連續凸逼近加權自相關波形優化方法

張 勇,宋青青

(1.南京六九零二科技有限公司,南京 210009;2.中國船舶集團有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

波形設計是當前最熱門的雷達系統技術研究領域之一。有源探測與通信系統均對具有良好自相關特性的波形序列有著十分迫切的需求,例如脈沖壓縮雷達系統收發信號、聲納探測器編碼序列與數字通信系統(如GPS接收器或CDMA蜂窩系統)的同步、信道估計的導頻序列,甚至安全系統的密碼學[1-5]。在實際應用中,由于序列生成硬件的限制(如信號最大幅度/功率起伏須保持在模數轉換器和功率放大器動態范圍內),通常要求發射波形具有恒模特性。

近年來,恒模序列(也稱為多相序列)因具有強相關可塑性、高能量利用率等特點而備受關注[6-7]。相位編碼序列的獲取途徑主要包括固定計算(如Barker碼、Frank碼等)與迭代優化(如遺傳算法、CAN算法等優化架構)[8]。

經典的Barker碼序列屬于二進制編碼序列,可由移位寄存器或綜合邏輯法得到,具有較好的自相關特性,自相關峰值旁瓣電平不高于1,但其序列編碼長度較有限,現階段不超過13。1965年,Golomb和Scholtz開展了廣義Barker碼研究,仍遵循最小化峰值旁瓣比原則,擴展了編碼元素集,尋求具有類似Barker序列自相關特性的相位編碼序列。以此為驅動,關于廣義Barker碼序列的研究不斷深化,序列長度擴展至77。是否存在更長的廣義Barker序列當前仍未得到證實。除了Barker序列,還存在多相碼簇可由閉式解析式得到,如Frank碼、Golomb序列。隨著序列長度的增加,該類序列峰值旁瓣比增長速度與序列長度的平方根成正比,與Barker碼自相關特性差異化明顯。

隨著數字技術的發展,波形碼元集不斷得到擴充,碼型序列的復雜度呈指數上升態勢。面向復雜波形序列對強設計規則魯棒性、高算法通用性的需求,迭代優化類算法應運而生,主要包括遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)、模擬退火等全局尋優、變換域優化、乘子類等算法。GA最早是由美國的John Holland于20世紀70年代提出,是一種借鑒生物進化規律的結構化搜索全局最優解的方法[9]。由于復雜波形全局尋優的可行集巨大,該方法雖然不需要引入復雜的推導計算,但對于高維向量優化存在計算量大、耗時長的缺點,不利于波形集的快速更新。模擬退火算法(Simulated Annealing,SA)[10]思想最早由N Metropolis等人于1953年提出。在此基礎上,S Kirkpatrick等人于1983年將退火思想引入到組合優化領域。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機尋優算法,其出發點是基于物理中固體物質的退火過程與一般組合優化問題之間的相似性,與遺傳算法一樣采用結構化優化架構,計算量巨大,亦不適合高維向量優化,對長度大于等于103量級的序列優化是不實際的。為了適應高維度波形優化,文獻[11]和[12]為了最小化自相關積分旁瓣(Integrated sidelobe level,ISL),采用其“幾乎等效”的頻域表達為目標函數,借助快速傅里葉變化提出了高效的CAN算法及加權循環算法(Weight cyclic algorithm new,WeCAN),可實現長度不低于104的多相碼序列的快速優化,遠超Frank與Golomb序列長度?；谏鲜鯥SL等效結果,以交替優化為代表的乘子類算法[13]逐漸應用在低ISL波形優化中。峰值旁瓣(Peak sidelobe level,PSL)水平是另外一種較為常用的自相關副瓣考核指標,具有瞬變的特點,相比于以ISL為目標函數的波形設計問題,以PSL水平為優化目標的優化問題更加難以駕馭,近端梯度下降法[14]解決了包含多個等式與不等式共存的非凸優化問題,實現了低峰值旁瓣比的波形優化設計,但該方法對于子梯度選取具有不確定性,算法結果較難把握,而且對于自相關局部最小化問題無法求解。相比于PSL,以ISL為目標函數更適合快速、可靠波形設計的應用場合。

文獻[11]使用了等效加權積分旁瓣為目標函數,無法使其與ISL概念完全一致,最優解的ISL無法得到保證。本文以最小化自相關加權自相關副瓣積分為目標函數,對原非凸優化問題目標函數經過連續兩次凸逼近,并將模量約束松弛為能量約束,使得原問題轉化為凸問題,利用成熟優化技術對其求解。最后,將最優解進行幅度強制歸一化處理,獲得適用于飽和功放等器件使用的恒模波形序列,其中可通過調整權值分布對自相關形狀進行有效控制。

符號說明:本文采用粗體小寫字母表示矢量,用粗體大寫字母表示矩陣;(·)T、(·)H分別表示矩陣與向量的轉置和共軛轉置算子;| |、‖ ‖分別表示取輸入參數的絕對值和l2范數;字母j為虛數單位;M和M分別表示M維實數向量和復數向量;M×N和M×N分別表示M×N維實數和復數矩陣;Tr(·)表示計算輸入矩陣的跡。

1 信號模型與問題構建

(1)

加權積分旁瓣電平γ為

(2)

式中,w為加權系數向量,其向量形式為

w=[w1,w2,…,wN-1]T

(3)

當w為全1矩陣時,γ與常規積分旁瓣電平的含義相同。雷達、通信系統均需要低自相關旁瓣電平的波形序列。在實際電磁輻射系統中發射能量通常是一定,在此約束下,以最小化積分旁瓣電平為目標函數,構建優化問題為

(4)

若要實現自相關函數局部區域趨零或置零,則須適當增加w中相關區域對應的權值,權值增加,該區域對目標函數取值影響增大;反之易然。

2 連續凸逼近算法

由于目標函數為非凸的,使用常規優化算法難以解決。為了解決式(4),擬將尋找目標函數凸上界函數,并將其作為目標函數,構建等效優化問題進行求解。

為便于闡釋,采用矩陣表示式(4),則自相關函數矩陣形式為

rk=Tr(ΕkxxH),k=0,…,N-1

(5)

式中,Εk∈N×N為第k對角線全為1的Toeplitz矩陣。

則式(4)可進一步表示為

(6)

|xn|=1,n=1,…,N

由于自相關函數r的模值具有對稱性,因此式(6)可等價為

subject toX=xxH

(7)

|xn|=1,n=1,…,N

此時,w維度擴展為2N-1,完整表達式為

w=[w1-N,…,0,…,wN-1]T

(8)

且w0=0,w-k=wk。

將式(7)目標函數中的矩陣向量化后,經推導,式(7)目標函數可表示為

(9)

令xv=vec(X),ek=vec(Ek),則式(7)可重新整理為

(10)

假定

(11)

則可將式(10)中的目標函數化簡為二次型,即

(12)

為了最小化非凸目標函數,可通過最小化其上邊界凸函數,達到原目標函數最小化的目的。假定Q=λmax(L)I,因此(Q-L)為半正定矩陣,λmax(L)為L的最大特征值。結合L的特殊結構,根據方陣特征值與特征向量的定義,可知

因此,ek為屬于L的第k個特征向量,且wk(N-|k|)為特征向量ek對應的特征值?？赏ㄟ^比較所有wk(N-|k|),k=0,1,…,N-1值確定L的最大特征值。

略去第一項與第三項常數部分,式(12)可重新構建為

(15)

再將xv0、xv和L均還原為矩陣表達式,即

(16)

(17)

為求解波形序列x,須將其顯性表示,故將X還原為向量形式,優化式(17)可得

(18)

式中,

(19)

忽略常數項后,式(18)可轉化為

subject to|xn|=1,n=1,…,N

(21)

式中,λg為Γ的最大特征值。

優化式(21)目標為線性函數可示為凸函數,然而由于恒模約束的存在,該問題仍為非凸優化問題,難以直接求解,因此將優化式(21)的約束進行放松,可得

(22)

求解優化式(22)后,可取其最優解的相位向量,重新構成恒模向量作為最終波形序列。具體算法流程可見表1。

表1 連續凸逼近加權自相關波形優化算法流程

3 數值仿真

本節將連續凸逼近加權自相關波形優化算法與現有的WeCAN算法進行比較,驗證所提算法的有效性,開展了針對常規低副瓣波形和加權ISL波形的設計性能驗證。仿真參數設置:非周期波形序列長度為32、128;最大迭代次數15 000次;終止常數10-6;計算機配置為Intel(R)Core(TM)i5-7500 CPU @ 3.40 GHz,內存4 G。

本節從常規低副瓣波形設計入手,給出了恒模波形序列的相位、自相關函數,并采用數值分析方法比較了WeCAN算法與連續凸逼近加權自相關波形優化算法的收斂性能。進一步,針對加權自相關波形優化,驗證所提算法的可行性,同樣從以上三方面進行闡釋比較,證明所提算法的優越性。

(1)常規低副瓣波形設計

常規低副瓣波形設計時權值設置為相同值。圖1(a)、(b)分別給出了長度分別為32、128時WeCAN和連續凸逼近算法所得常規低副瓣波形的相位,二者存在較大差異,且類似隨機噪聲信號。圖2(a)、(b)分別給出了長度32、128時兩算法所得的低副瓣波形自相關函數,長度相同時兩算法對應最優波形的自相關函數水平幾乎一致。圖3(a)、(b)分別給出了波形序列長度為32和128時,WeCAN與連續凸逼近加權自相關波形優化算法的收斂曲線。從中可看出,WeCAN收斂速度優于本文所提算法,此時頻域等效方法優于時域直接優化方法。

(a)長度32

(a)長度32

(a)長度32

(2)加權副瓣波形設計

加權副瓣波形設計時,須先確定距離向干擾或雜波所處的距離段,再通過增加自相關函數中相應延遲部分的權值,達到抑制干擾/雜波距離向處理增益的效果。參數設置如表2所示。

表2 加權自相關波形優化算法參數設置

圖4(a)、(b)分別給出了長度分別為32、128時WeCAN和連續凸逼近加權自相關波形優化算法所得加權自相關副瓣波形的相位。圖5(a)、(b)給出了長度分別為32、128時兩算法所得的加權副瓣波形自相關函數,長度相同時兩算法對應最優波形的自相關函數形狀一致,但凹口處連續凸逼近算法對應的電平低于WeCAN,可以獲得更好的距離向干擾、雜波的抑制效果。圖6(a)、(b)分別給出了波形序列長度為32、128時,WeCAN與連續凸逼近算法的收斂曲線。從中可看出,本文所提連續凸逼近加權自相關波形優化算法優于WeCAN算法的收斂速度,且穩定收斂時連續凸逼近算法目標函數對應的最優值低于WeCAN算法,故而相比于WeCAN算法,本文所提算法獲得理想的凹口深度。

(a)長度32

(a)長度32

(a)長度32

4 結束語

本文研究了基于連續凸逼近加權自相關波形優化算法,通過凸函數逼近將不定或非凸的優化問題轉化為凸問題,并通過強制歸一化模值獲得恒模波形序列,并通過調整權值,控制自相關局部自相關電平,對自相關整體形狀進行塑形。對于加權副瓣的波形設計,與已有方法相比具有更快的收斂速度。因此,連續凸逼近算法可加快現代雷達波形集的構建速度,增加復雜波形的多樣性,提升現代雷達距離向干擾與雜波的抑制能力。