(gB(xi))=1；

4）d(A,C) ≤d(A,B) +d(B,C)，其中l(hA(xi))、l(hB(xi))、l(gA(xi))、l(gB(xi))分別表示hA(xi)、hB(xi)、gA(xi)、gB(xi)中的元素個數。

定義5設A∈DHFS(X),?xi∈X,則對偶猶豫模糊元A(xi) ={hA(xi),gA(xi)}的對偶猶豫度定義為

定義6 設X={x1,x2,…,xn},A,B∈DHFS(X),則A、B間猶豫度偏差廣義距離定義為

其中λ∈[1, + ∞)。

受文獻[13]啟發，A、B間隸屬度完全偏差廣義距離記為

A、B間非隸屬度完全偏差廣義距離記為

結合上述隸屬度完全偏差、非隸屬度完全偏差以及猶豫度偏差3個信息維度，本文給出新型對偶猶豫模糊集距離測度如下：

定義7設X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，則A、B間對偶猶豫廣義距離定義為

其中參數α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1。

由于不同屬性之間也有一定差異，因此有必要將不同屬性的權重考慮在距離測度中。

定義8設X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，則A、B間猶豫度偏差廣義加權距離定義為

A、B間隸屬度完全偏差廣義加權距離記為

A、B間非隸屬度完全偏差廣義加權距離記為

定義9設X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，則A、B間新型對偶猶豫廣義加權距離定義為

其中參數α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1。

引理1 （Minkowski不等式）任給(a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn) ∈Rn,λ≥1,則有

定理1設X={x1,x2,…,xn},A,B,C∈DHFS(X)，則ddhg(A,B)滿足定義4中的4條性質。

證明設。

1) 由于hA(xi),gA(xi),hB(xi),gB(xi),uA(xi),uB(xi) ∈[0, 1],

從而有

故有

從而有

又由α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1，故有0 ≤ddhg(A,B) ≤1，因此性質（1）滿足。

2) 由于ddhg(A,B) =ddhg(B,A)顯然成立，故性質（2）滿足。

3) 充分性：若ddhg(A,B) = 0，則有

從而可得hA(xi) =hB(xi),gA(xi) =gB(xi),且l(hA(xi)) =l(hB(xi)) =l(gA(xi)) =l(hB(xi)) = 1。

必要性：反之顯然成立。故性質（3）滿足。

4) 結合引理1，可知

同理可證dh(A,C)和du(A,C)也滿足三角不等式。

又ddhg(A,B) =αdh(A,B) +βdg(A,B) +γdu(A,B)，故有

因此性質（4）滿足。

綜上所述，ddhg(A,B)滿足定義4中的4條性質。

例2設A、B、C為例1 中的DHFS，根據上述距離公式（4），并取λ= 1,α= 0.5,β=γ= 0.25,可計算得ddhg(A,C) = 0.097 2,ddhg(B,C) = 0.108 3，因此可識別出C距離A更近。

3 數值算例

3.1 決策步驟

本文根據TOPSIS決策方法的思想給出一種基于上述新型對偶猶豫模糊距離測度的多屬性決策方法，具體步驟如下：

Step 1構建對偶猶豫模糊決策矩陣D=(rij)m×n，rij=(hij,gij)為對偶猶豫元，表示備選方案Ai(i=1, 2, …,m)關于屬性Cj(j= 1, 2, …,n)的評估值。

Step 2確定不同屬性的權重wk(k= 1, 2, …,n)。

Step 3根據決策矩陣確定相應的對偶猶豫模糊正理想解A+和對偶猶豫模糊負理想解A-，公式如下：

其中γij∈hij,ηij∈gij,i= 1, 2, …,m,j= 1, 2, …,n。

Step 4計算各備選方案的貼近系數，貼近系數公式如下：

其中i= 1, 2, …,m,ddhgw(Ai,A-)表示Ai與負理想解A-的距離，ddhhw(Ai,A+)表示Ai與正理想解A+的距離，ddhgw(Ai,A-)和ddhgw(Ai,A+)由公式（4）得到。

Step 5根據貼近系數Ri(i= 1, 2, …,m)，將方案Ai(i= 1, 2, …,m)進行排序，貼近系數越大則方案越優。

3.2 算例分析

重新考慮文獻[14]中的例子。為提高國內航空公司的服務質量，民航局成立一個決策委員會，評估北方航空(A1)、南方航空(A2)、東方航空(A3)和廈門航空(A4)4 個航空公司。決策委員會根據預訂和票務服務(C1)、安保和登機服務(C2)、客艙服務(C3)和響應服務(C4)4個主要屬性對4個航空公司進行評估。決策委員會使用對偶猶豫模糊數對各屬性下的4個航空公司進行評估，各屬性評估值如表1所示。

表1 對偶猶豫模糊評價值Table 1 Dual hesitant fuzzy evaluation value

由以上的對偶猶豫模糊評價值，將提出的基于對偶猶豫模糊距離的多屬性決策方法應用于航空公司服務質量評價問題。根據上述的決策步驟，具體求解過程如下：

Step 1構建對偶猶豫模糊決策矩陣

Step 2確定屬性Cj(j= 1,2,3,4)的權重為w1= 0.25,w2= 0.25,w3= 0.3,w4= 0.2。

Step 3由決策矩陣可得正、負理想解為

Step 4首先計算各方案與正、負理想解的距離，根據公式（4），令λ= 1,α=,計算得

再由貼近系數公式計算得

Step 5最后根據貼近系數大小，對各方案進行排序為：A4>A1>A3>A2。因此A4為最佳方案。這與文獻[14]中的排序結果A1>A4>A3>A2有所差異，說明使用不同的距離測度會影響最終的排序結果。

3.3 參數偏好分析

參數α、β、γ分別表示決策者對隸屬度完全偏差、非隸屬度完全偏差、猶豫度偏差的偏好程度。以下通過對α、β、γ的不同取值來體現決策者的不同偏好（表2）。

表2 不同偏好對排序結果的影響Table 2 The effect of different preferences on sorting results

從表2可知，對于決策者不同的偏好程度，方案排序會略有變化，但最佳方案始終沒有改變，從而也說明了本文決策方法的合理性。

4 結論

本文針對現有距離測度的局限性提出了新型對偶猶豫模糊集距離測度，將對偶猶豫模糊集的猶豫度偏差考慮在內，從而增加了一個信息維度，能夠更全面地利用數據信息，以及加入偏好參數，可體現出不同決策者的偏好。此外，結合TOPSIS方法，給出基于新型對偶猶豫模糊集距離的決策步驟并應用于航空服務質量評價，通過對參數的偏好分析驗證了新距離測度的有效性和合理性。