例談一道平面幾何題的解法

王艷

平面幾何問題是初中數學的一個重點和難點，其知識點覆蓋方面廣，題型多樣，常以幾何圖形如三角形、平行四邊形、圓等為載體來研究角度大小、邊的長度等.很多同學在解答平面幾何題時，因為找不到已知條件與待求結論之間的關聯，而感覺無從下手.本文以一道以三角形為載體的平面幾何題為例，從構造輔助線、進行旋轉等不同角度，探尋多種解題思路.

例題：

解法一：構造輔助線

構造輔助線是解答平面幾何問題最常用的方法.對于條件較為復雜的題目，我們往往不能直接通過已知圖形和條件得到答案.這就需要通過觀察幾何圖形的特征，構造一些特殊的輔助線來幫助求解.在通過添加輔助線構成的新圖形中，可以找到許多幾何中間量進行轉化，也可以構造如等邊三角形、直角三角形等特殊圖形來為解題創造可用的條件.

解：

說明：構造輔助線要求同學們對幾何圖形的性質有著很好的把握.因此，在平時的練習中要注意總結有關的輔助線模型，如全等三角形之三垂直模型、雞爪模型、中位線模型等.

解法二：進行旋轉

在有些幾何問題中，我們可以通過進行旋轉變換，在保持原有圖形相關性質不變的前提下，改變原圖形中的相關線段、角的位置，從而將已知的等量關系轉化為有利于我們解題的新條件.根據旋轉的性質，旋轉前后的兩個圖形全等，由此，利用全等三角形的性質便可順利求得角的度數.

解

說明：在使用旋轉法解題時需要注意的關鍵點是旋轉什么，旋轉多少角度.合適的旋轉才能簡化后續的運算.

解法三：運用角元塞瓦定理

角元塞瓦定理是三角形中的一個常用定理，蘊含著豐富的幾何性質.其有兩種形式，分別是以邊長為中心的定理形式和在邊長基礎上推導得出的角元形式推論.下面簡單介紹定理內容及推論，并進行相關證明.

定理：

證明

推論

證明

解

說明：此定理的適用范圍較廣，本題直接利用角元的塞瓦定理代入，即可求出對應的相關角. 同學們在運用角元的塞瓦定理時，不僅要牢記公式，還要掌握公式的證明過程。

以上三種方法從不同的角度解答了這道平面幾何問題，前兩種方法是同學們在解題中常用的方法，主要考查對于圖形的敏感性，同學們在平時做題時應多加分析、比較和總結；對于角元塞瓦定理，在運用時要先進行推導證明，再根據公式反推代入即可.