基于近似梯度下降的稀疏陣列綜合方法

王強

（北京跟蹤與通信技術研究所，北京 100094）

0 引言

較傳統均勻陣列天線，非均勻布陣可在提升陣列天線探測性能的同時，更好地控制天線的資源開銷。陣元的非均勻部署破壞了空間采樣的周期性質，進而使得空間采樣帶來的柵瓣效應被極大抑制；此外，稀疏構型不僅減小了系統硬件、計算的開銷，還增加了天線的觀測孔徑，進而改善了天線對角度信息的提取精度［1］。

然而，由于陣列因子（AF）和陣元位置之間不滿足線性關系，依托非均勻構型抑制方向圖旁瓣相比于傳統的激勵加窗難度進一步提升。為了解決該問題，大量構型尋優算法被提出，可歸納為三類：第一類方法主要依靠啟發式搜索完成構型優化［2］；第二類是基于解析近似的確定類方法［3］；第三類構型綜合方法采用壓縮感知（CS）同時對陣元的位置和激勵幅度進行優化［4］。其目標都是盡可能獲取非均勻構型的全局最優解。但由于構型綜合問題的特殊性，并無高效算法可以保證獲取全局最優構型。

本文聚焦于局部最優構型搜索算法設計，對隨機初始構型進行快速尋優。一般來說，梯度下降算法是尋找局部最優解的常用方法。但對于以降低峰值旁瓣電平（PSLL）為目標的陣列綜合問題，由于其目標函數的定義形式，無法給出嚴格的解析梯度。為了使梯度下降成為可能，并盡可能提高算法的迭代效率，本文對目標函數的梯度進行近似以實現高效計算，并由此導出單次迭代內構型的幾何變化。在整個優化過程中，方向圖的旁瓣按強度被逐個抑制以降低構型整體的PSLL。

1 信號模型

對于一個包含N個陣元的非均勻線陣，其AF定義即：

式中，u=sinθ即方位角正弦。k=2π/λ即系統工作頻率對應的波數。xn和An則分別表示第n個陣元對應的坐標和相對激勵。為了簡化表述，本文采用如下矢量來表征陣列的整體構型：

為了確保系統的工作效率，本文假設構型始終采用最大增益進行輻射。因此，式（1）中的An可以替換為An=ejkxnu0，其中u0即波束指向中心對應的方位角正弦。因此，AF(u)可以被進一步簡化為：

由于波束掃描等效于AF在方位正弦域內的平移，對于掃描范圍固定的非均勻線陣，其可以等效為一個波束指向固定但旁瓣區域被拉伸的陣列。為了簡化符號，本文后續推導不區分u和u'。對于可見旁瓣區域內的PSLL抑制問題，其可以等價為：

式中，S={u|sinθmain≤|u|≤1+sinθmax}表示考慮波束偏轉后的可見旁瓣區域。θmain和θmax分別表示波束主瓣邊緣和最大掃描角度。dmin代表了綜合過程中允許的最小陣元間距，而F(u)為修正后的方向圖功率密度，其表達式即：

式中，B(u)為一個中心對稱的加權函數，其倒函數即反映了預期的旁瓣局部峰值的起伏形狀。不失一般性的，本文取B(u)≡1。

2 基于近似梯度下降的稀疏陣列優化

梯度下降是尋找局部最優最常用的方法。由于式（4）中目標函數包含取最大處理，其精確梯度難以被解析求出。但是，峰值旁瓣所在的方位正弦umax在一個局部區域內近似是固定不變的。因此，預期的梯度可以用F(u)在umax處的梯度近似表征，即：

容易證明，式（6）中的?RF(umax)可以進一步展開為：

式中，fn=Im[AF(umax)ejkxnumax]?；谠撎荻缺磉_式，待求解的構型綜合問題可以通過迭代求取AF并生成對應的近似梯度實現。但是，該優化搜索過程并未考慮優化問題中的最小間距約束。因此，除去對峰值旁瓣強度進行梯度下降外，在迭代過程中還需要額外進行構型修正以確保算法輸出滿足式（4）中的間距約束。下文介紹算法在單次迭代內的具體流程。

2.1 基于NuFFT的快速陣列因子計算

非均勻傅里葉變換（NuFFT）是對時域非均勻采樣的數據進行快速頻譜分析的加速算法［5-6］。在將待計算方向圖的陣列坐標按波長λ進行歸一化，并統一按因子2(1+sinθmax)進行放縮后，其AF可以在一定數值精度下通過NuFFT快速求解。由于在優化過程中稀疏陣列的構型會不斷變化，本文無法使用針對固定采樣方式優化的NuFFT算法?？紤]到高斯函數的時頻定域性和其計算高效性，可以采用基于高斯插值的NuFFT算法進行快速計算，該算法在各種處理器架構下均有快速實現。

2.2 近似梯度下降

梯度下降過程中一個關鍵的參數即下降的步長。為了實現快速收斂，該參數通常使用牛頓法或類似方法進行自適應調整?？紤]到本文的優化目標并不是在umax處構造一個方向圖零陷，該類方法在本文中并不適用。作為替代，本文選擇固定單次迭代內的旁瓣功率抑制因子，即：

式中，σdB即設置的對數域下降步長。在整個優化過程中，每一個強旁瓣的幅度按順序被逐個抑制，進而實現整個可見旁瓣區域內的低PSLL。

為了進一步提升算法的優化效率，對于陣元個數較多的大型稀疏陣列，在單次迭代內可以對多個高旁瓣進行同時下降，即：

式中，umax即第i強旁瓣對應的方位角正弦，其對應的近似梯度和強度抑制因子在式（9）中分別用?i和σi表示。I表示了單次迭代內同時進行抑制的旁瓣個數，考慮到旁瓣分布的對稱性，以上排序以及旁瓣選取過程中僅靠考慮單側的可見旁瓣區域。需要注意的是，在對I進行設置時，需要避免取值過大，否則容易導致優化在局部最優附近陷入無效震蕩。本文使用R'表示單次迭代優化后的稀疏陣列構型矢量，即：

基于式（9）可以對稀疏陣列構型進行迭代優化。當取I=1時，由ΔR導致的AF(umax)的變化量即：

式中，ξ是一個非常小非負量。容易發現，對于對稱陣列，其AF的相位在迭代后理論上保持不變。這是由于對稱構型對應的梯度同樣具備對稱性質，因此迭代后構型依然維持對稱性。然而，對于非對稱陣列，該操作顯然會導致抑制旁瓣位置的相位變化。由于不需要給出目標AF的相位，本文所提算法對初始構型的對稱性并無要求。需要注意的是，優化過程中對稱構型的保持特性僅在理論上成立，在實際優化過程中由于數值誤差的累積，構型會逐步退化為非對稱構型。如果需要保持構型的對稱性，則需要在迭代后消除數值誤差，即：

式中，ΔRRev即將ΔR中元素按對稱性進行對調得到的對偶修正量。對于按排列順序編號的陣列，其即ΔR的反向列向量。

2.3 迭代后構型修正

以上旁瓣抑制過程并未考慮陣元間距約束。因此，迭代后構型可能無法滿足初始的構型約束，需要進行額外修正。為了減少修正對迭代后方向圖的影響，修正處理帶來的構型變化量需要盡可能小。不難發現，該構型修正可以表示為如下優化問題：

式中，x?n=1，…，N即R?=R″+ΔR'中的對應元素。由于可行域非凸，無法嚴格求取式（13）對應的最優解，本文選擇對其進行梯度下降求解。此時，構型修正對應的目標函數即：

式中，relu(x)=xε(x)。式（14）對應的梯度即：

由于需要對所有組合進行求和，當所有陣元均分布在長度為dmin的線段上時，式（15）對應的最差復雜度為o(n2)。但在實際的綜合過程中，由于僅相鄰的陣元之間的距離可能小于dmin，因此式（15）實際的計算復雜度為o(n)?？紤]到構型修正的效率，以及對輸出構型性能的影響，本文統一取波長λ的千分之一作為梯度下降的步長。

2.4 完整迭代過程

由于目標函數自身的非線性特征，僅當取較小的σdB才可以確保在優化搜索過程中實現平滑的PSLL下降，但這同樣會極大地惡化算法的優化效率。為了平衡搜索效率以及收斂質量，可以對迭代過程的震蕩行為進行檢測進而完成對算法收斂性的判斷。為了實現這一點，本文將迭代進行分組，并通過分析當前組內迭代貢獻的PSLL下降量判斷算法是否收斂。結合前面各小節的介紹，整體算法流程如圖1所示。

圖1 稀疏構型優化流程圖

3 數值仿真

由于本文所提算法需要在每次迭代內完成近似梯度計算，而這需要得到當前陣列構型在整個旁瓣區域內的AF。因此，制約算法效率的關鍵因素在于對稀疏激勵進行的頻譜分析。得益于一維高斯插值和FFT的高效性，本文可以對所提算法的統計性能進行分析，并和傳統的陣列綜合算法進行對比。為了確保算法可以收斂，且保持參數一致性，本小節后續仿真案例中均采用固定的分組長度K=2 000，此外迭代的收斂門限取1×10-4dB。

3.1 案例一

本文首先對一個包含N=41陣元的稀疏線陣進行綜合，綜合過程中要求相鄰陣元的最小間距容限為dmin=0.5λ。該陣列的最大掃描角度為60°，故而等效后的可見波瓣區域范圍為|u|≤1.866。此外，將待設計的主瓣區域設置為|u|≤0.029 2，當波束指向法向方位時，其對應的方位角范圍約為3.3°。

案例一算法輸出方向圖如圖2所示。為了避免優化過程中主瓣過窄導致算法陷入較差的局部最優，算法采用在［-15λ，15λ］區間上隨機均勻采樣的方式得到初始構型R0，為了提升算法優化效果，并兼顧優化效率，優化過程中采用2組參數：

圖2 案例一算法輸出方向圖

1）快速收斂階段：取同時下降旁瓣數I=2并取抑制步長σdB=-0.1。

2）精密搜索階段：同時下降旁瓣數不變，僅將抑制步長減小為σdB=-0.01。

將上述優化過程重復500次，圖2給出了對應的最優結果以及最差優化結果。在最優結果中，算法有效地將旁瓣能量均勻地分布在整個旁瓣區域內；而最差結果中，則僅在可見旁瓣區域兩端獲取了等波紋旁瓣，而整體存在較為明顯的起伏。該起伏主要是由于構型修正和旁瓣抑制相互矛盾導致的。如果去除最小間距約束，則最差構型可以被進一步優化。為了更加清晰地展現算法的優化性能，本文將間距約束和忽略間距約束情況下的輸出PSLL進行了統計，并給出其對應的累積概率密度函數（CDF）曲線，案例一算法輸出PSLL統計曲線如圖3所示。

圖3 案例一算法輸出PSLL統計曲線

由統計結果可以發現，所提算法對隨機初始化構型的平均輸出PSLL為-15.95 dB。相比之下，忽略間距約束可以將輸出PSLL整體降低約1 dB，并且減小輸出中高PSLL的托尾范圍。這同樣從側面反映了間距約束和旁瓣抑制之間相互矛盾導致算法提前陷入震蕩。為了對比所提算法和傳統稀疏陣列構型綜合算法在優化效率上的區別，本文同樣采用粒子群算法對相同的綜合需求進行了優化，對應的CDF同樣繪制于圖3。其中，粒子群算法中共使用了100個搜索粒子，并且總共進行了1 000輪次的迭代搜索。雖然粒子群算法的執行開銷顯著高于本文所提算法，但本文算法依然有約1 dB的性能優勢。這從側面反映了本文算法通過利用待求解問題的局部解析性質提升了優化搜索的效率，而啟發式搜索算法面對該規模的綜合任務陷入維度爆炸，難以給出理想的綜合輸出。

3.2 案例二

為了進一步驗證算法對大型稀疏陣列的綜合能力，在仿真案例二中，本文將陣元個數增加為N=301，并且將主瓣區域收縮至|u|≤0.003 2，其對應的法向方位波束寬度約為0.37°。此外，其余約束條件和仿真案例一保持一致。類似的，整個優化過程同樣分為2個階段，且參數和案例一保持一致。其中，僅將同時下降旁瓣個數增加為I=10以平衡旁瓣個數增多導致的搜索效率下降。由于分辨率差距較大，在進行初始化時，選擇在［-145λ，145λ］范圍內對初始構型進行均勻采樣。

圖4給出了案例二500次仿真中的最優和最差結果?？梢园l現，2者基本都實現了旁瓣能量在整個區域內的均勻分布，僅局部分布特征存在差異。此外，最差構型中同樣并未出現如案例一中的陷入較差局部最優的現象。這可以用大型陣列自由度高、局部最優性質差距不大來解釋。

圖5給出了所提算法輸出PSLL的統計性能?？梢园l現，算法整體輸出的PSLL變化范圍較案例一大幅減小，反映了算法對大型陣列進行綜合時具有更好的穩定性。

圖5 案例二算法輸出PSLL統計曲線

4 結束語

本文將采用均勻激勵的線性陣列綜合問題拆解為逐旁瓣抑制，并利用近似梯度下降完成迭代構型優化調整。通過統計分析，并和其余方法對比，驗證了本文算法在效率上的優勢，并反映了算法對不同尺度陣列的綜合效果。后續研究將著重把算法推廣至更為一般的平面陣列，并對迭代調整前的構型初始化方法展開研究。