設而不求，巧解三類數學題

倪娜

設而不求主要是指根據題目特征，恰當地設置未知數，然后找到有關等量關系，建立相應的代數式或方程式，再將未知數消去或代換，從而達到求解的目的.簡單地講，設而不求就是只設未知數，不求其值，其本質是換元.這種解題方法能快速、準確、簡捷地解答一些棘手的問題．下面舉例說明“設而不求”在求解三類數學題中的應用方法.

一、設而不求，求二次根式的值

在解答二次根式求值問題時，當運用常規思路直接求值較為棘手時，可以將已知條件的某一參數作為變量，設出輔助未知數，借助虛設的參數對二次根式進行轉化變形再求值.這種設而不求的方法，既可以使已知與所求目標之間的聯系更加明朗，又可以避開繁雜的運算過程.

例1

分析

解

評注：本題增設了輔助未知數 t ，通過化簡、變形、代換，設而不求，使問題化難為易.在這一過程中，要注意“ t >0”這一隱含條件.

二、設而不求，比較分數的大小

在比較分數大小時，尤其對于一些復雜的分數比較大小問題，運用一般解法直接求解會非常繁瑣，且容易出錯.此時，同學們若能結合分式特點適當引入輔助未知數，并將其帶入分數中，利用分數的分子與分母間的關系與分數特征，設而不求，則可以使繁難的分數問題變得簡單.

例2比較1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）與19941996（19941980）的大小.

分析：本題兩個分式中的分子和分母數字都較大，若按照常規思路直接比較大小，顯然十分困難.觀察分式特點，不難發現19941995與19941996、19941979與19941980均相差1，若能恰當引入未知數，設而不求，則可以避免復雜運算，快速找到解題的突破口.

解：

評注：本題關鍵在于設19941995=a，19941979=b，然后通過 - <0，得出a（b）< a（b）1（1），進而確定1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（7）5（9）與1（1）9（9）9（9）4（4）1（1）9（9）9（8）6（0）的大小.整個過程設而不求，簡潔明了，達到了避繁就簡的目的.

三、設而不求，解答實際應用題

對于某些較為復雜的應用題，所給已知條件不多，或者數量較多，各數量間的關系并不明顯，倘若直接設元，很難提煉出復雜的數量關系式，此時可以通過引進輔助元，再依據題意提煉出含輔助元的數量關系式，列出有關方程式（組）.而輔助元在求解過程中一般可以整體求出或在寫出結果時被消去，這樣問題就可以輕松獲解.

例3小紅在網上購買甲、乙、丙三種型號的鉛筆，已知買4支甲型、20支乙型、16支丙型的鉛筆共需12元；買6支甲型、14支乙型、8支丙型的鉛筆共需18元，試問買2支甲型、5支乙型、3支丙型的鉛筆共需多少元？

分析：本題是一道典型的方程應用題，按照解方程的步驟，需要先設甲、乙、丙三種型號的鉛筆單價分別為 x 元、y 元、z 元，再根據題意列出方程組.但是所列方程組中的每個方程均含有三個未知數，顯然直接解出x，y，z的值難度較大.注意到本題實際上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用設而不求法予以求解.

解：

答：

評注：本題借助設而不求法，設輔助元z ，將之視為已知常數，使三元一次方程組問題轉化為關于x，y的二元一次方程組問題，得出 x =3+z， y =-z 后，再整體代入求解.

總之，“設而不求”法不僅可以用于解答各類代數問題，還可以用于解答幾何問題.當遇到用常規方法難以解答的問題時，同學們不妨另辟蹊徑，根據題意靈活引入輔助參數，設而不求，從而簡化問題，減少計算量，提高解題效率.